四 . 模型的无量纲化 1. 模型与量纲模型描述的是实际问题的内蕴的特征。量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响

四. 模型的无量纲化 • 1. 模型与量纲 • 模型描述的是实际问题的内蕴的特征。 • 量纲有赖于基本量的选择， • 是外加的有关量的度量手段。 • 模型所描述的规律应该独立于量纲的影响 • 机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响 • 因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。

2. 模型无量纲化举例 • 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 • 假设：同前。 • 变量、参量：同前。 • 坐标系: (x，y)，(r, θ) • 平衡关系： • 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力。 • 外力：重力 mg，张力 T。

模型 • 注意到摆球的坐标的表达式，则有 • 第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。 • 对它进行无量纲化。

变量的无量纲化 • 令称之为无量纲时间 • 代入模型可得 • 选择变换因子为则有

无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则 • w0为角频率 • 以2π为时间单位时摆动的频率数。 • 2. 特征时间 tc, • 称tc=1/w0=T0/2π为特征时间。 • 以2π为时间单位时，摆动一次所需的时间 • 3.无量纲时间  = t/tc。是以特征时间为单位的时间计量。

例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向上发射火箭。 • 讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。 • 假设： • 1. 地球是球体。 • 2. 火箭升空只需克服地球的引力。 • 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将具有自由下落的加速度 g。 • 平衡关系：牛顿定律，万有引力定律 • 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运动用。

变量、参量 • 时间：t，火箭的高度：y(t), • 地球半径：r, 初速度：v，重力加速度：g， • 火箭质量：m1,地球质量：m2. • 模型 • m1y’’= - k m1m2/(y+r)2。 • 由假设3, y = 0 时, y’’= - g。故有 g = k m2/r2. • y’’= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y’(0) = v.

模型的无量纲化 • 将模型中的变量变换为无量纲变量 • 令 tc，yc分别为具有时间量纲和长度量纲的量。 • 则 t*= t / tc，y*= y / yc就成为无量纲的时间和长度。注意到 • 模型就可以化为

令 tc2g / yc = 1, vtc/ yc = 1, 则有 • tc = v / g, yc=v2/g • 分别称 tc和 yc为特征时间和特征尺度 • 模型可以化简为 • y*’’=-(Ay*+1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, • 其中 A=v2/rg • 这时模型是简单的，而且其中所有的量都是无量纲的。

无量纲化模型的分析 • 1. 模型的化简 • 地球的半径 r = 6370千米， • r g = 62426000米2/秒2 • 火箭的速度 • 故，近似地有 A = 0，从而有 • y*’’= - 1，y*(0)=0，y*’(0)=1。 • 有解 y* = - t2* / 2 + t*，y(t) = - g t2 / 2 + v t • 还原到原模型为 y’’=-g，y(0)=0, y’(0)=v。 • 刚好是由于高度，近似取 y=0 得到的。

2. 特征时间和特征距离 • 不难看出，t c= v / g 给出了对于较小的 v，火箭在定常的引力作用下达到最高点的时间 • yc / 2 = v2 / 2g 是火箭所能达到的最高距离 • 常数 tc，yc是抛射问题的两个内在的特征指标。称之为特征时间和特征距离。当以特征时间和特征距离为单位来度量变量时 • 抛射体的运动规律是最简单的而且是最本质的， • 并且是与物理量的量纲无关。

五. 拟合模型与机理模型 • 拟合模型机理模型假设条件弱强 • 机理分析少多 • 拟合效果好差 • 普适范围小大 • 理论深度浅深

模型的无量纲化 • 问题 • P85-86：5，3*

四 . 模型的无量纲化 1. 模型与量纲 模型 描述的是实际问题的内蕴的特征。 量纲 有赖于基本量的选择， 是外加的有关量的度量手段。 模型所描述的规律应该独立于量纲的影响