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下面图片中,哪些是平行四边形?你是怎样判断的?

新课导入. 回顾旧知. 下面图片中,哪些是平行四边形?你是怎样判断的?. 平行四边形的主要特征. 1 .边: a . 平行四边形两组对边分别平行. b . 平行四边形两组对边分别相等. 2 .角: 平行四边形两组对角分别相等. 3 .对角线: 平行四边形对角线互相平分. 怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形?. 教学目标. 【 知识与能力 】 系统掌握平行四边形的判定定理; 灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述. 【 过程与方法 】 通过平行四边形判定定理的归纳与说理,培养的归纳推理能力,领会数学的严密性;

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Presentation Transcript


  1. 新课导入 回顾旧知 下面图片中,哪些是平行四边形?你是怎样判断的?

  2. 平行四边形的主要特征 1.边: a.平行四边形两组对边分别平行. b.平行四边形两组对边分别相等. 2.角:平行四边形两组对角分别相等. 3.对角线: 平行四边形对角线互相平分 .

  3. 怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形?

  4. 教学目标 • 【知识与能力】 • 系统掌握平行四边形的判定定理; • 灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述. • 【过程与方法】 • 通过平行四边形判定定理的归纳与说理,培养的归纳推理能力,领会数学的严密性; • 通过尝试练习和变式尝试,培养分析问题和解决问题的能力. • 【情感态度与价值观】 • 通过平行四边形判定方法的灵活运用,培养主动探索的精神及创新意识; • 通过一题多变与一题多解,引发求异创新的欲望.

  5. 教学重难点 重点:   平行四边形的判定方法及应用. 难点:   平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.

  6. 探究 张师傅手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?并说明理由. B A ● ● AB=CD AD=BC ● ● C D

  7. A B D C 上述问题可归结为: 已知:在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC. 求证:四边形ABCD为平行四边形. 证明:连接AC.    ∵ AB=CD,AD=BC,AC=AC    ∴△ACD≌△CAD(SSS) ∴∠CAB=∠DCA ∴AB∥CD 同理,∠CAD=∠ACB ∴ AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形.

  8. 探究 将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,再用一根橡皮筋绕端点A,B,C,D围成一个四边形ABCD.想一想,△AOB≌△COD吗?四边形ABCD的对边之间有什么关系?你得到什么结论? B A O C D

  9. B A O C D △AOB≌△COD → ∠BAC=∠ACD→AB∥CD 同理,△BOC≌△AOD → ∠CAD=∠ACB→AD∥BC 四边形ABCD是平行四边形. 结论:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

  10. 知识要点 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

  11. A 【例1】已知: ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,求证:四边形AECF是平行四边形. D F E C B 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,    ∴AD=BC,AB=DC,∠D=∠B. ∵ E,F分别是边AB,CD的中点, ∴BE=DF ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE 又∵AE=CF ∴四边形AECF是平行四边形.

  12. 如下图, ABCD的对角线AC,BD相交于O,EF过点O与AD,BC分别相交于点E,F.连接EB,EC.求证:四边形AECF是平行四边形. E 小练习 A D O B C F 证明:∵四边形ABCD是平行四边形.    ∴OA=OC,AD∥BC,  ∴∠AEF=∠CFE 又∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF ∴OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形.  

  13. 小练习 已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,并且OE=OF. 求证:四边形BFDE是平行四边形 证明:作对角线BD,交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ BO=DO   又∵ EO=FO   ∴ 四边形BFDE是平行四边形 A D E O F B C

  14. A D E F C B 【例2】已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,并且AE=CF. 求证:四边形BFDE是平行四边形. 证明:连接对角线BD,交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO,BO=DO ∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF ∴EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 O 还有其他证明方法吗?

  15. A D E F B C 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥ BC且AD =BC ∴∠EAD=∠FCB 在△AED和△CFB中 AE=CF ∠EAD=∠FCB AD=BC ∴△AED ≌△CFB(SAS) ∴DE=BF 同理可证:BE=DF 四边形BFDE是平行四边形.

  16. A D E O F B C 已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,当点E,F满足什么条件时,四边形BFDE是平行四边形?

  17. A 小练习 C′ B′ C B A′ 已知:如图,A′B′∥BA,B′C′∥CB, C′A′∥AC. 求证: (1) ∠ABC=∠B′, ∠CAB=∠A′,     ∠BCA=∠C′; (2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的    中点.

  18. 证明:(1) ∵ A′B′∥BA,C′B′∥BC,    ∴ 四边形ABCB′是平行四边形.    ∴ ∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).    同理∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′. (2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形.同理,四边形ABA′C是平行四边形.   ∴ AB=B′C, AB=A′C(平行四边形的对边相等).   ∴ B′C=A′C.   同理  B′A=C′A, A′B=C′B.   ∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.

