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第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计

第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计. 课程名称：数字信号处理. 任课教师：张培珍. 授课班级：信计 1081-1082. 6.1 根据模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器. 1. 6.2 IIR 数字滤波器的最优化设计法. 2. 6.3 设计 IIR 数字滤波器的频率变换法. 3. 6.4 综合实例. 4. 知识架构. 导入实例. 6. 导入实例. 6. 带阻滤波器消除 2 MHz 方波中的 5 MHz 的正弦信号. 导入实例. 6. 峰值检波和滤波对 AM 信号进行解调. 引言. 6. 一阶模拟低通和数字低通滤波器结构

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第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计

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  1. 第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计 课程名称：数字信号处理 任课教师：张培珍 授课班级：信计1081-1082

  2. 6.1 根据模拟滤波器设计IIR数字滤波器 1 6.2 IIR数字滤波器的最优化设计法 2 6.3 设计IIR数字滤波器的频率变换法 3 6.4 综合实例 4

  3. 知识架构

  4. 导入实例 6

  5. 导入实例 6 带阻滤波器消除2 MHz 方波中的5 MHz 的正弦信号

  6. 导入实例 6 峰值检波和滤波对AM信号进行解调

  7. 引言 6 一阶模拟低通和数字低通滤波器结构 (a)一阶模拟低通滤波器 (b)一阶IIR数字低通滤波器

  8. LPAF HPAF BPAF BSAF 经典模拟滤波器的理想幅频特性

  9. 经典数字滤波器的理想幅频特性 w j H (e ) 低通 ( a ) p p p p w －2 － o 2 w j H (e ) 高通 ( b ) w p p o p p －2 － 2 w j H (e ) 带通 ( c ) w p p o p p －2 － 2 w j H (e ) 带阻 ( d ) w p p o p p －2 － 2 数字滤波器的理想幅频特性

  10. 引言 6 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应h(n)的时宽分类，可以分成： （1）无限脉冲响应滤波器 (IIR, Infinite impulse response ) （2）有限脉冲响应滤波器 (FIR, Finite impulse response)

  11. 引言 6 IIR即无限长度单位脉冲响应滤波器，其系统函数为 IIR数字滤波器的差分方程可描述为 IIR滤波器采用递归型结构，保证稳定性是IIR滤波器设计的关键.

  12. 1. IIR数字滤波器设计基本思路 6 数字滤波器的设计是确定其系统函数的过程，步骤如下： (1) 根据任务，确定性能指标。 低通数字滤波器特性指标

  13. 1. IIR数字滤波器设计基本思路 6 在通带内，幅度响应以最大误差δ1逼近于1，即 在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即 通常，通带波动 和最小阻带衰减 表示为

  14. 1. IIR数字滤波器设计基本思路 6 (2) 用因果稳定的线性时不变IIR系统函数去逼近这一性能要求。IIR滤波器系统函数的设计就是确定各系数ai、bi或零极点ci、di及A，使滤波器满足给定的性能要求。 (3) 选择适当的运算结构实现这个系统函数；如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积(FFT)型等。 (4) 利用适当的软、硬件技术实现。

  15. 模拟滤波器系统函数为Ha(s) 设计参数已表格化 保证稳定性 数字滤波器H(z) 2. IIR数字滤波器设计方法 6 • 借助模拟滤波器的设计方法。 • (2) 采用最优化设计法设计滤波器。需要进行大量的迭代运算，又称为计算机辅助设计法。

  16. 6.1.1 脉冲响应不变法 6 系统函数为Ha(s)的模拟滤波器，只有它的所有极点都位于s平面的左半平面，系统才是稳定的。那么由模拟滤波器得到特性相近的数字滤波器，也即s平面转化成z平面时模拟系统频响与数字系统频响之间的转换应满足下列要求 (1) s平面的虚轴jΩ，映射到z平面的单位圆上。 (2) s平面的左半平面，映射到z平面的单位圆内|z|<1。

  17. 1．变换原理 6 利用脉冲响应不变法设计IIR滤波器的基本步骤如下。

  18. 1．具体步骤 6 (1) 当Ha(s)只有单阶极点时，模拟滤波器的系统函数可以表示为部分分式的形式 (2) 将模拟滤波器系统函数Ha(s)求拉普拉斯逆变换

  19. 1．具体步骤 6 (3) 对采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应序列为 (4) 令h(n)等于ha(t)的采样值， 即 h(n) = ha(nT) T是采样周期。

  20. 即若已知 则可得到 1．具体步骤 6 (5) 对h(n)取z变换，得到数字滤波器的系统函数为

  21. 例 6 例6.1 已知模拟滤波器系统函数为 试用脉冲响应不变法将其转化成数字滤波器，并画模拟和数字滤波器的幅频响应，其中T=0.5s 思考

  22. 例 6 解 :首先将Ha(s)展成部分分式的并联形式 根据变换关系可得

  23. 程序 6 利用脉冲响应不变法设计数字滤波器，并画出对应的幅频响应可由下列程序实现。 a=[0 0 3];b=[1 4 3]; [h1,w1]=freqs(a,b); [az,bz]=impinvar(a,b,2) [h2,w2]=freqz(az,bz) subplot(121) plot(w1,20*log(abs(h1))); subplot(122) plot(w2,20*log(abs(h2))); 运行结果 az = 0 0.2876 0 bz = 1.0000 -0.8297 0.1353

