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2.2. Granger 因果检验 VAR 模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。

第二节 VAR 模型的检验. 2.2. Granger 因果检验 VAR 模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。 本节介绍由 Granger(1969) 提出， Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。. 1. 第二节 VAR 模型的检验. Granger(1969) 基予预期理论 解决了 x 是否引起 y 的问题。主要看现在的 y 能够在多大程度上能够被过去的 x 解释，即加入 x 的滞后值是否使 y 解释程度提高。

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2.2. Granger 因果检验 VAR 模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。

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  1. 第二节 VAR模型的检验 • 2.2.Granger因果检验 • VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。 • 本节介绍由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。 1

  2. 第二节 VAR模型的检验 • Granger(1969)基予预期理论解决了 x 是否引起 y 的问题。主要看现在的 y 能够在多大程度上能够被过去的 x 解释，即加入 x 的滞后值是否使y 解释程度提高。 • 如果添加 x 的过去值对 y 的预测有帮助，或 x 与 y 的相关系数在统计上显著时，就说“ y 是由 x Granger引起的”。 2

  3. 第二节 VAR模型的检验 • 考虑对 yt 进行 s 期预测的均方误差（MSE）： 3

  4. 第二节 VAR模型的检验 • Granger因果关系定义： • 如果关于所有的s>0，基于(yt，yt-1，…)预测 yt+s 得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)两者得到的 yt+s 的均方误差相同，即 • 则称 y 不是由 x Granger引起的，或 x 不是 y 的Granger原因。 • 此时也称 x 对于 y 是外生的。 4

  5. 第二节 VAR模型的检验 • Granger因果关系检验 • Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其它变量方程中。 • 一个变量如果受到其它变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。 5

  6. 第二节 VAR模型的检验 • Granger因果关系检验 • 对二元 p 阶的VAR模型 • 当且仅当系数矩阵中的系数 全部为0时，变量 x 不能Granger引起 y。 6

  7. 第二节 VAR模型的检验 • 判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验： • H0 : • H1 : 至少存在一个 q 使得 • 其统计量为 • 如果S1大于F 的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x 不能Granger引起 y。 7

  8. 第二节 VAR模型的检验 • 注意: • Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度 p 的选择有关。 • Granger因果检验Eviews操作的两种方法： • 在VAR的估计式中进行 • 在数据组中进行 • 例1952-1991年进出口数据 8

  9. Granger 因果检验的EViews操作 • 方法1：在VAR模型估计中进行 • 在VRA模型估计窗口 • 选择View/Lag Structure/ Granger Causality Tests， 9

  10. Granger 因果检验的EViews操作 在VAR模型估计中进行 • 在VRA模型估计窗口 • 选择View/Lag Structure/ Granger Causality Tests，

  11. Granger 因果检验的EViews操作---例6.1 在VAR模型估计中进行 • 选择View/Lag Structure/ Granger Causality Tests • 输出结果： 11

  12. Granger 因果检验的EViews操作 输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的2统计量。 12

  13. Granger 因果检验的EViews操作 • 方法2：在组Group中进行 • 选择View/Granger Causality Tests 13

  14. Granger 因果检验的EViews操作 在组Group中进行 • 选择View/Granger Causality Tests • OK，弹出对话框：最大滞后阶数？ • 填入适当滞后阶数 • OK，输出检验结果 14

  15. Granger 因果检验的EViews操作 在组Group中进行 • 选择View/Granger Causality Tests • OK，弹出对话框：最大滞后阶数？ • 填入适当滞后阶数 • OK，输出检验结果 15

  16. 第二节 VAR模型的检验 • 2.2. 滞后阶数 p 的确定 • 滞后阶数p的确定是建立VAR模型的一个重要问题。 • 一方面，想使滞后阶数足够大以使所构造模型能完整反映对象的动态特征； • 另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数就越多，模型的自由度就会减少。

  17. 第二节 VAR模型的检验 • 2.2. 滞后阶数 p 的确定 • 通常选择时需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。 • 事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。 17

  18. 第二节 VAR模型的检验 • 确定滞后阶数的LR(似然比)检验 • LR (Likelihood Ratio)检验方法，从最大的滞后阶数开始： • 原假设：在滞后阶数为j 时，系数矩阵j 的元素均为0。 • 备择假设：系数矩阵j 中至少有一个元素显著不为0。 • 2 (Wald)统计量如下： • 其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m = d + kj，d是外生变量的个数，k 是内生变量个数， 和 分别表示滞后阶数为(j–1)和j 的VAR模型残差协方差矩阵的估计。 18

  19. 第二节 VAR模型的检验 • 确定滞后阶数的LR(似然比)检验 • 从最大滞后阶数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值，如果LR时，表示统计量显著，拒绝原假设。此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值； • 否则接受原假设。再减少一个滞后阶数进行检验，直到拒绝原假设。 19