  19. A F 做一做 E B O D C 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗?并说说你的理由.

  20. 解:有6个平行四边形,分别是: ABOF, ABCO, BCDO, CDEO, DEFO, EFAO. 理由是:因为正△ABO≌正△AOF,所以AB=BO,OF=FA.根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可知四边形ABCD是平行四边形.其它五个同理.

  21. 探究 取两根等长的木条AB、CD,将它们平行放置,再用两根木条BC、AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?

  22. 探究   在一方格纸上,画一个有一组对边平行且相等的四边形. 步骤1:画一线段AD. 步骤2:平移线段AD到BC. A D   根据平移的特征,AD、BC有怎样的关系? C B   连结AB、DC,得到四边形ABCD,它是一组对边平行且相等的四边形

  23. A D 探究 B C 平行且相等 已知:在四边形ABCD中, ADBC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:连接AC    ∵AD∥BC    ∴∠DAC=∠ACB    又∵AD=BC,AC=AC,    ∴ΔABC≌ΔCDA    ∴∠BAC=∠ACD    ∴AB∥CD    ∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 你还有其他 证法吗?

  24. G 抢答 E D A C H B F   在  ABCD中,E、G是AD的三等分点,F、H是BC的三等分点,则图中的平行四边形有______个 . 6

  25. E 小练习 D A B C F 已知:如图, ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:BE=DF.

  26. E D A B C F 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥CB,AD=CD. ∵ E、F分别是AD、BC的中点, ∴ DE∥BF,且DE=AD,BF=BC. ∴ DE=BF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形). ∴ BE=DF.

  27. A 知识要点 D C B 平行四边形的判定定理3: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 符号语言: ∵ABCD ∴四边形ABCD是平行四边形.

  28. D E ┓ ┓ F B C 【例3】已知:如图,  ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.   求证:四边形BEDF是平行四边形.

  29. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB=CD,且AB∥CD. ∴ ∠BAE=∠DCF. ∵ BE⊥AC于E,DF⊥AC于F, ∴ BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°. ∴ △ABE≌△CDF(AAS). ∴ BE=DF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).

  30. A D 探究 C B 已知:四边形ABCD, ∠A=∠C,∠B=∠D 求证:四边形ABCD是平行四边形.

  31. 证明: ∵∠A=∠C,∠B=∠D(已知) 又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 ° ∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° 即∠A+ ∠B=180 ° ∴AD∥BC (同旁内角互补,两直线平行) 同理可证AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

  32. A 知识要点 D C B 平行四边形的判定定理4: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言: ∵∠A=∠C,∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形.

  33. E 小练习 D A B C   已知:如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC, 找出图中的平行四边形,并说明理由. 四边形ABDE和四边形BCDE是平行四边形. 理由:一组对边平行且相等的四边形平行四边形.

  34. E D 小练习 C A B F 已知:如图,在 ABCD中,AE、CF分别是 ∠DAB、∠BCD的平分线. 求证:四边形AFCE是平行四边形. 提示:利用“一组对边平行且相等的四边形平行四边形”.

  35. A D E B C 【例4】:如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:DE∥BC且DE= BC.

  36. A D E B C 方法1:如图(1),延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE= DF,所以DE∥BC且DE= BC. F

  37. A D E B C 方法2:如图(2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE= DF,所以DE∥BC且DE= BC. F

  38. 知识要点 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

  39. (1)一个三角形的中位线共有几条? (2)三角形的中位线与中线有什么区别? 答: (1)一个三角形的中位线共有三条; (2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.

  40. 三角形的中位线与第三边有怎样的关系? 答:三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.

  41. 知识要点 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.

  42. A 探究 E D B C F 利用这一定理,你能证明出在前面思考题中分割出来的四个小三角形全等吗?并说明理由.

  43. 做一做 现有一块等腰直角三角形铁板,要求切割一次焊接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有 余料), 请你设计一种方案,并说明该方案 正确的理由. B A C

  44. E D B F C A

  45. B E D A C

  46. E D F B A C

  47. 抢答 如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20 m,那么A、B两点的距离是____m,理由是_______________________. 中位线等于第三边的一半. 40

  48. A 抢答 D E C B F 如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点, (1)若EF=5cm,则AB=____cm;若BC=9cm,则DE=_______cm; (2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想. 10 4.5

  49. A 小练习 E D C F B 三角形的周长为18cm,它的三条中位线围成 的三角形的周长是多少?为什么? 9cm; 三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.

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