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第七章 : 力 法

第七章 : 力 法. §7-1 结构的超静定次数 §7-2 力法基本概念 §7-3 力法典型方程 §7-4 力法计算示例 §7-5 超静定结构的位移和力法结果校核 §7-6 力法的对称性利用. §7-1 　结构的超静定次数. 结构的超静定次数＝结构的多余约束数 结构超静定次数的判定方法（拆除约束法） 　一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。 １）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束； ２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；

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第七章 : 力 法

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  1. 第七章 :力 法 • §7-1结构的超静定次数§7-2力法基本概念§7-3 力法典型方程 • §7-4 力法计算示例§7-5 超静定结构的位移和力法结果校核§7-6力法的对称性利用

  2. §7-1　结构的超静定次数 结构的超静定次数＝结构的多余约束数 结构超静定次数的判定方法（拆除约束法） 　一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。 １）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束； ２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束； ３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束； ４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。

  3. x1 x2 x3 x1 x2

  4. 例7-1-1　判断图示结构的超静定次数。 x2 x7 x7 x3 x1 x4 x5 x3 x6 x4 x1 x6 x5 x7 x2

  5. §7-2　力法基本概念 一、力法基本思路 　有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。 D1=0 D11 + D1P =0 D11=d11x1 d11x1+ D1P =0

  6. 1、力法基本未知量　 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。 2、力法基本体系 　力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的体系。 3、力法基本方程 　力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。 　方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。

  7. 例7-1-1 用力法计算图示梁，并作M图。 解：１）确定力法基本未知量、基本体系　　２）力法方程　　 d11x1+ D1P =0

  8. ３）作M1、MP图，计算d11、 D1Pd11= l/3EID1P =ql3/24EI４）代入力法方程，求x1x1 = - D1P /d11 =-ql2/8５）作M图 x1 M1图 MP图

  9. §7- 3 力法典型方程 　力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定结构的力法一般方程。　一、两次超静定结构的力法方程　两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。 基本体系与原结构位移一致条件：　D1= 0D2= -DB

  10. D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB因为： Dij=dij xj 所以：　　d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0 d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)

  11. d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0 d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a) 　该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。 根据位移互等定理，有：d12=d21

  12. 二、力法典型方程n次超静定结构的力法方程：d11x1+ d12x2+…d1ixi+ d1jxj+… d1nxn+ D1P + D1D= D1d21x1+ d22x2+…d2ixi+ d2jxj+… d2nxn+ D2P + D2D= D2……di1x1+ di2x2 +…diixi + dijxj+ …dinxn + DiP + DiD = Didj1x1+ dj2x2 +…djixi + djjxj+… djnxn + DjP + DjD = Dj……dn1x1+dn2x2+…dnixi+ dnjxj+… dnnxn+ DnP + DnD= Dn系数、自由项的物理意义：dii —基本结构在xi=1作用下，沿xi方向的位移；dij —基本结构在xj=1作用下，沿xi方向的位移；DiP —基本结构在荷载作用下，沿xi方向的位移；DiD —基本结构在支座移动下，沿xi方向的位移；Di —基本结构沿xi方向的总位移＝原结构在xi方向上的实际位移。

  13. d11 d12 …d1i d1j …d1nd21d22…d2i d2j …d2n…… F = di1di2 …dii dij …dindj1dj2 …dji djj …djn……dn1dn2 …dni dnj …dnn 力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：　主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上；　副系数dij可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位置上；　由于dii =dij ，独立的系数为 [n+(n2-n)/2] 个。

  14. §7- 4 力法计算示例 例7-4-1　用力法计算图示刚架，并作M图。 基本体系 解：１）确定力法基本未知量和基本体系　　力法方程： 　d11x1+ d12x2+ D1P=0d21x1+ d22x2+ D2P=0２）作M1、M2、MP图

  15. M1 基本体系 MP

  16. ３）计算系数、自由项d11=5l/12EI d22=3l/4EI d12=d21 =0 D1P= FPl2/32EI D2P = 0４）代入力法方程，求多余力x1、x2（5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0 ５）叠加作M图MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80(右侧受拉） 说明：力法计算刚架时，力法方程中系数和自由　项只考虑弯曲变形的影响：dii = ∑∫l (Mi2/EI)dsdij = ∑∫l (MiM j /EI)dsDiP= ∑∫l (Mi MP /EI)ds

