Метод масс

1. Метод масс «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем». Архимед. Послание к Эратосфену «О механических теоремах» Стаханова П.А. шк № 32 Ижевск

2. Архимед • АРХИМЕД (около 287-212 до н.э.) - древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. • Архимед получил образование у своего отца, астронома и математика Фидия. В юности провел несколько лет в крупнейшем культурном центре того времени Александрии Египетской. Затем до конца жизни жил в Сиракузах. • Во время Второй Пунической войны (218-201), Архимед участвовал в обороне города, строил метательные орудия. Военные изобретения ученого в течение двух лет помогали сдерживать осаду Сиракуз римлянами. • Архимеду приписывается сожжение римского флота направленными через систему вогнутых зеркал солнечными лучами, но это недостоверные сведения. Гений Архимеда вызывал восхищение даже у римлян. Марцелл приказал сохранить ученому жизнь, но при взятии Сиракуз Архимед был убит.

3. Открытия Архимеда • В физике Архимед ввел понятие центра тяжести, установил научные принципы статики и гидростатики, дал образцы применения математических методов в физических исследованиях. • Основные положения статики сформулированы в сочинении «О равновесии плоских фигур». Архимед рассматривает сложение параллельных сил, определяет понятие центра тяжести для различных фигур, дает вывод закона рычага. • Знаменитый закон гидростатики, вошедший в науку с его именем (смотри Архимеда закон), сформулирован в трактате «О плавающих телах». Существует предание, что идея этого закона посетила Архимеда, когда он принимал ванну; с возгласом «Эврика!» он выскочил из ванны и нагим побежал записывать пришедшую к нему научную истину.

4. Первый «сюрприз» Архимеда • Во время осады Сиракуз Архимед построил множество удивительных приспособлений, из которых можно выделить два самых эффективных. Первое — это «Лапа Архимеда», уникальная подъемная машина и прообраз современного крана. Внешне она была похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Если римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор» захватывал его нос и переворачивал. (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих.

5. Второй «сюрприз» Архимеда • Но еще удивительнее был второй «сюрприз» — лучевое оружие. Римский флот встал на якорь неподалеку от города. По легенде, Архимед сконструировал большое зеркало,, при помощи которого «сконцентрировал» солнечный свет на флоте противника и спалил его дотла. Подготовка зеркал, «выстрел», дым, огонь, дыра между досками

6. Архимед проверяет и создает теорию пяти механизмов, известных в его время и именуемых "простые механизмы". Это - рычаг ("Дайте мне точку опоры, - говорил Архимед, - и я сдвину Землю"), клин, блок, бесконечный винт и лебедка. Изобретение бесконечного винта привело его к изобретению болта, сконструированного из винта и гайки.

7. МАТЕРИАЛЬНАЯ точка - точка, имеющая массу. В механике понятием материальная точка пользуются в случаях, когда размеры и форма тела при изучении его движения не играют роли, а важна только масса. А 5A 5 D 3D 3 Выражение «mА» означает: точка А массой m

8. ЦЕНТР МАСС

9. Подскажите псу куда нужно ему пересесть, чтобы качели Пришли в равновесие?

11. d1 d2 m1 m2 Постулаты Архимеда • Любая конечная система материальных точек имеет единственный центр масс. 2. Система, состоящая из двух материальных точек имеет центр масс, принадлежащий отрезку, соединяющему эти точки причем его положение определяется правилом рычага: m1d1=m2d2

12. 3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных Точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то От этого положение центра масс всей системы не изменится.

13. С С1 о В1 А Задача Архимеда • Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. В А1

14. О О 1 1 2 2 2х 2х х х В1 А1 В А 1 В А1 С 1 С1 о В1 1 А1 В 1 А 1 С1 о В1 1

15. 5 Задача 1 В у Найти ВО:ОМ и АО:ON N 5у О C 1 2х х 2 M Решение. А Введем систему материальных точек 2А,5В,1С С центром масс в точке О.

16. 5 Задача 1 В у Найти ВО: ОМ и АО:ON N 5у О C 1 2х 2 х M А 1) 1C;5В;2А – система материальных точек с центром масс в точке О 2) 2A+1C=3M; 5В,3М – сист. Мат точек с ц.м. в т.О По правилу рычага ВО:ОМ=3:5 3) 5В+1C=6N; 6N, 2А – сист. Мат точек с ц.м. в т.О По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

17. 14 Задача 2 В у Найти какую часть площади АВС Составляет площадь СМОN N 7у О C 2 5х 5 2х M Решение. А Введем систему материальных точек 5А,14В,2С С центром масс в точке О.

18. 14 В 2 у N 7у О C 2 5х 5 2х M А 1) 2C;5A;14B – система материальных точек с центром масс в точке О 2) 5A+2C=7M; 14В,7М – сист. Мат точек с ц.м. в т.О По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2 3) 14В+2C=16N; 16N, 5А – сист. Мат точек с ц.м. в т.О По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1 4) SCMON=

19. Задача 3 Дано: В АВ=39,ВС=42; АС=45; BK и СL биссектрисы L Найти SОKC. O А K С

20. Задача 3 1.По формуле Герона находим SABC= В 2. BK и СL биссектрисы 39 L 42 O А По свойству биссектрис K С 45

21. Задача 3 • 13C;14A;15B – система материальных • точек с центром масс в точке О 15 В 14A+13C=27К; 15В,27К – сист. Мат. точек с ц.м. в т.О 14y L По правилу рычага ВО:ОK=27:15=9:5 O 15y А 14 13x 14x K С 13

22. Задача 3 4. В 9t L Ответ : SKOC=140 O 5t А 13х 14х 14х K С

23. ДОМАШНЯЯ РАБОТА • В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN • так, что ВN: NC=2:3, а АМ: МС=2:1. • Найти ВО:ОМ и АО:ON, • где О – точка пересечения чевиан. • 2. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN • так, что ВN: NC=4:3, а АМ: МС=2:3. • Найти какую часть площади АВС • составляет площадь СМОN. • 3. В треугольнике АВС на стороне ВС • выбрана точка D так, что BD : DC=1:2. • Медиана СЕ пересекает отрезок АВ в точке F. • Какую часть площади треугольника АВС • составляет площадь треугольника АЕF?