1 / 23

Fraktaalit

Fraktaalit. Ville Brummer. Määritelmä. Ei yleismaailmallista määritelmää Fraktaalilla on kuvio, jolla jokin tai kaikki seuraavista ominaisuuksista (kirjan määritelmä): Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity) Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla

morrison
Download Presentation

Fraktaalit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Fraktaalit Ville Brummer

  2. Määritelmä • Ei yleismaailmallista määritelmää • Fraktaalilla on kuvio, jolla jokin tai kaikki seuraavista ominaisuuksista (kirjan määritelmä): • Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity) • Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla • Voidaan määritellä fraktaalidimensio, joka ei ole kokonaisluku • Käyttötarkoitus: Geometria kaoottisten funktioiden visualisointiin (Vrt. Euklidinen geometria ja klassinen mekaniikka)

  3. Esimerkki: Kaalifraktaali

  4. Esitelmä • Sisältö • Fraktaalien muodostaminen • Cantorin joukot • Fraktaalien muodostus • Systeemien kuvaus fraktaaleilla • Fraktaalit deterministisissä systeemeissä • Altaiden rajat • Fraktaalin dimensio • Määritelmä • Laatikkodimensio • Korrelaatiodimensio

  5. Cantorin joukot (Cantor sets) Ensimmäinen ja yksinkertaisin fraktaali = K= Keskikolmasosa Cantorin joukko (middle-third Cantor set)

  6. Fraktaalien muodostaminen • Iteroitu funktiosysteemi (iterated function system) • Kokoelma funktioita , joita vastaa todennäköisyydet • Radan muodostus • Valitse • Arvo todennäköisyysjakaumasta p funktio • Laske • Arvo todennäköisyysjakaumasta p funktio • Laske • Jne. • Fraktaali muodostuu pisteistä

  7. Esimerkki: Cantorin joukko • Iteraatiot kulkevat joukolla K

  8. Esimerkki: Luisevan leipurin kuvaus (skinny baker map) • Iteraatiot kulkevat joukolla

  9. Fraktaalit deterministisissä systeemeissä • Fraktaali on tapa kuvata funktiota • Värin tummuus voi kuvata esim. sitä, kuinka nopeasti iterointi karkaa äärettömyyteen (esim. musta; heti, valkoinen; ei koskaan) • Esim. puoleensavetävät radat ja altaat ovat monesti fraktaaleja

  10. Keskeisiä määritelmiä • Puoleensavetävä jaksollinen rata: • Olkoon f kuvaus :ssä ja jaksollinen rata • p on f:n puoleensavetävä jaksollinen rata, jos sen lähistöllä olevat pisteet lähestyvät sitä • Allas: • Olkoon f kuvaus :ssä ja p nielu tai puoleensa vetävä jaksollinen rata • X on p:n allas, jos se iteraatiokierrosten edetessä kulkee p:hen

  11. Esimerkki: Hénonin puoleensavetävät radat (Hénon attractors) • Etsitään joukko, josta iteraatio ei karkaa äärettömyyteen

  12. Esimerkki: Hénonin allas (Hénon basin) • Etsitään joukko, josta iteraatiot karkaavat äärettömyyteen

  13. Esimerkki: Julian joukot • c = -0.17 + 0.78i • Valkoinen alue on kolmiperiodisen puoleensavetävän radan allas

  14. Esimerkki: Julian joukot • c = -0.32 + 0.043i • Valkoinen alue on 11-periodisen puoleensavetävän radan allas

  15. Esimerkki 1: Mandelbrotin joukko • M = {c: Rata origosta pysyy rajoitettuna} (valkoinen alue)

  16. Fraktaalin dimensio • Monia eri tapoja määrittää • Tässä käydään läpi • Laatikkodimensio • Korrelaatiodimensio

  17. Laatikkodimensio (box-counting dimension) • Valitaan joukko ja • Lasketaan kuinka monta - mittaista laatikkoa tarvitaan peittämään joukko S • Laatikkojen määrä: • Joukon S dimensio on d • Esim. • Välin [0,1] peitoksi tarvitaan laatikkoa, joten sen dimensio d=1 • Joukon [0,2] x [0,2] peitoksi tarvitaan laatikkoa, joten sen dimensio d=2

  18. Laatikkodimension laskeminen • Laatikkodimensio: • Aina ei voida laskea dimensiota analyyttisesti • numeeriset ratkaisut • approksimointi

  19. Esimerkki: Keskikolmasosa Cantorin joukon K dimension laskeminen • koostuu intervallista, joiden leveys on • Yhden intervallin täyttöön tarvitaan kpl -mittaista laatikkoa • Koko joukon täyttöön siis tarvitaan täyttöön tarvitaan laatikkoa

  20. Korrelaatiodimensio • Olkoon kuvauksen f rata ja kuvauksen f rata N:llä iteraatiolla • Lasketaan C(r) • C(r) on siis suhde kahdesta kokonaisluvusta: • #(Lukuparit, joiden etäisyys on pienempi kuin r) • #(Kaikki lukuparit) • Saadaan korrelaatiodimensio d

  21. Korrelaatiodimension laskeminen • Määritellään:

  22. Mitä opimme • Fraktaalin määritelmä • Toistuva rakenne eri mitta-asteikoilla (self-similarity) • Monimutkainen rakenne monella eri mitta-asteikolla • Voidaan määritellä fraktaalidimensio, joka ei ole kokonaisluku • Fraktaalien muodostaminen • Cantorin joukko • Fraktaalien muodostus iteroidulla funktiosysteemillä • Fraktaalien yhteys kaoottisiin systeemeihin • Esimerkiksi puoleensavetävät radat ja altaat ovat monesti fraktaaleja • Fraktaalin dimensio • Laatikkodimensio • Korrelaatiodimensio

  23. Kotitehtävä (Computer experiment 4.1) • Olkoon iteroitu funktiosysteemi • Piirrä systeemin muodostama fraktaali

More Related