  17. 例7-4-2 计算图示桁架的内力，各杆EＡ=常数。 解：１）力法基本体系，基本方程：d11x1+ D1P =0　２）计算Fni、FNP及d11、D1Pd11 =∑FN12l/EA=4a(1+√2)/EAD1P = ∑FN1 FNPl/EA =2FPa(1+√2)/EA

  18. 3)代入力法方程中，求解x1x1 = - D1P /d11 =-FP/24) 叠加计算个杆轴力FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2 FN02=FP/2 说明：力法计算桁架时，力法方程中系数和自由　项只考虑轴向变形的影响：dii = ∑FNi2l/EA dij = ∑FNiFNjl/EA DiP= ∑FNiFNPl/EA

  19. 例7-4-3　计算图示排架，并作M图。 解：１）力法基本体系，力法方程：d11x1+ D1P =0　　２）作M1、MP图,计算d11、D1Pd11 =144/EI D1P =3240/EI3) 代入力法方程，求x1x1 = - D1P /d11 =-22.5kN4) 作M图

  20. §7- 5 超静定结构的位移和力法结果校核 一、超静定结构的位移计算１、荷载作用下的位移计算　超静定结构和静定结构在荷载作用下的位移计算公式是相同的。如梁和刚架的位移计算公式： D= ∑∫l (MCM/EI) ds　超静定结构的位移计算要点： 　虚单位力设在原结构的任意一个基本结构上。例7-5-1 求示梁Ｂ端的转角位移B。EI=常数,杆长为l。解：１）作MC、M图 ２）计算B

  21. 　B= [(ql2/8)l/2-(2/3) (ql2/8) /2]/EI=-ql3/48EI ()或：　B= {[(ql2/8)l/2](1/3)1-(2/3) (ql2/8) /2}/EI=-ql3/48EI ()

  22. 力法计算Ｍ图

  23. 2、支座移动时的位移计算例7-5-2　求图示梁中点Ｃ处的竖向位移DCV。2、支座移动时的位移计算例7-5-2　求图示梁中点Ｃ处的竖向位移DCV。 解：１）作超静定梁M图　　２）作MC图　　３）该基本结构支座发　　　生位移时有刚体位移。４）计算位移DCVDCV= ∫(MC M/EI)ds-∑FRc=[l2/4/2(-3EIa/l2/2)](a/2)=5a/16 (↓)

  24. 或：DCV =[(l/2) 2/2](5/6) (3EIa/l2)]=5a/16 (↓)

  25. 二、力法计算结果校核 例7-5-3　校核图示刚架力法所求内力图。 FQ M FN

  26. 解： １）校核静力平衡条件

  27. ２）校核截开BC杆后两截面的相对转角位移等于零位移条件： ∑∫(MC M/EI)ds = 0 (-60×4×1/2＋ 30×4×1/2)/2EI＋(-20×4×1/2＋40×4×1/2－15×4×1/2＋ 30×4×1/2)/EI=40/EI可见，不满足位移条件。说明：力法计算结果的主要校核条件，是位移条件。

  28. 例7-5-4　计算图示刚架，作M图并用位移条件校核；求B点的水平位移DBH 。 MP M1 解：１）用力法计算图示刚架，做M1图d11x1+ D1P =0d11 =5a/6EI D1P =qa3/24EIx1 = - D1P /d11 =-qa2/20MBC=- qa2/20 (上侧受拉） M

  29. ２）校核支座Ｃ处的竖向位移条件：△CV=0 [(qa3/20/2)(-2a/3)+(2/3)(qa3/8)(a/2)]/EIqa4/20/2EI=0　　　 满足 MC M ３）求Ｂ点的水平位移DBH DBH =(qa2/20)a(a/2)/2EI=qa4/80EI(→)

  30. §7- 6　力法的对称性利用 结构具有对称性时应满足：１）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式正对称于某一轴线；２）结构的材料性质及截面形状特征（E、I、A）也对称于同一轴线。　如果结构是对称的，利用对称性力法计算可获得简化。

