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课间休息. 注意时间. 第五章 关系数据理论 5.1 问题的提出. 一 、关系模式 一个 关系模式应当是一个五元组 : R (U, D, dom, F) 其中 : (1) 关系名 R; (2) 一组属性 U; (3) 属性组 U 中属性所来自的域 D; (4) 属性到域的映射 dom; (5) 属性组 U 上的一组数据依赖 F. 由于 (3),(4) 队模式设计关系不大，因此本章把关系模式看作是一个三元组： R <U, F>. 二、 数据依赖的概念.

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  1. 课间休息 注意时间

  2. 第五章 关系数据理论 5.1问题的提出 一 、关系模式 一个关系模式应当是一个五元组: R(U, D, dom, F) 其中: (1) 关系名R; (2) 一组属性U; (3) 属性组U中属性所来自的域D; (4) 属性到域的映射dom; (5) 属性组U上的一组数据依赖 F 由于(3),(4)队模式设计关系不大，因此本章把关系模式看作是一个三元组： R <U, F>

  3. 二、 数据依赖的概念 比如描述一个学生的关系，可以有学号(SNO),姓名(SNAME),.系名(SDEPT)等几个属性. 称SNO函数决定SNAME和SDEPT，或者说SNAME、SDEPT函数依赖于SNO，记为：SNO→SNAME，SNO→SDEPT。 要建立一个数据库来描述学生的一些情况，面临的对象有： 学生，系，系负责人，课程和成绩。于是得到一组属性。 U={SNO, SDEPT, MN,CNAME, G} 由现实世界的已知事实,得到属性组U上的一组函数依赖: F={SNO →SDEPT, STEPT → NM, (SNO,CNAME) → G} 描述学校的数据库模式: S<U, F>, 它是一个单一的关系模式,这个模式有三个“毛病”. 把上述单一的关系模式进行改造,分成三个关系模式: S(SNO, SDEPT,SNO → SDEPT); SG(SNO,CNAME,G,(SNO,CNAME) → G); DEPT(SDEPT,MN,SDEPT → MN);

  4. 5.2 规 范 化 定义5.2在R(U)中，如果 X → Y，且对于X的任何一个真子集X， 都有X’ →Y,则称Y对X完全函数依赖，记作： X → Y. \ F 若 X → Y,但Y不完全函数依赖X,则称Y对X部分函数依赖,记作： X → Y. P _ \ 定义5.3在R(U)中，如果 X→Y,(Y X),Y→ X,Y→Z,则称Z对X传递函数依赖. ∪ 5.2.1 函数依赖 定义5.1设R(U)是属性集U上的关系模式. X,Y是U的子集. 若对于R(U)的任意一个可能的关系r, r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等,而在Y上的属性值不等,则称X函数确定Y或Y函数依赖于X,记作X → Y.

  5. 5.2.2 码 定义5.4 设K为R(U, F)中的属性或属性组合, 若K→U,则K为R的候选码(Candidate key)。 1NF 2NF 3NF BCNF 4NF 5NF 定义5.5 关系模式R中的属性或属性组X并非R的码, 但X是另一个关系模式的码，则称X是R的外部码(Foreign key)。也称外码。 5.2.3 范式 图5.2 各种范式之间的关系

  6. 5.2.4 2NF 定义5.6若R∈1NF, 且每一个非主属性完全函数函数依赖于码, 则R∈2NF。 下面举一个不是2NF的例子： 关系模式S-L-C(SNO, SDEPT, SLOC, CNO, G) 这里码为(SNO, CNO). 函数依赖有: (SNO, CNO) →G SNO →SDEPT, (SNO, CNO) →SDEPT SNO →SLOC, (SNO, CNO) →SLOC F P P 5.2.5 3NF 定义5.7关系模式R <U, F>中若不存在这样的码X，属性组Y及非主属性Z（Z Y），使得X →Y,(Y →X) Y →Z成立,则称 R <U, F> ∈3NF ∪ 一个关系模式R不属于2NF,就会产生以下三个问题. 解决的办法是用投影分解把关系模式S-L-C分解为两个关系模式. SC(SNO, CNO,G) S-L(SNO,SDEPT,CLOC)

