下面图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？

1. 新课导入 回顾旧知 下面图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？

2. 平行四边形的主要特征 1．边： a．平行四边形两组对边分别平行． b．平行四边形两组对边分别相等． 2．角：平行四边形两组对角分别相等． 3．对角线： 平行四边形对角线互相平分 .

3. 怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？

5. 教学目标 • 【知识与能力】 • 系统掌握平行四边形的判定定理； • 灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述． • 【过程与方法】 • 通过平行四边形判定定理的归纳与说理，培养的归纳推理能力，领会数学的严密性； • 通过尝试练习和变式尝试，培养分析问题和解决问题的能力． • 【情感态度与价值观】 • 通过平行四边形判定方法的灵活运用，培养主动探索的精神及创新意识； • 通过一题多变与一题多解，引发求异创新的欲望．

6. 教学重难点 重点： 　　平行四边形的判定方法及应用． 难点： 　　平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

7. 探究 张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？并说明理由． B A ● ● AB＝CD AD＝BC ● ● C D

8. A B D C 上述问题可归结为： 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 证明：连接AC． 　　　∵ AB=CD，AD=BC，AC＝AC 　　　∴△ACD≌△CAD（SSS） ∴∠CAB＝∠DCA ∴AB∥CD 同理，∠CAD＝∠ACB ∴ AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形．

9. 探究 将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ B A O C D

10. B A O C D △AOB≌△COD → ∠BAC＝∠ACD→AB∥CD 同理，△BOC≌△AOD → ∠CAD＝∠ACB→AD∥BC 四边形ABCD是平行四边形． 结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

11. 知识要点 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形．

12. A 【例1】已知: ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，求证:四边形AECF是平行四边形． D F E C B 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 　　　∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝∠B． ∵ E，F分别是边AB，CD的中点， ∴BE＝DF ∴△ADF≌△CBE ∴AF＝CE 又∵AE＝CF ∴四边形AECF是平行四边形．

13. 如下图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F．连接EB，EC．求证:四边形AECF是平行四边形． E 小练习 A D O B C F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形． 　　　∴OA＝OC，AD∥BC,　 ∴∠AEF＝∠CFE 又∵∠AOE＝∠COF ∴△AOE≌△COF ∴OE＝OF ∴四边形AECF是平行四边形.　　

14. 小练习 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF． 求证：四边形BFDE是平行四边形 证明：作对角线BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ BO=DO 　　又∵ EO=FO 　　∴ 四边形BFDE是平行四边形 A D E O F B C

15. A D E F C B 【例2】已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：连接对角线BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AO－AE=CO－CF ∴EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 O 还有其他证明方法吗？

16. A D E F B C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥ BC且AD =BC ∴∠EAD=∠FCB 在△AED和△CFB中 AE=CF ∠EAD=∠FCB AD=BC ∴△AED ≌△CFB(SAS) ∴DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形．

17. A D E O F B C 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当点E，F满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形？

18. A 小练习 C′ B′ C B A′ 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC． 求证： （1） ∠ABC=∠B′， ∠CAB=∠A′，　 　　　∠BCA＝∠C′； （2） △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的 　　　中点．

19. 证明：（1） ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC， 　　　∴ 四边形ABCB′是平行四边形． 　　　∴　∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）． 　　　同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′． （2） 由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形． 　　∴ AB＝B′C， AB＝A′C（平行四边形的对边相等）． 　　∴ B′C＝A′C． 　　同理　 B′A＝C′A， A′B＝C′B． 　　∴　△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．

20. A F 做一做 E B O D C 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．

21. 解：有6个平行四边形，分别是： ABOF， ABCO， BCDO， CDEO， DEFO， EFAO． 理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．

22. 探究 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？

23. 探究 　　在一方格纸上，画一个有一组对边平行且相等的四边形． 步骤1：画一线段AD． 步骤2：平移线段AD到BC． A D 　　根据平移的特征，AD、BC有怎样的关系？ C B 　　连结AB、DC，得到四边形ABCD，它是一组对边平行且相等的四边形

24. A D 探究 B C 平行且相等 已知：在四边形ABCD中， ADBC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接AC 　　　∵AD∥BC 　　　∴∠DAC=∠ACB 　　　又∵AD=BC，AC=AC， 　　　∴ΔABC≌ΔCDA 　　　∴∠BAC=∠ACD 　　　∴AB∥CD 　　　∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 你还有其他 证法吗？

25. G 抢答 E D A C H B F 　　在 　ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形有______个 . 6

26. E 小练习 D A B C F 已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．

27. E D A B C F 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥CB，AD=CD． ∵ E、F分别是AD、BC的中点， ∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC． ∴ DE=BF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF．

28. A 知识要点 D C B 平行四边形的判定定理3: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 符号语言： ∵ABCD ∴四边形ABCD是平行四边形．

29. Ａ Ｄ E ┓ ┓ F Ｂ Ｃ 【例3】已知：如图， 　ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 　　求证：四边形BEDF是平行四边形．

30. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，且AB∥CD． ∴ ∠BAE=∠DCF． ∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE≌△CDF（AAS）． ∴ BE=DF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．

31. A D 探究 C B 已知：四边形ABCD， ∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形．

32. 证明： ∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知） 又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 ° ∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° 即∠A+ ∠B=180 ° ∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 同理可证AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

33. A 知识要点 D C B 平行四边形的判定定理4: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言： ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形．

34. E 小练习 D A B C 　　已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由． 四边形ABDE和四边形BCDE是平行四边形. 理由:一组对边平行且相等的四边形平行四边形．

35. E D 小练习 C A B F 已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是 ∠DAB、∠BCD的平分线． 求证：四边形AFCE是平行四边形． 提示：利用“一组对边平行且相等的四边形平行四边形”．

36. A D E B C 【例4】：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE= BC．

37. A D E B C 方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE= DF，所以DE∥BC且DE= BC． F

38. A D E B C 方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE= DF，所以DE∥BC且DE= BC． F

39. 知识要点 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

40. （1）一个三角形的中位线共有几条？ （2）三角形的中位线与中线有什么区别？ 答: (1)一个三角形的中位线共有三条； (2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．

41. 三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 答：三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

42. 知识要点 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

43. A 探究 E D B C F 利用这一定理，你能证明出在前面思考题中分割出来的四个小三角形全等吗？并说明理由.

44. 做一做 现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有 余料)， 请你设计一种方案，并说明该方案 正确的理由． B A C

45. E D B F C A

46. B E D A C

47. E D F B A C

48. 抢答 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是____m，理由是_______________________． 中位线等于第三边的一半． 40

49. A 抢答 D E C B F 如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， （1）若EF=5cm，则AB=____cm；若BC=9cm，则DE=_______cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想． 10 4.5

50. A 小练习 E D C F B 三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成 的三角形的周长是多少?为什么? 9cm; 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．