Razões e proporções

1. Razões e proporções Professor João Gilberto

2. Razões e proporções 1) O conceito de razão A razão entre dois números a e b é o quociente entre eles, o seja, o resultado da divisão entre eles, onde o segundo é diferente de zero (b ≠ 0). O número a é chamado de antecedente e o número b é chamado de conseqüente da razão. Esse quociente (razão) pode ser dado entre valores de uma mesma grandeza ou de grandezas diferentes.

3. Razões e proporções 2) Razão entre grandezas de mesma espécie A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. Observação: Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado.

4. Razões e proporções 2) Razão entre grandezas de mesma espécie • Exemplo: • Numa sala de 30 alunos, 28 são destros e 2 são canhotos. A razão entre o número de canhotos e o total de alunos é: Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são iguais, ou seja, número de alunos.

5. Razões e proporções 3) Razão entre grandezas de espécies diferentes A razão entre duas grandezas de espécies diferentes não pode ser expressa por apenas um número, mas sim por um número acompanhado da unidade de medida correspondente. Lembre-se: Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado.

6. Razões e proporções 3) Razão entre grandezas de espécies diferentes Alguns tipos de razões entre grandezas de espécies diferentes: Velocidade Média Densidade demográfica Consumo Médio

7. Razões e proporções 3) Razão entre grandezas de espécies diferentes Exemplo: 2) Durante uma viagem, uma pessoa percorreu 240 km em duas horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto é dado por: Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são diferentes, e neste caso específico, recebe o nome de velocidade.

8. Razões e proporções 3) Razão entre grandezas de espécies diferentes Exemplo: 3) Um carro percorreu 500 km e gastou 40 l de combustível. Qual o consumo médio desse carro durante a viagem? Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros percorridos pelo carro com um litro de combustível. Logo: Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são diferentes, e neste caso específico, recebe o nome de consumo.

9. Razões e proporções 4) O conceito de proporção Dizemos que duas razões são iguais quando expressam quocientes iguais. Assim, podemos dizer que: Proporção é uma igualdade entre duas razões.

10. Razões e proporções 4) O conceito de proporção De modo geral, podemos dizer que os números a, b, c, d, não-nulos, formam nessa ordem uma proporção quando Os números a, b, c, d são os termos da proporção. Os termos a e d são chamados de extremos da proporção. Os termos b e c são chamados de meios da proporção.

11. Razões e proporções 4) O conceito de proporção Exemplo: 4) Verifique se os números 4, 6, 10 e 15, nessa ordem, são proporcionais As razões são iguais, logo Portanto, os números 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção.

12. Razões e proporções 5) Propriedade fundamental das proporções Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, temos de uma maneira geral que:

13. Razões e proporções 5) Propriedade fundamental das proporções Exemplo 5)Aplicando a propriedade fundamental das proporções, verifique se o par de razões formam uma proporção. Logo, podemos concluir que as razões na ordem dada, formam uma proporção.

14. Razões e proporções 5) Propriedade fundamental das proporções Exemplo: 6)Calcule o valor de x na proporção a seguir.

15. Razões e proporções 5) Propriedade fundamental das proporções Exemplo: 7)Calcule o valor de x na proporção a seguir.

16. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções 1ª) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro termo assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro.

17. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções 2ª) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo termo assim como a soma dos dois últimos termos está para o quarto.

18. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções 3ª) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro.

19. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções 4ª) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto.

20. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções 5ª) Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

21. Razões e proporções 6) Propriedade das proporções 6ª) Em toda proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

22. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções Exemplo: 8)A razão entre as idades atuais de dois irmãos é 5/3. Calcule a idade de cada um deles, sabendo que a soma de suas idades e 32 anos. Resolução: 1º modo Vamos indicar as idades por x e y e assim obtemos o sistema:

23. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções Resolução: Podemos notar que a primeira equação é uma proporção, na qual aplicaremos a propriedade fundamental das proporções e obteremos uma outra equação. E assim, encontramos o sistema equivalente a seguir.

24. Razões e proporções Resolvendo o sistema temos: 6) Propriedades das proporções Somando as duas equações encontramos a equação Substituindo x por 20 em qualquer equação nos dá que y = 12. Portanto as idades dos irmão são 20 e 12. anos.

25. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções Exemplo: 8)A razão entre as idades atuais de dois irmãos é 5/3. Calcule a idade de cada um deles, sabendo que a soma de suas idades e 32 anos. Resolução: 2º modo Vamos indicar as idades por x e y e assim obtemos o sistema:

26. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções Resolução: Podemos notar que a primeira equação é uma proporção, na qual aplicaremos a 1ª propriedade das proporções que vimos anteriormente. Sabemos que x + y = 32 logo, fazendo a substituição na equação I, temos:

27. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções Agora, aplicando a propriedade fundamental das proporções na equação I, temos: Assim, ao voltarmos na equação II e trocarmos x por 20, temos: Portanto as idades dos irmão são 20 e 12. anos.

28. Razões e proporções 6) Propriedades das proporções Exemplo: 9) Resolva o sistema Resolução: Vamos utilizar agora a 5ª propriedade anteriormente vista, ou seja:

29. Razões e proporções Resolução: De acordo com a equação II, sabemos que x + y = 40. Assim vamos substituir x + y por 40 na equação I e em seguida aplicarmos a propriedade fundamental das proporções. 6) Propriedades das proporções Com isso, ao voltarmos na equação II e trocarmos x por 15, temos: Portanto, a solução deste sistema é o par ordenado (15, 25).