MATEMÁTICA

1. MATEMÁTICA

2. MatemáticaCiência e aplicações Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, NilzeDe Almeida – 3º ano Ensino Médio

3. 2º Bimestre Resumo do bimestre Neste bimestre foram trabalhados os temas: As cônicas – introdução Elipse Hipérbole Parábola Estatística básica – introdução Medidas de centralidade – Média aritmética, média aritmética ponderada, moda e mediana Medidas de dispersão – Amplitude, variância, desvio padrão e desvio médio Medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

4. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Secções cônicas INTRODUÇÃO Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre São curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano α. Circunferência Parábola Hipérbole Elipse Quando o plano α for perpendicular ao eixo e do cone. Se o plano passa pelo ponto V do cone, a seção obtida é um ponto. Quandoo plano α for paralelo a uma geratriz do cone. Quando o plano α for paralelo ao eixo do cone. Quando o plano α for paralelo a uma geratriz do cone.

5. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Elipse ELIPSE Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Dados dois pontos distintos e , pertencentes a um plano ,seja 2c a distância entre eles e O o ponto médio de . Elipse é o conjunto dos pontos de cuja soma das distâncias e é igual à constante 2a (2a < 2c). • OCentro • 2a medida do eixo maior • 2b medida do eixo menor • e são perpendiculares entre si • 2cdistância focal • excentricidade elipse = {p ∈ α | PF1 + PF2 = 2a} a2 = b2 + c2

6. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Equações reduzidas das elipses com centro na origem ELIPSES Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre O eixo maior está contido em Oy e o eixo menor em Ox. O eixo maior está contido em Ox e o eixo menor em Oy. Equações reduzidas das elipses com centro fora da origem Centro em O’(, ) e eixo maior paralelo a Ox. Centro em O’(, ) e eixo maior paralelo a Oy.

7. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Hipérbole HIPÉRBOLE Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Dados dois pontos distintos e , pertencentes a um plano ,seja 2c a distância entre eles e O o ponto médio de . Hipérboleé o conjunto dos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias entre F1 e F2 é igual a constante 2a (0 < 2a < 2c). • efocos da hipérbole • Ocentro da hipérbole • eixo real ou transverso • 2cdistância focal, em que c = O • 2amedida do eixo real, em que a = O • e = excentricidade (0,b) e (0, -b) não pertencem à hipérbole mas determinam o segmento de medida 2b , que é chamado eixo imaginário da hipérbole. a2 = b2 + c2

8. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Equações reduzidas das hipérboles Os focos F1 e F2 estão contidos no eixo Oy EQUAÇÃO REDUZIDA Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Os focos F1 e F2 estão contidos no eixo Ox Equações das hipérboles com centro fora da origem Centro em O’(, ) e eixo real paralelo a Ox. Centro em O’(, ) e eixo real paralelo a Ox.

9. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Funções recíprocas HIPÉRBOLE Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre A função , sendo k uma constante real, é denominada de função recíproca e seu gráfico é uma hipérbole representada ao lado. Hipérbole equilátera Dizemos que uma hipérbole é equilátera, se sua equação apresenta a = b.

10. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Parábola PARÁBOLA Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre • Dados um ponto F pertencente a um plano α e uma reta d contida em α, com F ∉ d, seja p a distância entre o ponto F e a reta d. Parábola é o conjunto dos pontos de α que estão à mesma distância de F e de d. • parábola = {p ∈α | PF = PP'} • ddiretriz • pparamerto • Vvértice • eixo de simetria (reta que passa por F e é perpendicular à diretriz

11. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Equações reduzidas das parábolas com vértice na origem PARÁBOLAS Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre O vértice na origem e foco no eixo das ordenadas. O vértice na origem e foco no eixo das abscissas. y Equações das parábolas com centro fora da origem Vértice em V(, ) e paralelo a Ox. Centro em O’(, ) e eixo maior paralelo a Oy.

12. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Equação da parábola e a função quadrática PARÁBOLAS E FUNÇÕES QUADRÁTICAS Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre • Uma parábola de equação (x − x0)2 = 2p(y − y0) possui vértice V(x0, y0) e eixo de simetria vertical pode ser escrita na forma: x2 − 2x0x + x02=2py − 2py0 ou ainda: • a = que corresponde à lei de uma função quadrática • b = • c =

13. CAPÍTULO 4 – AS CÔNICAS Reconhecimento de uma cônica pela equação PARÁBOLAS E FUNÇÕES QUADRÁTICAS Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Elipses Elipse com eixo maior horizontal Elipse com eixo maior vertical Hipérboles Hipérbole com eixo real horizontal Hipérbole com eixo real horizontal Parábolas Parábola com eixo de simetria vertical Parábola com eixo de simetria horizontal

14. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA No volume 1 desta coleção foi dada a introdução dos estudos de estatística básica. É conveniente a revisão dos seguintes tópicos: INTRODUÇÃO Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre

15. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA Média aritmética MEDIDAS DE CENTRALIDADE Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Sejam , , ... , a relação dos valores assumidos por uma determinada variável quantitativa x. A média aritmética ou é a razão entre a soma de todos esses valores e o número total de valores. (lê-se: “somatório de, para i variando de 1 até n”. Significa que devemos atribuir para i, sucessivamente, os valores 1, 2,..., n). ou Exemplo: Os valores seguintes referem-se às notas obtidas por um aluno em oito disciplinas do Ensino Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5; 6,0, 4,2; 3,9.; 4,8; 6,2; 8,0; 5,4. =

16. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA Média aritmética ponderada MEDIDAS DE CENTRALIDADE Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Consideremos uma relação de valores formadas pelos elementos x1, x2, …, xk, com frequências absolutas respectivamente iguais a n1, n2, …, nk. A média aritmética ponderada desses valores é: ou Exemplo: Em um espetáculo musical. Foram vendidos 1200 ingressos cujos valores dependiam do setor escolhido no teatro, como mostra o quadro abaixo: Qual foi o valor médio pago pelo espetáculo?

17. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA Mediana MEDIANA Sejam x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn os n valores ordenados assumidos por uma variável quantitativaX, em um conjunto de observações. Define-se a mediana (Me) por meio da relação: A definição garante que a mediana seja um valor central que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos. Exemplo: O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguinte número de peças defeituosas (por lote de 100 unidades): 6 – 4 – 9 – 6 – 3 – 8 – 1 – 4 – 5 - 6 Para determinar a mediana, devemos ordenar os valores: 1 – 3 – 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 - 9 Como o número de elementos é par (10), a mediana (elemento central) está entre o 5º e o 6º elemento., isto é: Média aritmética entre os dois elementos centrais, no caso de números pares de elementos

18. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA Moda Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre MEDIDAS DE CENTRALIDADE • A moda (Mo) de uma relação de valores é o valor que ocorre mais vezes na relação, isto é, que possui maior frequência absoluta. Exemplos: Vamos encontrar a moda dos seguintes conjuntos de valores: 5 — 8 — 11 — 8 — 3 — 4 — 8 A moda é 5 8, pois há três valores iguais a 8. b) 2 — 3 — 9 — 3 — 4 — 2 — 6 Há duas modas: 2 e 3. Dizemos, então, que se trata de uma distribuição de frequências bimodal. c) 1 — 3 — 4 — 6 — 9 — 11 — 2 Nesse caso, todos os valores aparecem com a mesma frequência unitária. Assim, não há moda nessa distribuição. OBSERVAÇÃO: média, mediana e moda são as três medidas de tendência central mais usuais que podem ser associadas a um conjunto de dados. Cada uma delas possui, interpretação e significado próprios. Dependendo da natureza dos dados, uma ou outra dessas medidas pode ser mais adequada para representá-los quantitativamente. Entretanto, a análise dos dados se torna mais completa quando conhecemos os valores das três medidas.

19. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA Medidas de dispersão MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE) Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Desvio padrão Variância É a raiz quadrada da variância e é indicado por: Sejam x1, x2, …, xn a relação de valores assumidos por uma variável quantitativa X e a média aritmética desses valores. Indica-se por . Desvio médio Sejam x1, x2, …, xn os valores assumidos por uma variável quantitativa X e a média aritmética desses valores. Indica-se por .

20. CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA BÁSICA Elementos para medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 2º Bimestre Amplitude É o número real dado pela diferença entre o maior e o menor valores registrados (nessa ordem). Determinação da classe modal Definimos classe modal como a classe que apresenta maior frequência absoluta. Exemplo: Na tabela ao lado, a classe modal é 2500 |⎯ 4000, pois há 12 valores pertencentes a esse intervalo (as outras frequências são menores).