  24. 例 6 综上所述。转化为数字滤波器后，其系统函数为 (a) 模拟滤波器幅频响应 (b) 数字滤波器幅频响应

  25. 2．映射关系 6 这里从理想采样信号 的拉普拉斯变换入手，找到s平面与z平面之间的映射关系。理想采样信号为 由于 得到

  26. 2．映射关系 6 (1) 当σ=0时，r=1，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆上。 (2) 当σ<0时，r<1，s平面左半平面映射为z平面单位圆内部。 (3) 当σ>0时，r>1，s平面右半平面映射为z平面单位圆外部。 (4) ω=ΩT，Ω在区间(-π/T,π/T)时，ω将在(-π,π)之间变化。s平面上每一条宽为2π/T的横带，都重叠地映射到z平面的整个平面上，横带的左半部映射到单位圆内，右半部分映射到单位圆外，jΩ轴映射到单位圆上。

  27. 2．映射关系 6 根据上式的变换关系，得出平面间的映射关系如下图所示 (a) s平面 (b) z平面

  28. 3．混叠失真 6 如果原模拟信号 的频带不是限于 之间，则映射到z平面上 附近将产生频率混叠，所以采样间隔在脉冲响应不变法中起着比较重要的作用。

  29. 例 6 例6.2 求系统函 在采样间隔分别为0.5，0.25，0.02时数字滤波器的幅频响应。 思考

  30. 例 6 该数字滤波器的幅频响应可通过下列程序求得。 Matlab程序 a=[0 0 2];b=[1 4 3]; [h,w]=freqs(a,b); subplot(211) plot(w/(2*pi),20*log(abs(h))); grid on [az1,bz1]=impinvar(a,b,2); [h1,w]=freqz(az1,bz1); subplot(212)

  31. 例 6 L1=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h1)),'r-'); hold on [az2,bz2]=impinvar(a,b,4); [h2,w]=freqz(az2,bz2); L2=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h2)),'b-'); hold on [az3,bz3]=impinvar(a,b,50); [h3,w]=freqz(az3,bz3); L3=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h3)),'g-'); grid on; legend([L1 L2 L3], '采样间隔T=0.5', '采样间隔T=0.25','采样间隔T=0.02');

  32. 例 6 运行结果如下 模拟滤波器系统函数T=0.5时，az1 = 0 0.1917 0 bz1 =1.0000 -0.8297 0.1353 所以数字滤波器系统函数为 T=0.25时，az2 = 0 0.0766 0 bz2 =1.0000 -1.2512 0.3679 所以数字滤波器系统函数为

  33. 例 6 T=0.25时，az2 = 0 0.0766 0 bz2 =1.0000 -1.2512 0.3679 所以数字滤波器系统函数为 T=0.02时，az3 = 0 0.0008 0 bz3= 1.0000 -1.9220 0.9231 所以数字滤波器系统函数为  

  34. 例 6 不同频率下数字滤波器的幅频响应如下图所示。 (a) 模拟滤波器幅频响应 (b) 数字滤波器幅频响应

  35. 说明 6 可见，数字滤波器的幅频响应与采样间隔T有关，T越小，衰减越大，混叠越小。如果采样频率很高，即T很小时，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。用脉冲响应不变法进行设计，无混叠的条件为 | ω|<π

  36. 说明 6 实际系统不可能严格限带，都会存在混叠失真，在 处衰减越快，失真越小，如图所示。

  37. 说明 6

  38. 6.1.2 双线性变换法 6 当用脉冲响应不变法设计数字滤波器时，不可避免的会产生混叠失真，这是因为从s平面到z平面不是一一映射关系。为了克服混叠失真，可采用双线性变换法。 思路 建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象

  39. 1．变换原理 6 利用脉冲响应不变法设计IIR滤波器的基本步骤如下。

  40. 1．变换原理 6

  41. 1．变换原理 6 令

  42. 1．变换原理 6 s 借助于s1平面和z平面的关系 选择不同的c可以调节模拟滤波器特性和数字滤波器特性在不同频率处的对应关系，一般：

  43. 例 6 设有一模拟滤波器 抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 解： 由变换公式 及 ，可得 ，

  44. 2．s平面与z平面的映射关系 6 所以s平面与z平面的映射关系如下 (1) 当σ=0时，则有|z|=1，这表明s平面 jΩ轴映射到z平面的单位圆上； (2) 当时σ<0，则有|z|<1，这表明s的左半平面映射到z平面的单位圆内； (3) 当时 σ>0，则有|z|>1，这表明s的右半平面映射到z平面的单位圆外。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

  45. 3．数字角频率和模拟角频率之间关系 6 将 代入双线性变换公式 可得

  46. 3．数字角频率和模拟角频率之间关系 6 • 当 • (2) 当 • (3) 当 数字角频率与模拟角频率关系 从而消除了频率混叠现象。

  47. 3．数字角频率和模拟角频率之间关系 6

  48. 4．频率的非线性失真 6 双线性变换法避免了混叠失真，却带来了非线性的频率失真。在零频附近，Ω与ω之间的变换关系近似于线性，随着Ω的增加，表现出严重的非线性。 因此双线性变换法适合分段常数特性滤波器的设计。如低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。

  49. 4．频率的非线性失真 6 双线性变换法非线性映射 (a) 幅度特性非线性映射 (b) 相位特性非线性映射

  50. 5．频率的预畸变 6 以上非线性可以通过频率的预畸变来加以校正 即已知数字角频率ω，按 上式计算模拟角频率Ω设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 ω为截止频率的数字滤波器

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