Bakpokaverkefnið

Bakpokaverkefnið 4. apríl 2002

Bakpokaverkefnið • Fyrir ferðalag með geimskutlunni • Megum taka með okkur muni að eigin vali • Munirnir hafa mismikið gildi fyrir okkur • Munirnir hafa einnig mismikla þyngd • Viljum hámarka ‘gildi’ hluta sem við tökum • Takmörk fyrir heildarvigt:

Dæmi 2: Fjárfestingar • Fyrirtæki hefur úr 1 milljarði úr að spila • Fjárfesta má í misarðbærum rekstri: • Gagnagrunnur: 400 millj, væntiarður: 40mill. • Hótel: 500 millj, væntiarður: 50mill. • Frystihús: 200 millj, væntiarður: 20 millj. • Sjónvarpsstöð: 400 millj, væntiarður: 30 millj. • Bílasölu: 100 millj, væntiarður: 20 millj

Bakpokaverkefnið: Skilgreining • Gefið: n “hlutir” með • Kostnaður s1, s2, ..., sn ( kostnaður) • Framlegð f1, f2, ..., fn ( hagnaður) • Kostnaðarþak B • Finna: Mengi S af þessum hlutum þ.a. • Heildarvægi hlutanna sé minni en B iS si  B • Heildarframlegð iS fisé hámarkað

0-1 Bestunarverkefni max i fixi subject to i sixi B xi{0,1}, i=1, 2, ..., n • LP slökun: 0  xi  1, i=1, 2, ..., n

Dæmi 3: • Höfum 800MB geisladisk til að skrifa á • Viljum troða eins miklu á hann og hægt er • Þetta er sértilfelli þar sem fi=si • “Subset Sum problem” = “Hlutasumma” • Einbeitum okkur að þessu, til einföldunar.

Eðlileg gráðug aðferð • Gráðugt val: • Bætum við stærsta staki sem kemst fyrir • Gráðug aðferð: • Endurtekið gráðugt val, uns engu má við bæta • Kostir: • Virkar almennt vel • Dýnamískt, þ.e. bæta má við eftir þörfum • Hversu góðri lausn skilar hún? Bestu??

Mótdæmi B=1 0.55 0.5 *2

Lausn með kvikri bestun • Virkar þegar þakið B er ekki of stórt • Lykilhugmynd: • Síðasta stakið/hluturinn er annað hvort valinn í pokann eður ei! • Ef við neglum niður þetta val, hvað fáum við þá til að kljást við? Hvað er eftir?

Stak n með?? Já Nei Poki rúmar nú B – sn til. Stök 1, ..., n-1 eftir. Poki rúmar enn B. Stök 1, ..., n-1 eftir.

Inntak: s1 s2 s3 s4 s5 s6 Bakpoki: B

a) Stak 6 valið með: s6 B - s6 b) Stak 6 ekki valið: B

a1) Stök 6 og 5 með: B – s6 – s5 a2) Stak 6 með, ekki 5: B - s6

b1) Stak 5 með: B – s5 b2) Hvorki stak 5 né 6: B

Aðalverkefni nB • Stök með vægi/umtak s1, s2, ..., sn • Kostnaðarþak B Undirverkefni: Stak n með • Stök með vægi/umtak s1, s2, ..., sn-1 • Kostnaðarþak B – sn n-1B-sn Undirverkefni: Stak n ekki með • Stök með vægi/umtak s1, s2, ..., sn-1 • Kostnaðarþak B n-1B

1 j B j-si 1 i n Bp(i,j) = Hámarks afrakstur af s1...si, þegar þak er j max(fi + Bp(i-1, j-si), Bp(i-1, j)), j  si Bp(i-1, j), annars Bp(i,j) =

Neðansækin aðferð For j=0 to B do A[0,j] = 0 For i=1 to n do for j=1 to B do A[i,j] = A[i-1,j] if (j  si AND fi + A[i-1, si ]  A[i,j]) A[i,j] = fi + A[i-1, si ] return A[n,B]

Tímaflækja • O(n^2) ? • Fylkið er n * B. • Hvað er B?? • Er þetta margliðubundið? • Hvað táknar það?

Margliðubundin reiknirit • Reiknirit er margliðubundið, ef tímaflækja þess er efri mörkuð af margliðu í stærð inntaks. • Hver er stærð inntaksins hér? • s1, s2, ..., sn = n tölur minni en B • B • B er táknað með log B bitum • Stærð inntaks = O(n * log B).