  20. 第二节 VAR模型的检验 • AIC信息准则、SC信息准则 • 其中在VAR模型中n = k(d + pk)是被估计参数的总数，k 是内生变量个数，T 是样本长度，d 是外生变量的个数，p 是滞后阶数，l 是由下式确定的 20

  21. 确定滞后阶数p的EViews操作 • 在VAR模型估计的窗口中选择View/Lag Structure/Lag Length Criteria 21

  22. 确定滞后阶数p的EViews操作 • 在VAR模型估计的窗口中选择View/Lag Structure/Lag Length Criteria • 例4.1中模型的合适滞后长度p，默认滞后阶数为4，输出结果： 22

  23. 确定滞后阶数p的EViews操作 • 表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在4～7列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。 • 如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始。 23

  24. 第二节 VAR模型的检验 • 其它检验的EViews操作: • 相关图(Correlogram) • 显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交叉相关图（样本自相关）。 • 混合的自相关检验(Portmanteau Autocorrelation Test) • 计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-Box Q统计量。 24

  25. 第二节 VAR模型的检验 • 自相关LM检验(Autocorrelation LM Test) • 计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。 • 正态性检验(Normality Test) • White异方差检验 (White Heteroskedasticity Test)（见CH5) 25

  26. 第二节 VAR模型的检验 • View/Residual Test • 点VAR模型估计的窗口中选择View/Residual Test 26

  27. 第五节 Johansen协整检验 • 4.5. Johansen协整检验 • Johansen检验又称为JJ(Johansen-Juselius)检验 • 1988年及1990年，Johansen与Juselius一起提出以VAR模型为基础的检验回归系数的方法。 • 这是一种进行多变量协整检验的较好方法。 27

  28. 第五节 Johansen协整检验 • k个时间序列 yt =( y1t，y2t ，… ， ykt)协整定义： • k维向量 yt 的分量间被称为 d，b阶协整，记为 • yt ～ CI (d，b)，如果满足： • (1) yt ～ I (d)，要求 yt 的每个分量 yit ～I (d)； • (2) 存在非零向量 ，使得 yt ～ I (d  b)，0 < b ≤d 。 • 简称 yt 是协整的，向量 称为协整向量。

  29. 协整向量是惟一的 • 为讨论方便，考虑二维情形，不妨记yt= (y1t，y2t) ， 其中 y1t，y2t 都是I(1) 时间序列。 • 若存在c1 使得y1t c1y2t I(0)；另有c2也使得y1t c2 y2t  I(0)，则 • 由于 y2t I(1)，所以只能有c1 = c2 ，可见 y1t，y2t 协整时，协整向量 = (1，c1 ) 是惟一的。 一般地，设由 yt 的协整向量组成的矩阵为 B，则矩阵 B 的秩为 r=r(B )，那么0 rk1。

  30. JJ检验的基本思想 首先建立一个VAR(p)模型 其中 y1t，y2t，…，ykt都是非平稳的I(1)变量；xt 是一个确定的d 维外生向量，代表趋势项、常数项等确定性项；t是k维扰动向量。将上式经差分变换可得下式 其中

  31. I(1)过程经差分变换变成I(0)过程，上式Δyt和Δyt–j 都是I(0)变量构成的向量。只要yt-1 是I(0)的向量，即 y1,t-1，y2,t-1，…，yk,t-1之间具有协整关系，就能保证Δyt是平稳过程。 变量y1,t-1，y2,t-1, …，yk,t-1之间是否具有协整关系主要依赖于矩阵的秩。 31

  32. 设的秩为r： ①若r=k，显然只有当 y1,t-1，y2,t-1，…，yk,t-1都是I(0)变量时，才能保证yt-1是I(0)变量构成的向量。这与已知yt 为I(1)过程相矛盾，所以有r<k。 ②若r = 0，意味着  = 0，下式 仅是个差分方程，各项都是I(0)变量，不需讨论y1,t-1，y2,t-1，…，yk,t-1之间是否具有协整关系。 ③当0< r < k 时，存在r 个协整组合，其余k r个关系仍为I(1)关系。此时 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和的乘积： 其中r()= r，r( )= r。

  33. 将式 代入 ，得 上式要求  yt-1 的每一行为一个 I(0) 向量，即每一行都是 I(0) 组合变量，即的每一行所表示的 y1,t-1，y2,t-1，…，yk,t-1 的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵决定了y1,t-1，y2,t-1，…，yk,t-1 之间协整向量的个数与形式。因此，称 为协整向量矩阵，r 为协整向量的个数。 矩阵 的每一行 i 是出现在第 i 个方程中的 r 个协整组合的一组权重，故称  为调整参数矩阵，

  34. 与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而且容易发现  和并不是惟一的，因为对于任何非奇异 rr 矩阵H，乘积和H(H1) 都等于。

  35. JJ协整检验的基本原理： • 将 yt 的协整检验问题转变成对矩阵的分析问题； • 矩阵的秩等于它的非零特征根的个数， • 通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。 • 设矩阵的特征根为 • 1 2 …k。 35

