第十二章 波和粒子

1. 第十二章 波和粒子

2. 第十二章 波和粒子 12-0 教学基本要求 12-1 量子论的出现 12-2 物质波 不确定关系 *12-3 波函数 薛定谔方程及简单应用

3. 教学基本要求 一、了解普朗克能量子假设，爱因斯坦的光子理论对有关实验规律的解释，理解光的波粒二象性. 了解氢原子光谱的实验规律，原子核式模型与经典电磁理论说明氢原子的困难，了解玻尔原子理论及其对氢原子光谱实验规律的解释. 二、了解德布罗意物质波假设及其产生的科学思想方法，了解描述物质波动性质的物理量和粒子性的物理量之间的关系，了解物质波的验证实验，了解玻恩对物质波的统计解释及实物粒子波粒二象性的物理图像. 三、了解不确定关系，并能用于作简单的计算. *四、了解一维自由粒子的波函数，了解波函数必须满足的条件，了解一维薛定谔方程，了解一维无限深势阱中粒子的概率分布和能量量子化及驻波解释，了解隧道效应及应用.

4. 预习要点 • 注意黑体这个理想物理模型的特征及黑体辐射的实验规律. • 普朗克量子假说的内容及其意义是什么? • 经典物理理论在解释光电效应和康普顿效应实验规律时遇到了哪些困难？光子理论是如何解释的？ • 玻尔关于氢原子模型假设的主要内容是什么？它们是针对哪些问题提出的？ 12-1 量子论的出现

5. 1.热辐射 任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，这种由于物质中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象为热辐射. 2.单色辐出度 描写物体辐射本领的物理量. 一、黑体辐射 表示在一定温度T下，单位时间内从物体表面单位面积上辐射出的波长在附近单位波长间隔内的能量.

6. 3.黑体 能完全吸收照射到它上面的各种频率的电磁辐射的物体称为黑体. 可把一个开小孔的不透光空腔近似看成黑体. 4.黑体辐射实验规律 实验中将开有小孔的空腔视为黑体，如使空腔恒温，测量从小孔中辐射出来的各种波长范围的单色辐出能与波长之间的关系.

7. （1）斯特藩-玻尔兹曼定律 斯特藩-玻耳兹曼常量 （2）维恩位移定律 峰值波长 维恩常量

8. 由经典物理导出的维恩公式在短波区域与实验曲线一致，长波区域偏离较大；导出的瑞利-金斯公式在长波区与实验吻合，而在短波（紫外）区与曲线偏离由经典物理导出的维恩公式在短波区域与实验曲线一致，长波区域偏离较大；导出的瑞利-金斯公式在长波区与实验吻合，而在短波（紫外）区与曲线偏离 大，当波长变短，辐出度趋于无穷大.这称为“紫外灾难”. 6 5 实验曲线 瑞利-金斯线 4 3 2 维恩线 1 1 2 3 4 5 6 二、经典物理解释黑体辐射的困难 由于理论与实验之间的不可调和性，给物理学界带来很大困难.

9. 2.空腔壁上频率为 的带电谐振子所吸收或发射的能量是h 的整数倍，即谐振子的能量是量子化的. 3.谐振子在与周围电磁场交换能量时，能量的改变只能是最小能量单元 的整数倍，称 为能量子. 在能量子假设的基础上，普朗克从理论上导出了普朗克公式，与黑体实验规律相符. 普朗克假设： 1.黑体的腔壁由无数带电谐振子组成, 他们不断吸收并发射电磁波, 与周围电磁场交换能量. 三、普朗克能量子假设 称为普朗克常量. 普朗克常数h是界定微观物理与宏观物理的界碑.

10. 1.光电效应 当光线照射在金属表面时，金属中有电子逸出，逸出的电子称为光电子. 这种现象叫光电效应. 2.光电效应实验规律 （1）当入射光频率< 0时，无论光强多大也无电子逸出金属表面，0叫截止频率或红限频率，截止频率与材料有关与光强无关. 四、光电效应和爱因斯坦光量子理论 （2）电子初态动能只与光频率 成正比，而与入射光强无关. （3） 当> 0时，光电效应是瞬时的，时间<10-9s. 当光照射到金属表面上时，几乎立即就有光电子逸出.

