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主題 : Dynamic Programming (II)

主題 : Dynamic Programming (II). 經典問題 Longest Common Subsequence Longest Increasing Subsequence Matrix-chain Multiplication Optimal Polygon Triangulation 例題講解 : H.89.4 歷年題目. a. b. c. b. d. a. b. Longest Common Subsequence.

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主題 : Dynamic Programming (II)

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Presentation Transcript

  1. 主題: Dynamic Programming (II) • 經典問題 • Longest Common Subsequence • Longest Increasing Subsequence • Matrix-chain Multiplication • Optimal Polygon Triangulation • 例題講解: H.89.4 • 歷年題目

  2. a b c b d a b Longest Common Subsequence • Subsequence:對字串 T 而言，T 的 subsequence 為從 T 中消掉某些字元可以得到的新字串 • 對數列也有類似的定義

  3. a b c b d a b b d c a b a Longest Common Subsequence • 對兩個字串 X = x1x2…xn和 Y = y1y2…ym求兩字串中相同且最長的 subsequence X  Y   ba, bca, bcba, bdab, … commonsubsequence LCS  bcba, bdab, …

  4. 某個最佳解 不可能的最佳解 x1 x1 x2 x2 … … xn xn … … … … y1 y1 y2 y2 … … ym ym LCS: Optimal Substructure • 若 xn = ym，則在 LCS 中有包含這兩個的解，至少跟沒有同時包含這兩個的任何解一樣好

  5. LCS: Optimal Substructure (cont.) • 所以若 xn = ym，就取這兩個為 LCS 的一部分，然後求 X[1…n-1] 和 Y[1…m-1] 的 LCS 來和這兩個合併 • 若 xn ym，則 LCS 就會是下面兩種其中之一的解X[1…n] 和 Y[1…m-1] 的 LCSX[1…n-1] 和 Y[1…m] 的 LCS

  6. LCS: Recurrence • 定義 L[i, j] 為 X[1…i] 和 Y[1…j] 之間的 LCS 長度 L[0, j] = 0L[i, 0] = 0 Boundary condition

  7. j-1 j i-1 i LCS: Build Table L[i, j] 需要的表格  row-major column-major 對角線順序 • Time = O(nm)

  8. LCS: 節省空間 • 雖然 LCS 是二維 mn 的 recurrence，但在 row-major (column-major) 順序下，每一個 row (column) 都只需要看前一個 row (column) 就可以算出 LCS 的長度，更前面的部分就用不到 • 若不需要 backtracking，則只需要兩個 row (column) 就足夠算出長度的最佳解

  9. 3 4 2 6 4 1 7 遞增數列  2 6 7 最長遞增數列之一  3 4 4 7 最長遞增數列之二  3 4 6 7 Longest Increasing Subsequence • 給一串數列 a1, a2, …, an，從數列中找出最長且數字依序單調遞增的subsequence A 

  10. LIS: 直覺解法 • 依照定義，LIS 是原數列的 subsequence • 若將 a1, a2, …, an照大小重排會變成一個遞增數列 B = b1, b2, …, bn，由於 LIS 也是遞增數列，LIS 為 B 的 subsequence • LIS 為原數列 A 和新數列 B (對 A 做 sort 所得) 兩者的 LCS

  11. A  Sorted B  3 1 2 4 2 3 4 6 4 4 1 6 7 7 LIS: Example • Time complexity = O(n2) 問題: 若題目要求的是最長的嚴格遞增數列呢? Hint: 對 B做改變

  12. a a  b = b c c Matrix Multiplication • 一個大小為 a  b的矩陣與大小為 b  c的矩陣相乘，需要做 (ac)  b次乘法和加法，然後得到一個 a  c的矩陣

  13. Matrix-chain Multiplication • 給定 n 個需要連續相乘且大小不等的矩陣 A1 A2 …  An，其中第 i 個矩陣 Ai的大小為 pi-1 pi，為了使運算量最少，請求出最好的運算順序(用括號表示) • Ex: (p0, p1, p2, p3) = (50, 5, 100, 10) ((A1A2)A3)  505100 + 5010010 = 75000 (A1(A2A3))  510010 + 50510 = 7500

  14. MCM: Optimal Substructure • 假設要先把 A1 …  Ai和 Ai+1 …  An兩個部分做完，然後這兩個部分再來對乘，則在此情形下最好的解必定是先做 A1 …  Ai的 MCM，再做 Ai+1 …  An的 MCM，最後再把兩個完成的矩陣相乘 A1A2A3A4A5A6A7 挑最好的切法

  15. MCM: Recurrence • 令 m[i, j] 為做 Ai …  Aj的 MCM 所需的最少運算量 • m[i, j] = min {m[i, k] + m[k+1, j] + pi-1pkpj} • m[i, i] = 0 for all i i  k < j • Time complexity = O(n3)

  16. ji 1 2 3 … n m[k+1, j] m[i, j] 1 0 2 0 3 0 0 Boundary condition m[i, k] … … 0 n 0 MCM: Build Table • 適合的填表順序 • 對角線 • 由下而上做row-major • 由左而右做逆向的column-major • MCM 沒辦法只用一維陣列 O(n2)

  17. MCM: Backtracking • 在計算 m[i, j] 時所取的 k 表示從 Ai到 Aj之間最好的計算順序是先算 Ai到 Ak，再算 Ak+1到 Aj，最後兩邊相乘 (Ai  …  Ak)(Ak+1  …  Aj) • 用一個額外的陣列 c[i, j] 來幫每個 m[i, j] 記住其最好的 k