  31. 力法对称性利用要点： 　取对称的力法基本结构；并使其上的多余力具有对称性和（或）反对称性。 一、一般荷载作用下（不考虑荷载情况） 取满足上述要点的基本体系，力法方程：　 　　　　　 d11x1+ d12x2+ d13x3 + D1P=0d21x1+ d22x2+ d23x3+ D2P = 0 d31x1+ d32x2+ d33x3+ D3P = 0 (a)一般情况下，该方程是联立方程。

  32. 考虑对称性后： d13= d31= d23= d32= 0代入式（a），得：d11x1+d12x2+D1P=0d21x1+d22x2+D2P=0 d33x3+D3P=0 (b) 原方程分解成两相互独立的方程。

  33. 二、荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）　正对称荷载作用下：只有正对称的多余力二、荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）　正对称荷载作用下：只有正对称的多余力 d11x1+d12x2+D1P=0 D3P=0 x3 =0d21x1+d22x2+D2P=0 d11x1+d12x2+D1P=0 d33x3+D3P=0 d21x1+d22x2+D2P=0

  34. 反对称荷载作用下：只有反对称的多余力 d11x1+d12x2+D1P=0 D1P=D2P=0 d21x1+d22x2+D2P=0 x1 =x2 = 0 d33x3+D3P=0 d33x3+D3P=0

  35. 例7-6-1　利用对称性计算图示刚架，并作M图。 解法１：１）取对称的力法基本体系　２）作Mi、MP图并计算系数和自由项d11=144/EI d22=126/EI d12=d21 =0 D1P= 1350/EI D2P =-810/EI

  36. 　３）代入力法方程，并计算多余力d11x1+ d12x2+ D1P=0 x1=-9.375 • d21x1+ d22x2+ D2P=0 x2=6.429 　４）叠加作弯矩图MAB =-36.963kNm(右侧受拉)MBA = 19.287kNm(左侧受拉)MA`B` =104.463kNm(右侧受拉)MA`B`中=47.412kNm(左侧受拉)MAB中=8.838 kNm(右侧受拉)

  37. 解法２：１）将刚架上的荷载分组

  38. 2) 正对称荷载下的计算：d11=144/EI D1P =1350/EI x1 = - D1P /d11 =-9.935 MAB =33.75kNm(左侧受拉) MAB中=-28.125kNm(右侧受拉)

  39. 3) 反对称荷载下的计算：d22=126/EI D2P =-810/EI x2 = - D2P /d22 =6.429 MAB =-70.713kNm(右侧受拉) MBA = 19.287kNm(左侧受拉) MAB中= 19.287 kNm(左侧受拉)

  40. ３）将正、反对称荷载作用下的弯矩图叠加，作刚架的最后Ｍ图３）将正、反对称荷载作用下的弯矩图叠加，作刚架的最后Ｍ图

  41. 例7-6-3　利用对称性计算图示刚架，并作M图。 解法１：１）将荷载分组

  42. ２）正对称荷载作用下d11=128/3EI D1P =-80/EIx1 = - D1P /d11 =1.875MBC = MBC` = 47.5kNm(上侧受拉)

  43. ３） 反对称荷载下的计算：d22=704/3EI D2P =-2240/EIx2 = - D2P /d22 =9.545MBC =-1.82kNm(上侧受拉) MBC` = 1.82kNm(下侧受拉) MBA =-3.64 kNm(右侧受拉)

  44. 　 ４）叠加作刚架最后M图MBC =47.5+1.82=49.32 kNm(上侧受拉)MBC` = 47.5-1.82 =45.68kNm(上侧受拉) MBA = 3.64 kNm(右侧受拉)

  45. 解法２：不进行荷载分组，利用多余力分组简化　　力法计算：　解法２：不进行荷载分组，利用多余力分组简化　　力法计算：　 x`2=x`1+Dx x1= x`1+Dx /2 x2= Dx/2

  46. 力　法　小 结 一、了解力法的基本思路以及力法基本未知量、基本体系（基本结构）、基本方程的概念。二、弄清力法的基本原理。深刻理解力法典型方程的物理意义。 三、熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算；掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法对称性的利用。 四、力法计算步骤： １）确定结构的力法基本未知量及基本体系，建立力法方程； ２）作基本结构分别在各因素下的内力（图）； ３）计算力法方程中的系数和自由项；４）解力法方程，求出多余未知力； ５）叠加做结构内力图；６）校核。

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