11. 光子的能量为 爱因斯坦方程 一束光的光强为 3.爱因斯坦光量子理论 （1）“光量子”假设 频率为 的光是由大量光子组成的粒子流，这些光子沿光的传播方向以光速 c 运动. （2）爱因斯坦光电方程 在光电效应中金属中的电子吸收了光子的能量，一部分克服电子逸出功W，一部分变为光电子的初动能.

12. 1.光子的质量 由相对论光子的质能关系 光子的质量 五、光子的性质 由相对论质速关系 有 否则 光子是一种静止质量为零的粒子.

13. 及其 2. 光子的动量 根据相对论的能量-动量关系

14. X射线被物质散射时，除有与入射波长 相同的散射线外，还有波长 的散射线，这种现象称为康普顿散射或康普顿效应. 1.康普顿效应 2.效应的解释 X射线视为一些=h 的光子，与自由电子发生完全弹性碰撞. 六、康普顿效应

15. 此碰撞过程光子、电子系统遵循能量守恒与动量守恒. 碰撞时光子将一部分能量传递给电子后， 光子 入射光子 反冲电子 自身能量减少，波长变长，形成波长大于原入射光波长的散射线. 此外，入射x光子也会与受核束缚紧密的内层电子碰撞，可看作是与整个原子碰撞，原子质量远大于光子，碰撞后散射光子能量几乎不变，波长与入射光相同. 电子 由x光子和自由电子系统的能量守恒和动量守恒可推导出

16. 称为康普顿波长 其中

17. 例: 波长 的X射线与静止的自由电子作弹性碰撞, 在与入射角成 900角的方向上观察, 问 （1）散射X射线光子的波长为多少？ （2）反冲电子得到多少动能？ 解: （1） （2） 反冲电子的动能等于光子损失的能量

18. 紫外 莱曼系 可见光 巴耳末系 帕邢系 布拉开系 普丰德系 1.氢原子光谱的规律性 七、玻尔氢原子理论 红外 里德伯常数

19. 2.原子核式模型与经典物理的困难 • 根据经典电磁理论，电子绕核作匀速圆周运动时，具有固有加速度的电子将不断向外辐射电磁波. 伴随着电磁波辐射, 原子能量逐步减少, 电子绕核运动的半径也连续减少, 最终将落在原子核上，原子不稳定. 但实验表明, 氢原子是稳定的. • 原子不断地向外辐射能量，能量逐渐减小，电子绕核旋转的频率也逐渐改变，发射光谱应是连续光谱，但实验表明,氢原子发出的是一系列分立的线状光谱.

20. 3.玻尔氢原子理论 • 轨道角动量量子化条件：原子处于定态时，电子绕核 运动的轨道角动量只能等于的整数倍. • 跃迁假设：当原子从高能量En的定态跃迁到低能量Em 的定态时，要发射频率为 的光子，且 量子化条件 • 定态假设：原子只能处于一系列不连续的、稳定的能量状态（定态），在定态中电子绕核作加速运动，但不辐射能量. （跃迁频率条件） 当 En>Em原子发射光子；当 En<Em原子吸收光子.

21. 由牛顿定律 由角动量量子化条件 第轨道电子总能量 4.玻尔半径（氢原子中电子的最小轨道半径） 玻尔半径 5.氢原子能级公式

22. 激发态 激发态能量 基态 基态能量 （电离能） 6. 玻尔理论对氢原子光谱的解释

23. 布拉开系 帕邢系 巴耳末系 莱曼系 与里德伯常量实验值吻合 7.氢原子能级跃迁与光谱系

24. 普朗克能量子假设、爱因斯坦光量子理论和玻尔量子论合称为旧量子论，它立足于经典理论，人为加进量子化假设，并没从理论体系上对经典力学进行根本改革，因而具有很大的局限性，但这些理论为量子概念的提出和促进近代量子物理理论的诞生起到了很大的作用.普朗克能量子假设、爱因斯坦光量子理论和玻尔量子论合称为旧量子论，它立足于经典理论，人为加进量子化假设，并没从理论体系上对经典力学进行根本改革，因而具有很大的局限性，但这些理论为量子概念的提出和促进近代量子物理理论的诞生起到了很大的作用.