  7. 5.2.6 BCNF BCNF 比 3NF 更进一步，其消除主属性对码的部分与传递依赖。 1. 定义7.8： 关系模式R<U，F>∈1NF，若X→Y且Y X时X必含有码， 则R<U，F> ∈BCNF 。 即： R<U，F> 中，每一个决定因素都包含码，则R<U，F> ∈BCNF。 2. 结论： ⑴.所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖。 显然，这是3NF的要求所达到的，非主属性不部分、传递函数依赖于码。 ⑵.所有主属性对每一个不包含它的码，是完全函数依赖。 ⑶.没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。

  8. 3. 举例： 例 1：关系模式 SJP（S，J，P）中，S 是学生，J 表示课程，P表示名次。 由语义得到下面的函数依赖： （S，J） → P；（J，P） → S 这个关系模式中显然没有属性对码传递函数依赖或部分依赖。所以SJP∈3NF。 又因除（S，J）与（J，P）以外没有其他决定因素。所以SJP∈BCNF。 例2 关系模式STJ(S,T,J)中,S表示学生,T表示教师, J表示课程. 由语义得到下面的函数依赖： （S，J） → T；（S，T） →J; T → J STJ∈3NF, 但STJ不是BCNF关系,因为T是决定因素,而T不是码.

  9. 5.2.7 多值依赖 一. 引入 例1 P178 二. 定义7.9 设R（U）是属性集U上的一个关系模式。X，Y，Z是U的子集，并且Z=U-X-Y，关系模式R(U)中多值依赖X→ →Y成立, 当且仅当对R（U）的任一关系r, 给定的一对（x, z）值, 有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。 三. 举例 例2. 关系模式WSC(W,S,C)中,W表示仓库,S表示保管员,C表示商品.

  10. 四. 多值依赖的性质： (1).多值依赖具有对称性。即若X→→Y，则X→→Z， 其中Z＝U－X－Y。 (2). 多值依赖的传递性。 X→→Y，Y→→Z，则X→→Z－Y。 (3). 函数依赖是多值依赖的特殊情况。即若X→Y，则X→→Y. (4). 若 X→→Y，X→→Z，则X→→ZY。 (5). 若 X→→Y，X→→Z，则X→→Z∩Y。 (6). 若 X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z, X→→Z-Y 。 五. 多值依赖与函数依赖的基本区别

  11. 5.2.8 4NF 4NF 是消除了非平凡且非函数依赖的多值依赖。 1. 定义7.10： 关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡的多值依赖X→→Y（YX） ，X都含有码，则称R<U，F> ∈4NF。 注：一个关系模式若属于4NF，则必然属于BCNF。 5.2.9 规范化小结 规范化的目的是：消除关系模式中存在的插入异常、删除异常、修改复杂和数据冗余等毛病。 基本思想是：逐步消除数据依赖中不合适的部分，使概念单一化。 1NF→2NF：消除非主属性对码的部分函数依赖。 2NF→3NF：消除非主属性对码的传递函数依赖。 3NF→BCNF：消除主属性对码的部分和传递函数依赖。 BCNF→4NF：消除非平凡且非函数依赖的多值依赖。 方法：通过对关系模式的投影分解来实现的。

  12. 5.3 数据依赖的公理系统 定义5.11： 对于满足一组函数依赖F 的关系模式R <U，F>，其任何一个关系r,若函数依赖X→Y都成立，则称F 逻辑蕴含X→Y。 1.合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ 2.伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z 3.分解规则：由X→Y，ZY，有X→Z 定义5.12： 在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫做F的闭包，记为F+ 定义5.13： 设F为属性集U上的一组函数依赖，XU，XF+=﹛A︱X →A能由F根据Armstrong公理导出 ﹜， XF+称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。 因此，要判定X →Y是否能由F根据Armstrong公理导出，就要求出XF+，判定Y是否为XF+的子集。 这是由算法5.1来完成的。

  13. 算法5.1： 求属性集X（XU）关于U上的函数依赖集F的闭包XF+ 输入：X，F 输出： XF+ 步骤： ①.令X(0)=X，i=0 ②.求B ③. X(i+1)=B∪X(i) ④.判断X(i+1)=X(i) 吗？ ⑤.相等，则XF+ =X(i),算法终止 ⑥.不等，则i = i+1，返回②

