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§6. 全概率公式与贝叶斯公式

例 1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70 ％，乙厂占 30 ％，甲厂产品的合格率是 95 ％，乙厂的合格率是 80 ％ 若用事件 A ， Ā 分别表示甲、乙两厂的产品， B 表示产品 为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格 灯泡是甲厂生产的概率。. §6. 全概率公式与贝叶斯公式. 解： B=AB+ ĀB 且 AB 与 ĀB 互不相容。. P(B)=P(AB+ ĀB ). =P(AB)+P( Ā B). =P(A)P(B|A)+P( Ā )P(B| Ā ). =0.7 × 0.95+0.3 × 0.8. =0.905.

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§6. 全概率公式与贝叶斯公式

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  1. 例1市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占例1市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占 30％，甲厂产品的合格率是95％，乙厂的合格率是80％ 若用事件A，Ā分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品 为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格 灯泡是甲厂生产的概率。 §6.全概率公式与贝叶斯公式 解：B=AB+ĀB且AB与ĀB互不相容。 P(B)=P(AB+ĀB) =P(AB)+P(ĀB) =P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā) =0.7×0.95+0.3×0.8 =0.905

  2. 定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,…构成一个完备事件组 并且都具有正概率，则对任何一个事件B,有 证：A1,A2,…两两互斥，故A1B,A2B,…两两互斥 由加法法则 再由乘法法则

  3. 定理2 (贝叶斯公式)若事件A1,A2,…构成一个完备事件组， 且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B,有 全概率 各原因下条件概率已知 求事件发生概率 求是某种原因造成得概率 事件已发生 贝叶斯

  4. 例2设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。例2设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。 一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校 正过的枪射击，中靶率为0.4。 (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？ (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校 正的概率。 解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶

  5. 例3有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，例3有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球， B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。 现任取一箱，再从中任取一球，求 (1)此球是白球的概率 (2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。 解：用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球 用D表示取出的是白球。 则A、B、C是完备事件组。

  6. 例4 (抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。 解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。

  7. 例5设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5％，即若用A表例5设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5％，即若用A表 示验血阳性，B表示受验者患病，则 若有10000人受检，患病者仅50人，其中验血阳性约47.5人 而9950健康人中，验血阳性者为9950×0.05＝497.5人

  8. 定义1 若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响， 即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。 定义2 若n (n>2)个事件A1,…,An中任何一个事件发生的 可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响， 称A1,A2,…,An相互独立。 §7 独立试验概型 (一)事件的独立性 故若A独立于B，则B也独立于A,称事件A与事件B相互 独立。 关于独立性有如下性质：

  9. (1)事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B) 证：必要性 若A与B中有一个事件概率为零，结论成立。 设A与B的概率都不为零，由独立性 P(B|A)=P(B) 而由乘法法则可得 P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B) 充分性 设P(B)>0,则 =P(A) 即A与B独立。

  10. 证： 类似可证其它两对事件独立。

  11. (3)若事件A1,A2,…,An相互独立，则有 P(A1…An)=P(A1)…P(An) 证：P(A1…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1) 而P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An) 故P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

  12. 例1设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中例1设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中 目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被 击中的概率。 解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。 目标被击中，即至少有一人击中，即A+B A与B独立。故 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.9×0.8 =0.98 或由性质(4) =1-0.1×0.2 =0.98

  13. 例2一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求：例2一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求： (1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。 (2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达 到99％？ 解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)＝0.004 ＝0.99 即0.996n＝0.01

  14. 例3甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，例3甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管， 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9， 0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概 率以及机床因无人照管而停工的概率。 解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、 丙不需要照管。 则A、B、C相互独立，且 P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85

  15. a b 例4图中开关a、b、c开或关 的概率都是0.5，且各开关是 否关闭相互独立。求灯亮的 概率以及若已见灯亮，开关a 与b同时关闭的概率。 c 解：令A、B、C分别表示开关a、b、c关闭，D表示灯亮 P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C) =0.5×0.5+0.5-0.5×0.5×0.5 =0.625 ABD=AB =0.4

  16. 例5甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为例5甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是 0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。 解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3 用B表示目标被摧毁。 P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1 P(A0)=0.6×0.5×0.3 =0.09 P(A1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7 =0.36 P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7 =0.41 P(A3)=0.4×0.5×0.7 =0.14 ＝0.458

  17. (二)独立试验序列概型 进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。 若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0<p<1)。 这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。

  18. 例6一批产品的废品率为p,(0<p<1)重复抽取n次， 求有k次取到废品的概率。 解：设所求事件的概率为P(B),事件B由下列m个互 不相容的事件组成： B1=(废，…，废，正，…，正) B2=(废，…，废，正，废，正，…，正) Bm=(正，…，正，废，…，废) P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=pk(1-p)n-k

  19. 例7一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现例7一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现 在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。 一般地，有如下的定理： 解：设B表示至少有两件一级品 ＝1-P10(0)-P10(1)

  20. 例8某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。 解：设A表示至少有6人治愈。 ＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10) 而正好有8人治愈的概率为 =0.302

  21. 例9在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。 解：设在一次试验中A出现的概率为p 则A至少出现一次的概率为 故 (1-p)4=0.41 1-p=0.8 p=0.2 A至多出现一次的概率为： P4(0)+P4(1) =0.82

  22. 例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？ 解法一： 应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。 即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。 甲最终获胜的概率为 P4(2)+P4(3)+P4(4)

  23. 解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。 甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为 甲方在第四局结束赌博获胜的概率为 甲方在第五局结束赌博获胜的概率为 故甲方最终获胜的概率为 P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5) 赌注应按11：5的比例分配。

  24. 例11 (赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。 解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为 P5(3)+P5(4)+P5(5) =0.6826 在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3) =0.648 甲应选择五局三胜制。

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