  36. 5.1 特征根迹检验(trace检验) • 由r个最大特征根可得到r个协整向量，对于其余kr个非协整组合来说，r+1，…，k应该为0，于是 • 原假设： • 备选假设： 相应的检验统计量为 r称为特征根迹统计量。

  37. 5.1 特征根迹检验(trace检验) 依次检验这一系列统计量的显著性： （1）先检验0 ： 当0不显著时(即0值小于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，接受H00 (r = 0)，表明有k 个单位根，0个协整向量(即不存在协整关系)。 当0显著时(即0 值大于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，拒绝H00 ，则表明至少有一个协整向量。 37

  38. 5.1 特征根迹检验(trace检验) （2）再检验 1 的显著性： 当1不显著时，接受H10，表明只有1个协整向量； 当1显著时，拒绝H10，接受H11，表明至少有2个协整向量。 依次进行下去直到接受Hr0，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征根的经正规化的特征向量。

  39. 5.1 特征根迹检验(trace检验) 根据右边假设检验，大于临界值拒绝原假设。继续检验的过程可归纳为如下的序贯过程： 1 <临界值，接受H10 ，表明只有1个协整向量； 1 >临界值，拒绝H10 ，表明至少有2个协整向量； ┇ r<临界值，接受Hr0，表明只有 r 个协整向量。

  40. 5.2 最大特征值检验 对于Johansen协整检验，另外一个类似的检验方法是 检验统计量是基于最大特征值的，其形式为 其中r称为最大特征根统计量，简记为-max统计量。

  41. 5.2 最大特征值检验 检验从小往大依次进行： （1）先检验0 ， 若0 <临界值，接受H00 (r=0)，表明最大特征根为0，无协整向量； 若0 >临界值，拒绝H00 ，接受H01，至少有1个协整向量。

  42. 5.2 最大特征值检验 （2）再检验1 ， 若1 <临界值，接受H10 (r=0)，表明最大特征根为0，无协整向量； 若1 >临界值，拒绝H11 ，接受H11，至少有2个协整向量。 依次进行下去，直到接受Hr0，共有r个协整向量。 42

  43. 5.3 协整方程的形式 与单变量时间序列可能出现非零均值、包含确定性趋势或随机趋势一样，协整方程也可以包含截距和确定性趋势。方程可能会出现如下情况（Johansen，1995）： (1)VAR模型没有确定趋势，协整方程没有截距： (2)VAR模型没有确定趋势，协整方程有截距项 0：

  44. (3) VAR模型有确定性线性趋势，但协整方程只有截距： (9.6.10) (4) VAR模型和协整方程都有线性趋势，协整方程的线性趋势表示为 1t： (9.6.11) (5) VAR模型有二次趋势，协整方程仅有线性趋势： (9.6.12) 其中是k ( kr )阶矩阵，它被称为的正交互余矩阵(orthogonal complement)，即  0。

  45. 与有关的项是协整关系的外部确定项，当确定项同时出现在协整关系的内部和外部时，的分解不是惟一可识别的。Johansen(1995)指出可将属于误差修正项内的那部分外生项正交地投影于空间上，所以是的0空间，即 0 。

  46. 还有一些需要注意的细节： (1) Johansen协整检验的临界值对 k=10的序列都是有效的。而且临界值依赖于趋势假设，对于包含其他确定性回归量的模型可能是不适合。例如，VAR模型中如果包含转移(变迁)虚拟变量，可能使水平系列 yt产生一个不连续的线性趋势。 (2) 迹统计量和最大特征值统计量的结论可能产生冲突。对这样的情况，建议检验估计得到的协整向量，并将选择建立在协整关系的解释能力上，参考例6.7。

  47. 协整检验的EViews操作 • 协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验。 • EViews软件中协整检验实现的理论基础是Johansen (1991, 1995a)协整理论。在Cointegration Test Specification的对话框（下图）中将提供关于检验的详细信息： 47

  48. 协整检验的EViews操作 • 从VAR对象或Group(组)对象的工具栏中选择View/ Cointegration Test… • 出现对话框 48

  49. 1. 协整检验的设定 (1) 确定性趋势的说明 序列也许会有非零均值或确定趋势。类似地，协整方程也可能会有截距和确定趋势，关于协整的LR检验统计量的渐近分布不再是通常的 2 分布，它的分布依赖于与确定趋势有关的假设。因此，为了完成这个检验，需要提供关于基本数据的趋势假设。 EViews在Deterministic Trend assumption of test对话框中，对6.6.3节讨论的5种可能形式提供了检验。

  50. 协整检验的EViews操作 如果不能确定用哪一个趋势假设，可以选择Summary of all 5 trend assumption(第6个选择)帮助确定趋势假设的选择。这个选项在5种趋势假设的每一个下面都标明协整关系的个数，可以看到趋势假设检验结果的敏感性。 50

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