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第三章 证明（三）

第三章 证明（三）. 2. 特殊的平行四边形（一）. A. A. D. D. M. A. D. N. O. B. B. C. C. B. C. Q. P. 回顾 思考. 平行四边形的 性质. 定理 : 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴AB=CD,BC=DA. 定理 : 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′. 定理 : 平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ CO=AO,BO=DO.

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第三章 证明（三）

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  1. 第三章 证明（三） 2.特殊的平行四边形（一）

  2. A A D D M A D N O B B C C B C Q P 回顾 思考 平行四边形的性质 • 定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. • 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′ 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  3. A A D D O B B C C 回顾 思考 平行四边形的判定 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. • ∵AB=CD,AD=BC, • ∴四边形ABCD是平行四边形. • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. • ∵AB∥CD,AB=CD, • ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. • ∵AO=CO,BO=DO, • ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. • ∵∠A=∠C,∠B=∠D. • ∴四边形ABCD是平行四边形.

  4. A A D D B B C C 回顾 思考 等腰梯形的性质 • 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴∠A=∠D, ∠B=∠C. • 定理:等腰梯形的两条对角线相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴AC=DB.. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  5. A A D D B B C C 回顾 思考 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  6. A ∴DE∥BC, D E B C 回顾 思考 三角形中位线的性质 • 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. • ∵DE是△ABC的中位, • 这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形. ′ 要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.

  7. 1 我思,我进步 有一个角 是直角 有一个角 是直角 矩形 平行四边形 有一组 邻边相等 有一组 邻边相等 两组对边分别平行 菱形 四边形 等腰梯形 一组对边平行另一组对边不平行 正方形 梯形 直角梯形 两腰相等 腰与底垂直 四边形之间的关系 • 四边形之间有何关系？ • 特殊的平行四边形之间呢？ • 还记得它们与平行四边形的关系吗? • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?

  8. 2 我思,我进步 A D B C 矩形的性质 • 定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 证明: 想一想:正方形的四个角都是直角吗? ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形. ∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900. ∴四边形ABCD是矩形.

  9. 3 我思,我进步 A D B C 矩形的性质 • 定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. • 分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900. ∵BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB.

  10. 4 我思,我进步 A D E B C 直角三角形的性质 • 议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段? • BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线. • 它与AC有什么大小关系?为什么? • BE等于AC的一半. ∵ AC=BD,BE=DE, • 由此可得推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

  11. 5 例题欣赏 A D O B C ∴∠ODA=∠OAD= 矩形性质的应用 • 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长. 解: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,且 你认为例1还可以怎么去解？ ∵∠AOD=1200, ∵∠DAB=900, ∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).

  12. 6 我思,我进步 A D B C 矩形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=900. 求证:四边形ABCD是矩形. • 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=900, ∴∠A+∠B=18000,∠B+∠C=1800. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形.

  13. 我思,我进步7 A D B C 矩形的判定 • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. • 分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可. • 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AB∥CD. ∵AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800. ∴∠ABC=900. ∴四边形ABCD是矩形.

  14. 8 我思,我进步 已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 E A D B C 直角三角形的判定 • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. • 求证:△ABC是直角三角形 • 分析:要证明△ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形. • 证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∵ AD=BD,CD=ED, ∴四边形ACBE是平行四边形. ∵AB=2CD,CE=2CD, ∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形.

  15. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 矩形的性质,推论 • 定理:矩形的四个角都是直角. • ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 定理:矩形的两条对角线相等. • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,

  16. A A D D B B C C A D 小结 拓展 B C 矩形的判定,直角三角形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. • ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC中, ∵AD=BD=CD, ∴∠ACB=900.

  17. D P C 独立 作业 A B Q P88习题3.4 3题. 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少? △APB的面积是多少?

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