Meira um tímaflækju • Reiknirit krefst O(n * B) tíma. • Inntaksstærð = O(n * log B). • Hversu stórt getur B orðið? • Af hverju ekki 2^n ? • Þá er aðferð okkar alls ekki margliðubundin • “Pseudopolynomial time” = Margliða af stærð inntaks og stærsta gildis.

Flækjustigshópurinn NP • NP = flokkur ákvörðunarverkefna sem eru leysanleg á margliðubundnum tíma af brigðgengri vél (non-deterministic polynomial time)

Brigðgeng vél • Giskar á n^t bita (eða tölur), t einhver fasti • Vinnur þaðan í frá eins og venjuleg tölva. • (“tölvur” eru allar jafnöflugar, innan margliðu) • Leysir verkefnið rétt, ef fyrir einhverja af þessum ágiskunum, þá skilar hún réttri lausn.

NP • NP = flokkur þeirra ákvörðunarverkefna þar sem sannreyna má tillögu að lausn á margliðutíma. • “Tillaga að lausn” : “certificate” • Sannreyning: • Prófa að tillagan sé gild lausn • Prófa að lausnin uppfylli kröfur verkefnisins

Sannreyning á 3-Litun • 3-Litun: Gefið net, má lita það með 3 litum? 3LitaPróf(G, Litur[]) // Gefin ‘litun’ á G fyrir hvern hnút v í V ef (Litur[v] > 3 || Litur[v]<1) skila “Ósatt” fyrir hvern u granna v ef (Litur[u] == Litur[v]) skila “Ósatt” skila “Satt”

Ákvörðunarverkefnið Bakpoki • Gefið: n “hlutir” með • Kostnaður s1, s2, ..., sn ( kostnaður) • Framlegð f1, f2, ..., fn ( hagnaður) • Kostnaðarþak B • Hagnaðarlágmark F • Spurning: Er til mengi S af hlutum þ.a. • Heildarvægi hlutanna sé minni en B: iS si  B • Heildarframlegð sé allavega F: iS fi  F

Bakpoki er í NP • “Certificate”: Hlutmengi S af hlutum • Sannprófun: Prófa hvort • iS si  B • iS fi  F

Subset Sum • Gefið: n “hlutir” með • Stærð s1, s2, ..., sn • Kostnaðarþak B • Finna: Mengi S af þessum hlutum þ.a. • Heildarvægi hlutanna sé minni en B iS si  B • Heildarvægi sé hámarkað

Subset Sum ákvörðunarverkefni • Gefið: n “hlutir” með • Stærð s1, s2, ..., sn • Kostnaðarmark L • Finna: Mengi S af þessum hlutum þ.a. • Heildarvægi hlutanna sé nákvæmlegaL iS si=L

Umbreyting með sértekningu • Fullyrðing: SubsetSum p Bakpoki • Gefið inntak I f. SS, útbúum inntak I’ f. BP: • n hlutir sem áður • Sömu stærðir s1, s2, ..., sn • Framlegðir sama og stærðir, fi = si • B og F bæði gerð jöfn L • Nú er Bakpoki(I’) = SubsetSum(I)

Umbreyting með sértekningu • Fullyrðing: SubsetSum p Bakpoki • Gefið inntak I f. SS, útbúum inntak I’ f. BP: • Inntak I f. SubsetSum • n hlutir • Stærðir s1, s2, ..., sn • Kostnmark L • Inntak I’ f. Bakpoka • Sömu n hlutir • Sömu s1, s2, ..., sn • Framlegðir f1, ..., fn • Jafnar stærðum, fi = si • B = L, F = L • Nú er Bakpoki(I’) = SubsetSum(I)

Ákvörðunarverkefnið 2-Hlutun • Gefið: Mengi U með n “hlutum” með kostnað s1, s2, ..., sn • Finna: Skiptingu í mengin S og S’ • U = S  S’, og S  S’ =  • Skorða: Dreifa kostnaðinum allveg jafnt • iS si = iS’ si

Önnur einföld umbreyting • Fullyrðing: 2-Hlutun p SubsetSum • Gefið inntak I f. 2H, útbúum inntak I’ f. SS: • n hlutir sem áður • Sömu stærðir s1, s2, ..., sn • Setjum L = (i=1,...,n si) / 2 • SubsetSum(I’) = “já”  2Hlutun(I) = “já”

Bakpokaverkefnið

Bakpokaverkefnið

Presentation Transcript