  18. Polygon Triangulation • 給定一個 n 邊的凸多邊形，只要加入 n – 3 條互不相交的對角線，就可以把此多邊形切成 n – 2 個三角形

  19. Triangulation 的 cost • 按照不同題目的定義，可以給每一個 abc 一個 cost w(abc ) • 每種 triangulation 的 cost，是由所有三角形之 cost計算而得，如: • w(abc ) = 邊長總合， triangulation 的 cost 是所有三角形之 cost加總 • w(abc ) = 面積， triangulation 的 cost 是最大三角形的面積

  20. Optimal Polygon Triangulation • 以順時針方向給予一個凸多邊形的 n 個頂點 v0, v1, …, vn-1，並指定一種 cost function w，求 cost 最小的 triangulation • 因為 triangulation 中對角線互不相交，所以任一個三角形的頂點必為此多邊形的頂點 vi, vj, vk，令此三角形為 vivjvk

  21. 小多邊形分別求解 小多邊形分別求解 OPT: Optimal Substructure vk … … vn-2 w(v0vkvn-1) v1 任一條 edge 必定也是某個三角形的 edge vn-1 v0

  22. OPT: Recurrence • 令 P[i, j] 為從 vi-1開始順時鐘繞到 vj再繞回 vi-1的凸多邊形，而 t[i, j] 就是對 P[i, j] 進行 optimal polygon triangulation 所得最佳解的 cost 總合 • t[i, j] = min {t[i, k] + t[k+1, j] + w(vi-1vkvj)} • t[i, i] = 0 for 1  i  n – 1 i  k < j

  23. OPT: Analysis • Time: O(n3) • Space: O(n2) • 要 backtracking 只需要記住每個 t[i, j] 所使用的 k 即可

  24. 例題講解: H.89.4(http://www.cc.nccu.edu.tw/info_race89/doc/final_program.doc) • 現在有 n 個貨櫃 (n  10)，載重量分別為 a1, a2, …, an公斤 (50  ai  1000)，要用來運送主機以及螢幕 • 主機一台 7公斤，螢幕一台 10公斤，一套系統需要一台主機及兩台螢幕 • 問每個貨櫃應該如何配置主機及螢幕的數量，使這 n 個貨櫃可以運送最多套的系統

  25. Definition • 令 f(i, j) 為貨櫃 i在裝了 j 台主機之後，剩下的負重量足夠放置的螢幕數量 • f(i, j) = (ai – 7j) / 10, for ai 7j –, otherwise

  26. Recurrence (cont.) • 令 c[i, j] 為只使用前 i 個貨櫃，並且在其中裝入 j 台主機後，最多可以再放置多少螢幕的數量 • c[i, j] = max {c[i – 1, j – k] + f(i, k)} • c[1, j] = f(1, j) 0  k  j

  27. 輸出答案 • 從最後一個貨櫃的解中，找出可以放置最多主機，且螢幕容量在主機兩倍以上的那一個位置 最大系統套數 = max {j | 2j  c[n, j]} • 題目需要 backtracking，所以每個 c[i, j] 都要記住使這格可以取得最大值的 k

  28. Analysis • 二維的 recurrence 中第一個維度是 n，而第二個維度的最大值是用 n 個貨櫃可以塞下去的主機總數，也就是所有貨櫃的負重量總合除以 7 令 S = (1  i  n ai) / 7 < 1500 • Time: O(nS2)Space: O(nS)

  29. 練習題 • 練習題 • A.526 String Distance and Transform Process • http://acm.uva.es/p/v5/526.html • A.348 Optimal Array Multiplication Sequence • http://acm.uva.es/p/v3/348.html • A.10003 Cutting Sticks • http://acm.uva.es/p/v100/10003.html • H.88.5 • http://www.cc.nccu.edu.tw/info_race88/Q.pdf • H.89.4 貨櫃配置問題 • http://www.cc.nccu.edu.tw/info_race89/doc/final_program.doc • 挑戰題 • A.10379 Pit Stop Strategy • http://acm.uva.es/p/v103/10379.html • A.757 Gone Fishing • http://acm.uva.es/p/v7/757.html

  30. 歷年題目 • 其他歷年題目 • A.111, A.103, A.116, A.136, A.164, A.231, A.242, A.357, A.323, A.443, A.481, A.497, A.417, A.452, A.531, A.585, A.580, A.590, A.640, A.674, A.682, A.702, A.707, A.751, A.861, A.10000, A.10036, A.10051, A.10066, A.10007, A.10069, A.10076, A.10100, A.10120, A.10130, A.10131, A.10154, A.10164, A.10192, A.10111, A.10128, A.10157, A.10198, A.10213, A.10223, A.10232, A.10237, A.10238, A.10239, A.10259, A.10261, A.10271, A.10280, A.10337, A.10303, A.10304, A.10312, A.10313, A.10328, A.10358, A.10373, A.10381, A.10399, A.10405, A.10404, A.10440, A.10453, A.10534, A.10564, A.10578, A.10516, A.10518, A.10520, A.10532, A.10536, A.10541, A.10549, A.10593, A.10599, A.10604, A.10616, A.10617, A.10626, A.10635, A.10655, A.10664

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