Bugs Integrated, Inc. 解题报告

1. Bugs Integrated, Inc. 解题报告 00001054 胡华嵩

2. 一、算法设计 • 用动态规划的思想 • 所有的“方块”的坐标值都减1，则坐标满足 0≤x≤N-1 0≤y≤M-1 • 每个方块就用一个有序2元组表示 (x,y) x,y满足上面两个式子

3. 定义1 • 设向量B=(b0,b1,…,bM-1)，S(B)表示一个由方块组成的集合。严格的定义如下： S(B)={(x,y)|x≤by} 如果把B看成是一个边界的话，S(B)表示的就是边界B左边的所有部分，我们可以从下图看出：

4. B=(1,5,0,-7,3),N=9,M=5,蓝色部分即为S(B)

5. 定义 2 • 对于每个(x,y)，我们定义一个以(x,y)为边界的集合，记为B(x,y)。严格的定义如下： S(B(x,y))=S(Bx,y) 其中Bx,y为定义1中的向量，且满足 b0=b1=…=by=x by+1=…=bM-1=x-1

6. S(B(4,2))=S((4,4,4,3,3))

7. 定义3 • 设P=(p0,p1,…,pM-1)，其中0≤pi≤2。我们规定 S(B-P)=S((b0-p0,b1-p1,…,bM-1-pM-1)) 相当于是在S(B)的基础上，除去了每一行最右边的0(1,2)个方块。 • 后面我们也用S(B-P)表示在S(B-P)中能容纳的3x2矩形的最大数目。

8. S(B(4,2)-P),其中P=(0,2,1,0,2)

9. 把P的第i个分量看成是3进制数 的第i位，则每个M维向量P与0 到3M-1中的一个数p一一对应。 我们计算每个x,y,p所对应的S(B(x,y)-P)中所能包含的3x2矩 形的最多数目。

10. 为了下面讨论方便，还需要几点说明： • Ej表示一个定义3中的向量，其中只有第j个分量的值为1，剩下的全为0。与Ej相对应的数为3j。 • “0”表示的也是一个定义3中的向量，其中所有的分量都为0。与0相对应的数就是0。在下面的分析中0和0不加区分(即都用“0”表示)。 • 对于任意的一个p，pj表示与p对应的向量P的第j个分量的值。 • 设p与P对应，A(x,y,p)的值为S(B(x,y)-P)中包含3x2矩形的最多数目。

11. 给定x,y,p • 有两种情况： pj>0 和 pj=0 • 对于pj>0的情况，我们以右边的两个图为例： • 容易看出： A(x,y,p)=S(B(x,y)-P) =S(B(x,y-1)-(P-Ey)) =A(x,y-1,p-3y)

12. 对于pj=0，又分三种情况： • 1 以(x,y)为右下角不能放3x2矩形 • 2 以(x,y)为右下角能放一个横着的3x2矩形 • 3 以(x,y)为右下角能放一个竖着的3x2矩形 • 当然，2、3两种情况都需要x，y满足一定的条件 • 对于第一种情况，(x,y)显然是多余的，加上(x,y)与不加上(x,y)是等价的，即 A(x,y,p)=S(B(x,y)-P) =S(B(x,y-1)-P) =A(x,y-1,p)

13. 第二种情况 • 很显然，要使第二种情况成立，p的值需要一定的条件，即 py-1=0 • 从右图可以得到下面的结论： A(x,y,p)=S(B(x,y)-P) =S(B(x,y-2)-(P+2x Ey-1+2xEy))+1 =A(x,y-2,p+2x3y-1 +2x3y)+1

14. 第三种情况 • 同上，也需要p满足一定的条件： py-1=py-2=0 • 由右图可得下面的结论： A(x,y,p)=S(B(x,y)-P) =S(B(x,y-3)-(P+Ey+ Ey-1+Ey-2))+1 =A(x,y-3,p+3y-2+ 3y-1+3y)+1

15. 在任何状态下，都先要考虑第一种情况，如果满足第二或第三种情况的条件，则应该取几种情况的最大值。在任何状态下，都先要考虑第一种情况，如果满足第二或第三种情况的条件，则应该取几种情况的最大值。 • 上面的讨论中，考虑的y是大于1的，对于y等于0和1，可得同样的结论。x=0的初始值全为0，所以只需考虑x>0的情况。 • 由上面的讨论可知，我们只需要记录最后3个方块(x,y)的数据，就可以一步一步的推到最后，而A(N-1,M-1,0)就是我们所要求的答案。 • 算法的时间复杂度为O(MN3M)

16. 二、优化 • 150x10x59049≈9x107 • 运算时间60s左右 • 对于每个(x,y)，都要计算所有的p对应的P的第y个分量（还有y-1、y-2）的值，这里重复计算很多。我们可以事先计算好每个p的各个分量的值。这样处理以后，时间减少到了15s左右。 • 再通过一些细节的更改，最后时间能减少到8.5s。

