Introduction aux Statistiques Variables aléatoires

1. Introduction aux Statistiques Variables aléatoires L1 STE

2. Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité Fonction de répartition Espérance Variance Variables aléatoires continues Fonction de répartition Fonction de densité Espérance Variance Plan

3. Variable aléatoire discrète Un petit jeu de dés P(X = 1) = 1/6 P(X = -10) = 5/6 pas très favorable à vue de nez… Variables aléatoires discrètes

4. Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité La loi de probabilité (ou distribution ou fonction de densité) décrit les répartitions des fréquences d’apparition des résultats d’une expérience aléatoire. Fonction de répartition La fonction de répartition correspond à la distribution cumulée que nous avions dans le cours sur les représentation graphique des données.

5. Variables aléatoires discrètes Espérance L’espérance, notée E(x) correspond à une moyenne pondérée: Variance, V(X) Il s’agit de rappels. Si cela n’est pas clair, les TD vont préciser les choses.

6. Variables aléatoires continues Fonction de répartition C’est la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R cette fois. Propriétés intéressantes…

7. Variables aléatoires continues Fonction de densité C’est la même chose que pour les variables aléatoires discrètes, excepté que x appartient à R. Il s’agit de f(x) dans la formule précédente. Propriétés intéressantes…

8. Variables aléatoires continues Espérance En suivant exactement la même construction que pour les variables aléatoires discrètes, on définit l’espérance: Variance, V(X): Idem pour la variance 8

9. En résumé Une fonction de répartition d’une variable aléatoire x est une fonction F(x) qui, pour tout x, indique la probabilité pour que x soit inférieur ou égal à x1. Variable continue (sigmoïde pour La loi normale) Variable discrète (escalier)

10. Introduction aux Statistiques Lois classiques L1 STE

11. Lois discrètes Loi binomiale Loi de Poisson Loi continue Loi normale Plan

12. La loi binomiale: B(n,p) La loi binomiale: C’est une distribution discontinue qui donne les probabilités de voir apparaître un événement de probabilité p respectivement 0,1,2,3,…n fois au cours de n épreuves. Seulement deux évènements peuvent apparaître. B(n,p) : n est le nombre d’épreuves, p est la probabilité d’un des deux évènements (p.e. succès), q est la probabilité complémentaire (p.e. échec).

13. La loi binomiale: B(n,p) La probabilité de voir apparaître x fois le même événement de probabilité p au cours de n épreuves indépendantes peut s’écrire:

14. La loi binomiale: B(n,p) Exemple: Une famille de n enfants, quelle est la probabilité d’avoir x garçons? B(2,0.5)? B(7,0.5)?

15. La loi binomiale: B(n,p) Avec n=2: B(2,0.5) x P(x) 0 0.25 1 0.5 2 0.25

16. La loi binomiale: B(n,p) Symétrique!!

17. La loi binomiale: B(n,p) Des rats sont conditionnés. Un passage a 25% d’être emprunté. 5 essais... B(5,0.25)???

18. La loi binomiale: B(n,p) Dissymétrique!!!!

19. La loi binomiale: B(n,p) Espérance mathématique Pour la loi binomiale: Exemple: Quelle est l’espérance mathématique du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants?

20. La loi binomiale: B(n,p) Pour une distribution binomiale: Exemple: Quelle est la variance du nombre de garçons dans une famille de 7 enfants?

21. La loi de Poisson: P(m) La loi de Poisson: distribution théorique discontinue qui dérive de la loi binomiale. Une des éventualités a une probabilité très faible. Surtout utilisé lorsqu’on compte des individus ou des évènements distribués au hasard dans le temps ou dans l’espace. Loi binomiale tend vers Poisson si p diminue et n augmente. En pratique un événement est rare si p<0.05. L’approximation est satisfaisante si n>50.

22. La loi de Poisson: P(m) Poisson démontre que : Tend vers: Avantage: un seul paramètre(m)

23. La loi de Poisson: P(m) Un exemple… Recherche de monnaies au détecteur de métaux. 48 monnaies sont trouvées sur 89 jours.

24. La loi de Poisson: P(m) Nombre moyen de monnaies trouvées par jour : 48/89 = 0.539. Probabilité pour qu’une trouvaille se produise le jour J : p= 1/89 = 0.011. Nombre d’épreuves = 89 s2= m = 0.539

25. La loi de Poisson: P(m)

26. La loi de Poisson: P(m) Espérance mathématique: m = np La variance : s2 = npq; en fait s2 -> m

27. La loi normale: N(m,s) Précurseurs : de Moivre (1733), forme actuelle : Laplace (1712), Gauss (1809) La variable x peut être continue, sans borne inf ou sup.

28. La loi normale: N(m,s) Espérance : E(x) = m Variance : Var(x) = s2 Symétrique par rapport à m

29. La loi normale: N(m,s) Loi normale centrée réduite: moyenne = 0, écart type = 1. 1ere transformation : X = x - m 2eme transformation : Z=X/s

30. La loi normale: N(m,s)

31. La loi normale: N(m,s) On retire la moyenne (on centre sur 0)

32. La loi normale: N(m,s) On divise par l’écart type (Nouvel écart type = 1)

33. La loi normale: N(m,s) L’aire totale comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.

34. La loi normale: N(m,s)

35. La loi normale: N(m,s) Fonction de densité et fonction de répartition

36. La loi normale: N(m,s)

37. La loi normale: N(m,s)

38. La loi normale: N(m,s)

39. La loi normale: N(m,s)

40. La loi normale: N(m,s) Exemple: N(5,0.5), P(4 < x < 6.5)? P (-2 < Z < 3)? Réponse : calcul de P(0 < Z < 3) et de P(-2 < Z < 0) et addition des deux termes. P(0 < Z < 3) = F(3) - F(0) = 0.999 - 0.5 = 0.499 P(-2 < Z < 0) = F(2) - F(0) = 0.977 - 0.5 = 0.477 P(-2 < Z < 3) = 0.499 + 0.477 = 0.976

41. La loi normale: N(m,s) Caractéristiques de la courbenormale • f(Z) devient de + en + faible quand Z croit en valeur absolue. • f(Z) toujours > 0. • Courbe symétrique : f(Z) = f(-Z) • Asymptote sur l’axe des x: exp(-z2/2) ->0 quand Z -> infini • La dérivée s’annule pour Z=0. Maximum à Z=0

42. La loi normale: N(m,s) Espérance : E(x) = m Variance : Var(x) = s2 Symétrique par rapport à m

43. La loi normale: N(m,s) Pour une variable continue, la probabilité de tomber exactement sur une valeur est nulle. Qui mesure exactement 1,758942563 m? On considère la toujours la probabilité pour que x soit contenue dans un intervalle (P(x1 x  x2))