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6.6 AX=O 之解空間

6.6 AX=O 之解空間. 本節暫略. 6.7 非齊次線性方程組. 考慮非 齊次線性方程組 ：. 或表示成. AX = B. 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1. x 1 + 3 x 2 −2 x 4 = 0. −4 x 1 − x 2 + 2 x 3 −9 x 4 = −3. 可用矩陣表示為.  AX = B. A. B. X. 考慮 方程組 ：. 非 齊次方程組 不一定有解！. 矛盾！. AX = B 之解的結構. 定理

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6.6 AX=O 之解空間

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Presentation Transcript

  1. 6.6 AX=O之解空間 本節暫略

  2. 6.7 非齊次線性方程組 考慮非齊次線性方程組： 或表示成 AX = B

  3. 2x1 − x2 + 3x3 + x4 = 1 x1 + 3x2 −2x4 = 0 −4x1 − x2 + 2x3 −9 x4 = −3 可用矩陣表示為 AX = B A B X

  4. 考慮方程組： 非齊次方程組 不一定有解！ 矛盾！

  5. AX = B之解的結構 定理 設UP為AX=B之任意解，則AX=B的 每一解之形式為UP+H，其中H為 AX=O之解。 (1)令W為AX = B之解，先證明 W可表示成UP+H之形式 [證明] AW = B AUp=B A( W–UP ) = O

  6. ( W–UP )為AX=O之一解 令( W–UP ) = H 則W = UP + H 得證. (2)若W = UP+H ( H為AX = O之解)， 以下再證明W為AX=B之一解 AW = A(UP+H) = AUP + AH = B + O = B 所以W為AX=B之一解

  7. 這表示若 UP 為 AX=B 之任意解， 且 H 為 AX=O 之通解，則 UP+H 包含 AX=B 之所有可能解。 我們稱 UP+H 為AX=B的通解 General Solution

  8. 考慮方程組： (1)求AX=O 之通解：

  9. (2)求AX=B 之任一解：

  10. 所以 AX=B 之通解為

  11. 增廣矩陣 增廣矩陣為 [A|B] 方程組AX = B , 例如

  12. 解非齊次方程組AX = B 必須簡化增廣矩陣 [A|B]

  13. 考慮方程組：

  14. 定理 若且唯若 rank(A) = rank([A|B])， 則非齊次方程組AX=B 有一解

  15. 考慮方程組：(先前討論過的題目)

  16. 故 rank(A)=2=rank([A|B])  有一解 (以下續解)

  17. 可得方程組 齊次方程 之通解 故 特解

  18. 考慮方程組：

  19. rank(A) = 2 rank([A|B])=3   無解！ 最後一個方程式  矛盾

  20. 定理 A為nn矩陣，若且唯若 AR = In， 則非齊次方程組AX=B 有唯一解 此時 rank(A) = n

  21. 6.7習 題 1. 14.

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