17. 三、进一步分析 • 从M，N，P三个数上着手 • M最大为10，没什么好考虑的 • N最大为150，N减少1，将减少M3M次循环，我们考虑一个6xM(2≤M)的子区域，如果这其中没有坏的方块，则这个子区域能被2x3的矩形填满。如果题目给的数据中存在这样一个区域，我们可以把这个区域挖去，求得剩下的部分所能达到的最大值，再加上M，就应该是最后的答案。但是这样编出的程序Wrong Answer。

18. 分析原因 • 问题在于：我们要求的6xM的子区域的边界是规则的，而实际中如果子区域两边都是不占用子区域的最优情况，则有可能出现两边都浪费了2x2的小区域的情况，并且它们不是平行的，连接到一起仍然不能组成一个新的3x2，这样就少计算了。 • 如果改成要求8xM或10xM，仍然会出现类似的情况。再大的区域就没有意义了，即使算法正确，出现这样的数据的可能性也太小了。

19. 再考虑P • 考虑右边这种情况：它表示P的一个局部。 • 图中阴影部分对于摆放3x2矩形没有任何的贡献，所以这种情况的值可以不用计算。 • 我们用212来表示这个局部情况

20. 初步考虑 • 类似的情况还有几种：101、102、201、202 • 0到59049中存在着上面5种情况的数一共有 49300个，也就是说我们需要计算的只有不到10000个。对于那些没有计算的，在后面的递推中有可能用到。我们可以用一个数组记录与每个不需要计算的p等价的p’的值（需要计算的值就是本身）。当需要用到p的时候，直接取p’的值即可。

21. 错 • 上面的考虑是错误的 考察右图，分别是101和102的情况，它们在S(B(x,y)-P)的(x,y)处出现了问题，即那个小方块对3x2矩形有贡献，不能拿掉。 • 类似的，212也会出现这样的情况。

22. 没关系 • 我们需要计算212、101、102这三种情况，只能去掉201、202这两种情况。 • 0到59049存在201、202形状的数有27936个，仍然能少计算很多。 • 我在耗时最短的程序的基础上进行修改，然后提交……

23. Ft! • 耗时10s • 前面预先需要处理的过程耗时不到0.1s • 计算150，10，0这组数据： 未改过的耗时最短的程序需要1.6s 改过的耗时最短的程序需要1.8s • ……

24. 四、关于标程 • 2个标程：c语言的在限时80s的情况下超时，pascal语言的wrong answer • Pascal没细看，应该就是前面的算法。 • C语言用的方法和上面所说的类似，只不过是一列一列的考虑，对于每一列从第一行开始判断，对于每种情况再对下一行递归调用，直到最后一行。 • 下面简要的说说：

25. 我们只考虑已经处理过的最后两列和当前列。 • S(B(x0))定义与前面类似，表示以x0-2为边界的左边部分 • P的定义完全一样 • 有四种情况： (x-3,y,x-1,y+1) (x-2,y,x,y+1) (x-2,y,x-1,y+2) (x-1,y,x,y+2) 构成新的3x2矩形。 （左图显示了3种）

26. 五个参数的递归调用 srot(x,y,low,high,plus) x即当前列数，在随后的调用中不改变 low、high都是一个P类型的向量 plus表示当前处理过的行中已经增加了多少个3x2的矩形 y即当前行数，当y=M，则将 S(B(x-2)+low)+plus的值与S(B(x)+high)的值比较，去较大值赋给S(B(x)+high)

27. 一小段程序 • srot(x, y+1, low+2*na[y], high, plus); srot(x, y+1, low+2*na[y], high+na[y], plus); srot(x, y+1, low+2*na[y], high+2*na[y], plus); • 若是(x-3,y,x-1,y+1)存在一个3x2矩形 srot(x, y+2, low, high+na[y]+na[y+1], plus+1); srot(x, y+2, low, high+2*na[y]+na[y+1], plus+1); srot(x, y+2, low, high+na[y]+2*na[y+1], plus+1); srot(x, y+2, low, high+2*na[y]+2*na[y+1], plus+1); • 其他情况类似

28. 一直计算到第N-2列，此时S(B(N-2)+3M-1)就是所要求的结果。一直计算到第N-2列，此时S(B(N-2)+3M-1)就是所要求的结果。

29. 五、题外话 • 课程主页上有这道题的解题报告，里面算法说得很清楚，所以实现起来很容易。但是如何优化就需要认真去考虑。我一开始选这道题作解题报告，主要是想看看助教的8s的程序是怎么编的。我觉得看了助教的这个程序，比我自己去Judge Online上做出10道题学到的东西还要多。这一点都不夸张，因为只有把不会的东西转变成会的才是进步。

30. 完