Елементи комбінаторики

1. Елементикомбінаторики

2. Зміст • Перестановки з п елементів. • Розміщення з п елементів по k. • Кількість розміщень з п елементів по k. Комбінації з п елементів по k. • Кількість комбінацій з п елементів по k.

3. КОМБіНАТОРИКА - розділ математики, у якомудосліджується, кількістьрізнихкомбінацій (всеможливих об’єднань елементів), підпорядкованихтимчиіншимумовам, якіможнаскластиізэлементів, що належать даніймножині. Означення :

4. Тема: Розміщення, перестановки і комбінації (без повторень) • І правило комбінаторики. • Правила суми і добутку • Розміщення з n елементів по k. Кількість розміщень з n елементів по k. Перестановки з n елементів. • Комбінації з n елементів по k. Кількість комбінацій з n елементів по k

5. Основні правила комбінаторики • Розміщення • Перестановки • Комбінації • Висновки

6. І правило комбінаторики: Якщо потрібно порахувати кількість варіантів, уточніть які варіанти маються на увазі. • Правила суми і добутку: • правило суми • правило добутку

7. Доведення: Нехай різні можливі вибори об'єк­та а є a1...am, а різні можливі вибори об'єкта b при виборі a1єbi1,...,bin, тоді всі можливі вибори пари {а, b} утворюють прямокутну таблицю: (a1,b11), (a1, b12), . . . . ,(a1, b1n), (a2,b21), (a2,b22), . . . . . ,(a2, b2n), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (am,bm1), (аm, bm2), . . . .,(am, bmn). Ця таблиця, очевидно, складається з mn елементів.

8. Розміщення Розміщенням з n-елементів по k, називається упорядкована k-елементна підмножина n-елементної множини в якій елементи не повторюються. Визначається формулою:

9. Приклад: Скількома способами чотири хлопці можуть запросити чотирьох із шести дівчат на танець? Розв’язок: два хлопці не можуть одночасно запросити одну і ту ж дівчину. І варіанти, при яких одні і ті ж дівчата танцують з різними хлопцями рахуються, різними, тому: Можливо 360 варіантів.

10. Перестановки Розміщення з n елементів по n називаються перестановками з n елементів. Визначається формулою: Рn =n!

11. Приклад Скільки різних шестизначних чисел можно скласти із цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, якщо цифри в числі не повторюються? Розв’язок: 1) Найдем кількість всіх перестановок із цих цифр: P6=6!=720 2) 0 не може стояти спереду числа, тому від цього числа необхідно відняти кількість перестановок, при яких 0 стоїть спереду. А це P5=5!=120. P6-P5=720-120=600

12. Запам’ятай Розміщення і перестановкиобов’язково враховують порядок елементів

13. Комбінації Комбінація з n по k – це будь-яка k-елементна підмножина n-елементної множини в якій не враховується порядок. Визначається формулою:

14. Доведення:

15. Приклади: Скільки трьохкнопочних комбінацій існує на кодовому замку (всі три кнопки натискаються одночасно), якщо на ньому всього 10 цифр. Розв’язок: Так як кнопки натискаються одночасно, то вибір цих трьох кнопок – комбінація. Звідци можливо: варіантів. .

16. При грі в доміно 4 гравця ділять порівну 28 костєй. Скількома способами вони можуть це зробити? Розв’язок: Перший гравець вибирає із 28 костєй. Другий із 28-7=21 костєй, третій 14, а четвертий гравець забирає інші кости. Отже, можливо: Приклад

17. Зробимо певні висновки: • У випадку перестановок берутся всі элементи і змінююється тільки їх розташування. • У випадку розміщення береться тільки частина элементів і важливо розміщення элементів один відносно одного. • У випадку комбінації береться тільки частина элементів і не має значеня розміщення элементів один відносно одного.

18. Тема: Перестановки, розміщення, комбінації (з повтореннями). 1. Розміщення з повторенням з n елементів по k. Кількість розміщень з повторенням з n елементів по k. 2. Перестановки з повтореннями. Їх кількість. 3. Комбінації з повторенням з n елементів по k. Кількість комбінацій з повторенням з n елементів по k.

19. Розміщення(з повтореннями) Розміщення з повтореннями по m елементів n-елементної множини A – це послідовність елементів множини A, що має довжину m. Визначається формулою:

20. Приклад Скільки трьохзначних чисел можно скласти из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Розв’язок: Так як порядок цифр у числі має значення, цифри можуть повторяться, то це буде розміщення з повтореннями із пяти елементів по три, а їх число дорівнює: .

21. Перестановки (з повтореннями) , де n-кількість всіх элементів, n1,n2,…,nr - кількість однакових элементів.

22. Приклад Скількома способами можно переставитибукви слова «ананас»? Розв’язок: всьго букв 6. Із них однакові n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Отже, число різних перестановок дорівнює:

23. Комбінації(з повтореннями) Комбінації елементів якоїсь множини – це її підмножини. Але у множинах елементи не повторюються, тому термін "комбінації з повтореннями", що склався в математиці, не можна вважати вдалим.Розглядається це поняття за допомогою перестановок із повтореннями.

24. Приклад В кондитерському магазині продається 4 видів тістечок: еклери, пісочні, наполеони і слойоні. Скількома способами можна купити 7 тістечок. Розв’язок: Покупка не залежить од того, в якому порядку запаковують куплені тістечка в коробку. Покупки будуть різними, якщо вони відрізняються кількістю куплених тістечок хотя б одного вида. Отже, кількість різних покупок дорівнює числу комбінацій четирьох видів тістечок по сім: .

25. Використані джерела: • Є.П.Нелін.Алгебра 11клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – Харків <<Гімназія>>,2011.-447 с. • Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c. • Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика = DiscreteMathematicswithCombinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8 • Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = EnumerativeCombinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2 • Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.