25. 预习要点 • 德布罗意假设的内容是什么？微观粒子的粒子特征用哪些量表示? 波动特征用哪些物理量表示？注意联系粒子特征和波动特征的公式. • 物质波是一种什么波? 注意对物质波统计意义的理解. • 如何正确理解实物粒子的波粒二象性? 它与经典粒子、经典波有什么不同？ • 怎样理解不确定关系? 12-2 物质波 不确定关系

26. 描述光的 粒子性 描述光的 波动性 德布罗意将光的波粒二象性应用到实物粒子，认为一切实物粒子都有具有波粒二象性，并提出物质波的概念. 一、物质波假设 德布罗意公式 德布罗意波经过戴维孙-革末电子衍射实验和G . P .汤姆孙电子衍射实验得以证明.

27. 例：试计算温度为250C时慢中子的德布罗意波长； m=0.05kg， =300m/s的子弹的德布罗意波长. 按照能均分定理慢中子的平均平动动能为 解: 慢中子的德布罗意波长 子弹的德布罗意波长

28. 电 子 波 • 电子单缝实验表明： • 单个电子通过单缝在屏上留下斑点，表明电子具有粒子性—实物粒子不被分割的整体性. • 耽搁电子逐个通过单缝，最后得到表现波动特性的衍射图样分布，表明电子具有波动性—衍射图样的形成正是单个电子波动性的集体表现. 二、实物粒子的波粒二象性

29. 3. 物质波不同于经典波. 经典波是某个实在物理量（如位移、电场等）的时空周期性变化. 电子单缝衍射条纹明条纹处电子密度大，即该处电子出现的概率大，暗纹处电子密度小，即该处电子出现的概率小—物质波是概率波. 4 . 微观粒子不同于经典粒子，经典粒子的运动具有确定性，受经典力学规律支配，如子弹打靶弹孔的统计分布不具有波动特征. 微观粒子的运动有一定的不确定性—单个粒子的运动受概率分布规律的制约.

30. 单个电子具有粒子性和波动性单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律. 物质波是“概率波”. 光的波粒二象性： 波动性：某处明亮，则某处光强大， 即I大. 粒子性：某处明亮，则某处光子多， 即N大. N E02I  E02 I、N越大，光子出现概率越大； I、N越小，光子出现概率越小. 光子在某处出现的概率和该处光波振幅的平方成正比.

31. 光具有波粒二象性，用统计观点分析，光子在明纹处出现概率大，在暗纹处光子出现概率小，某处光强或波振幅的平方正比于该处单位体积内发现光子的概率.光具有波粒二象性，用统计观点分析，光子在明纹处出现概率大，在暗纹处光子出现概率小，某处光强或波振幅的平方正比于该处单位体积内发现光子的概率. 三、玻恩的物质波统计解释 与光子类比玻恩提出物质波是一种概率波.

32. 不同于经典波的波函数， 它无直接的物理意义， 代表t 时刻，在 端点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为“概率密度”. 有意义的是 ，表示粒子的概率分布. 物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”, 其模的平方：

33. 微观粒子的运动由概率波描述，粒子的位置具有一定的不确定性；与此相联系，粒子的动量也具有不确定性. 任一时刻粒子在某一方向的位置不确定性 和该方向的动量的不确定量 满足不确定关系. 电子经过缝时的位置不确定量 . 四、不确定关系 用电子衍射说明不确定关系 一级最小衍射角

34. 电子经过缝后 x 方向动量不确定量 考虑衍射次级有 由不确定关系知，电子在缝宽方向位置不确定量越小，则在同一方向上衍射电子的动量不确定性量越大，这与缝宽越小，衍射条纹铺展越宽的波动特征完全一致.