  14. 例1 已知关系R <U，F>，U=﹛A，B，C，D，E﹜，F=﹛AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B﹜。 求(AB)F+ 由算法7.1得： 设X(0) ={AB}， 计算X(1)，扫描F中各函数依赖，找左部为A，B，AB的函数依赖：AB→C，B→D， 于是X(1)=AB∪CD={ABCD}， 因为X(0) ≠ X(1) 计算X(2)，扫描F中各函数依赖，找左部为X(1)的子集的函数依赖：AC→B，C→E， 于是X(2)= X(1) ∪BE={ABCDE}， 因为X(3)＝ X(2) 所以 (AB)F+= X(2) ={ABCDE}。

  15. 补充： 已知关系R <U，F>，U=﹛A，B，C，D，E﹜，F=﹛AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B﹜。 求R 的码？ 解法： 1.求出所有可能存在的闭包X(i) =XF+， 2.若X(i) =U，则选出其中的X， 3.在X中选出最简的主属性组Xi , 4. Xi 就是所求的码。 具体解为： (AB)F+=﹛ABCDE﹜ (B)F+=﹛BD﹜ (C)F+=﹛CBDE﹜ (EC)F+=﹛CBDE﹜

  16. (AC)F+=﹛ABCDE﹜ (ABC)F+=﹛ABCDE﹜ (ABCE)F+=﹛ABCDE﹜ (BC)F+=﹛BCDE﹜ (BEC)F+=﹛BCDE﹜ (AEC)F+=﹛ABCDE﹜ 包含全部属性的有(AB)F+， (AC)F+， (ABC)F+， (ABCE)F+， (AEC)F+ 挑选出最简的是： (AB)F+， (AC)F+ 所以R 的码为： AB 和 AC

  17. 定义5.14： 如果G+ =F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。 定义5.15： 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集Fm，亦称为最小依赖集，最小覆盖。 ⑴.F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。 ⑵.F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-﹛X→A﹜等价。 ⑶. F中不存在这样的函数依赖X→A：X有真子集Z使得F -﹛X→A﹜∪ ﹛Z→A﹜与F等价。 例2：关系模式S <U，F>，U=﹛SNO，SDEPT，MN，CNAME，G﹜， F=﹛SNO→SDEPT，SDEPT→MN，（SNO ，CNAME）→G﹜。 设F’=﹛SNO→SDEPT，SNO→MN，SDEPT→MN,（SNO,CNAME）→G， （SNO,SDEPT）→SDEPT﹜ 。 根据定义5.15可以验证F为最小覆盖, 而F′不是。

  18. 定理5.3： 每一个函数依赖集F均等价于一个极小函数依赖集Fm (此Fm称为F的最小依赖集）。 求极小函数依赖集Fm的步骤： 例3 已知：F=﹛A→B，B→A，B→C，A→C，C→A﹜ 求F 的极小函数依赖集Fm 解： 1.化右部为单一属性：F=﹛A→B，B→A，B→C，A→C，C→A﹜ 2. ①在F中去掉A→B， (A)F+={AC}，∵B∈ (A)F+，∴不去掉。 ②在F中去掉B→A ， (B)F+={ABC}，∵A∈ (B)F+，∴应去掉。 ③在F中去掉B→C ， (B)F+={B}，∵C∈ (B)F+，∴不去掉。 ④在F中去掉A→C， (A)F+={ABC}，∵C∈ (A)F+，∴应去掉。

  19. ⑤在F中去掉C→A， (C)F+={C}，∵A∈ (C)F+，∴不去掉。 3.因主属性是单属性，故不用再取其子集去考察。 故极小函数依赖集Fm=﹛A→B，B→C，C→A﹜ 例4 已知关系R <U，F>，U=﹛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J﹜，F=﹛A→B，A→C，A→DE，D→E，DE→B，AF→GHI，I→J﹜。 求F 的极小函数依赖集Fm 解： 1.化右部为单一属性： ① A→DE  A→D，A→E ② AF→GHI  AF→G， AF→H， AF→I 则F=﹛A→B，A→C，A→D，A→E，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J﹜。

  20. 2. ①A→B：记G=F-﹛A→B﹜， ∴(A)G+= ﹛ACDEB﹜ ， ∴ B∈ (A)G+， ∴去掉A→B ， F=F-﹛A→B﹜=﹛ A→C，A→D，A→E，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。 ②A→C：记G=F-﹛ A→C ﹜， ∴(A)G+= ﹛ADEB﹜ ， ∴ C∈ (A)G+， ∴不去掉A→C ， F=﹛ A→C，A→D，A→E，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。

  21. 第五章结束

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