35. 例: 一颗质量为10g 的子弹，具有 的速率. 若其动量的不确定范围为动量的 , 则该子弹位置的不确定量范围为多大? 解: 子弹的动量 动量的不确定范围 位置的不确定量范围 任何仪器都观测不到这种不确定性，对应的动量不确定性亦然. 即对宏观物体完全可用经典力学中准确的位置、动量和轨道等概念描述.

36. 预习要点 • 注意由物质波波函数的统计意义领会波函数的标准条件和归一化条件. • 了解一维薛定谔方程的物理意义. • 领会一维势阱的求解. 认识能量量子化是微观粒子具有波动性的必然结果；领会由量子物理过渡为经典物理的条件. • 了解隧道效应. *12-3 波函数 薛定谔方程及简单应用

37. 1. 波函数 平面波波动方程 经典波为实函数 2. 量子力学波函数（复函数） 一、一维自由粒子波函数 描述微观粒子运动的波函数 微观粒子的波粒二象性 自由粒子平面波函数

38. 表示粒子在某处单位体积内出现的概率，一 定时刻在给定点粒子出现的概率应有唯一确定的值，且概率分布应该连续，因此，波函数必须是单值、有限、连续的函数. 3. 波函数的标准条件 4. 归一化条件 即粒子某时刻在整个空间出现的概率为1.

39. 薛定谔方程用于求取粒子运动的波函数，是反映微观粒子运动规律的基本方程.薛定谔方程用于求取粒子运动的波函数，是反映微观粒子运动规律的基本方程. 1. 一维定态薛定谔方程 定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐标 x 的函数，与时间 t 无关，且系统能量 E 是与 t 无关的常量，粒子在空间稳定分布，即处于为定态. 二、薛定谔方程 一维定态薛定谔方程为

40. 2.一维无限深方势阱 粒子势能V 满足的边界条件 势阱内V=0 薛定谔方程 令 波函数的标准条件：单值、有限和连续 .

41. 则 所以 因为 因为 有 即 量子数 基态能量 激发态能量

42. 所以, 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 由归一化条件 概率密度

43. 取 时波函数和概率密度的分布曲线为

44. 讨论 1. 能量 是自然求解结果 能量量子化原因是边界条件要求—粒子受束缚. 当 时， ，能量视为连续变化. 2.相邻能级差 能级相对间隔

45. 当 很大时， ，量子效应不明显，能量可视为连续变化，量子物理过渡到经典物理，可见能量量子化是微观世界特有的现象. 时，概率峰值点间距趋于零，概率分布趋 于均匀，与能量变为连续同步，量子物理过渡到经典物理. 3. 粒子动量与德布罗意波长 波长量子化只能是势阱长度两倍的整数分之一，即一维无限深势阱中粒子有驻波的特征，从概率密度分布曲线看，粒子在势阱内位置分布存在概率极大和极小点，类似驻波的波腹和波节.

46. 求解各区间相应的薛定谔方程，结合边界条件和归一化条件，可求得波函数 ，其图线如图. 3.一维方势垒和隧道效应 粒子的能量 设粒子沿x轴正向射向方势垒，粒子在 x < 0 区域里，其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a的区域.

47. 由不确定关系可推粒子的势能和动能也不可能同时确定，设粒子 则动能 . 给定 和 ，若能使 ，粒子的总能量就可大于 而穿过势垒达到势垒的另一侧. 可见，粒子能够穿过势垒达到x>a的区域. 微观粒子能穿过比自身能量高的势垒的现象，被形象的称为隧道效应. 不确定关系反映微观粒子的波粒二象性，因此隧道效应是微观粒子波粒二象性的表现，在高新技术中已有许多重要应用.