Series de Fourier

1. Series de Fourier Sensibilización

2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Fue en Grenoble ( Sur de Francia ) donde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas. Estos trabajos provocan un adelanto en el proceso de modelación matemática en fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica. Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange.

3. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Fourier, seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor, estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales. En la obra Théorieanalytique de la chaleur (Teoría Analítica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto.

4. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería En el capítulo III Difusión del calor en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce su método original de trabajo con series trigonométricas. Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el método de eliminación para la solución de un sistema de desigualdades, teoría muy usada actualmente para programación lineal.

5. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Conceptos Principales En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que: cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas armónicamente. Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una serie de Fourier. Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma de senoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no todas están relacionadas armónicamente. Al igual que las series de Fourier, la integral de Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).

6. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería La mayoría de las señales se distorsionan cuando pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es una señal sinusoidal pura. Sumando las primeras 40 componentes de frecuencia de la señal periódica. Las primeras componentes de frecuencia son: Sumando las primeras 3 componentes de frecuencia de la señal periódica. Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.

7. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Aplicaciones Contenido: Señales y sistemas . Sistema Respuesta Señal Señal= función real del tiempo Señal eléctrica: forma de onda de voltaje o corriente Resistencia estándar, para todos los cálculos de energía y potencia se asume una resistencia de 1 ohm.

8. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Justificación: :Señales y sistemas . Análisis de Fourier descompone una señal en una suma de señales senoidales y analiza como se distribuye la energía y la potencia en cada una de esas frecuencias • Las señales se clasifican en: • Señales de Energía y • Señales de Potencia Las Señales de Energía es una señal en forma de pulso que existe sólo en un intervalo finito de tiempo, o en la que al menos tiene la mayor parte de la energía concentrada en un intervalo finito de tiempo

9. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Señales y sistemas . Energía disipada por la señal en el intervalo de tiempo es: Señal de energía se define como la señal que tiene energía finita aún cuando el intervalo de tiempo es infinito esto es cuando

10. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Señales y sistemas . Ejemplos: Señales de pulso Rectangular Señales de pulso Senoidal Señales de pulso Exponencial Señales de pulso Gaussiano Las primeras componentes de frecuencia son: Sumando las primeras 3 componentes de frecuencia de la señal periódica. Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.

11. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Señales y sistemas . Potencia promedio disipada por la señal

12. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Señales y sistemas . Señal de Potencia, se define como la señal que tiene potencia promedio finita, pero diferente de cero, aún cuando el intervalo de tiempo es infinito esto es cuando:

13. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Cuando se aplica a un sistema lineal invariante en el tiempo, una señal sinusoidal no cambia su forma perosícambian: – Su amplitud. – Su fase. • En general, el cambio en la amplitud y en la fasedependen: – del sistema. – de la frecuencia de la señal sinusoidal.

14. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.

15. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Sensibilización: Otra razón para estudiar a Fourier Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda . Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier. Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno Imágenes en 3D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: YongKeun Park, Michael Feld y SubraSuresh) http://www.falstad.com/membrane/

16. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Hacialas Series de Fourier ( justifications matemáticas) La teoría de Series de Fourier trabaja con desarrollos en series trigonométricas. Primero revisaremosalgunaspropiedades de lasfunciones, particularmenteimportantesparaesteestudio: la continuidadporpartes, la periodicidad y la simetría par e impar. Continua porpartes Un funciónes continua porpartes en [a, b] sif es continua en cadapunto [a, b], exceptoposiblementepara un númerofinito de puntosdondef tieneunadiscontinuidad de salto. Tales funciones son integrables en cualquierintervalofinitodondeseancontinuasporpartes. Periodicidad Unafunción es periódica con periodo T si para toda x en el dominio de f . Si se cumple lo anterior, tambien se cumple f(t)=f(t+2*T)=f(t+3T) etc. El menor valor positivo se llama el período fundamental. Las funcionestrigonométricassen x y cos xson ejemplos de funciónesperiódicas, con período fundamental 2π y tan x es períodica con período fundamental π.

17. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Función Par Unafunción par es aquellaquesatisfaceparatodax en el dominio de f . Tieneunagráficaque es simétrica con respectoal eje y. Ejemplos FunciónImpar Unafunciónimparesaquéllaquesatisfacepara todax en el dominio de f . Tieneunagráficaque es simétrica con respectoal origen. Ejemplos

18. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Propiedades El producto de dos funciones pares esunafunción par. El producto de dos funcionesimparesesunafunción par. El producto de unafunción par y unaimparesimpar La suma ( resta ) de dos funciones pares esunafunción par. La suma ( resta ) de dos funcionesimparesesunafunciónimpar. Si f esunafunción par, entonces Si f esunafunciónimparentonces

19. Determina si la funciones siguientes son de la forma par o impar, o ninguna de ellas.

20. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Productointerno de Funciones El producto interno de dos funciones en un intervalo [a,b] es el numero obtenido al evaluar la integral Funciones ortogonales Se dice que dos funciones son ortogonales en un intervalo [a,b] si el producto interno entre ellas es cero, es decir si:

21. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Determina si las funciones dadas son ortogonales en el intervalo indicado.

22. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

23. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EN GENERAL, EL CONJUNTO FORMA UN CONJUNTO ORTOGONAL, ES DECIR… LOS PRODUCTOS INTERNOS ENTRE ELLOS SON SIEMPRE CERO EN EL INTERVALO [-P,P]

24. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • A continuación algunos lineamientos: • Norma cuadrada

25. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Dos funciones complejas son ortogonales en el intervalo [t1, t2] si Dos funciones complejas son mutuamente ortogonales en el intervalo [t1, t2] si

26. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Se dice que el conjunto de funciones está normalizado si • Si el conjunto de funciones es ortogonal y esta normalizado se llama conjunto ortonormal • Una función arbitraria se puede representar en una serie de funciones ortogonales como • en donde los coeficientes pueden determinarse como

27. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • en donde los coeficientes pueden determinarse como sigue: Sea: Por tanto: O bien:

28. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Cálculo del error que se tiene al aproximar con una sumatoria de N términos en lugar de una serie infinita De donde el error cuadrático : O bien:

29. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • desarrollando se llega a De donde el error cuadrático para un conjunto ortogonal completo : Es la representación en una serie generalizada de Series de Fourier

30. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Cierta función rectangular esta definida Se desea aproximar esta función de energía finita empleando un conjunto de funciones definidas por Solución: El conjunto es un conjunto ortonormal en

31. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Por lo tanto En donde

32. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Por lo tanto En donde el error cuadrático integral puede calcularse a partir de

33. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Por lo tanto Alrededor del 95% de la energía esta contenida en los primeros cuatro términos

34. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • SERIE DE FOURIER ( Equivalencia en la representación en serietrigonométrica de f(t) ) Definición 1. Sea f unafunción continua porpartes en el intervalo [-T,T]. La serie de Fourier de f es la serietrigonométrica Donde y estándadasporlasfórmulas: Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente

35. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 1 Calcular la serie de Fourier de Solución En estecaso, T=π. Obtenemos los coeficientes con las fórmulas anteriores.

36. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 1 (continuación) Solución Por lo tanto,

37. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 2 Calcular la serie de Fourier de Solución: Usted podrá llegar a esta representación, puede utilizar el tutorial, si lo hace en la calculadora, puede acceder al proceso de solución en la pagina del curso.

38. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Gráfica del problema anterior http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/home.htm

39. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 3 Calcular la serie de Fourier de

40. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 4 Calcular la serie de Fourier de De nuevo, T=π. Observe que f es una función impar. Como el producto de una función impar y una función par es impar, f(x) cosnx también es una función impar. Así, Solución Además, f(x) sennxes el producto de dos funciones impar y por tanto es una función par, de modo que Así

41. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 5 Calcular la serie de Fourier de Solución En estecaso T=1. Como f es unafunción par, f(x)sen nπx es una función impar. Por consiguiente, Como f(x) cos nπx es una par, tenemos Por lo tanto

42. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • RECORDEMOS LAS PROPIEDADES DE FUNCIONES PARES E IMPARES SUPONGAMOS QUE f (x) espar ENTONCES YA QUE EL PRODUCTO DE PARES ES PAR Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente YA QUE EL PRODUCTO DE PAR POR IMPAR ES IMPAR

43. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER Definición 2. Sea f(x) continua porpartes en el intervalo [0,T]. La serie de cosenos de Fourier de f(x) en [0,T]es Donde La serie de Fourier de senos de Fourier de f(x) en [0,T]es Donde

44. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 1 Calcular la serie de Fourier de Solución Usamoslasfórmulasanteriores con T=π, para obtener

45. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO 1 (continuación) Solución Así que al hacer n=2k+1, tenemos que la serie de senos de Fourier para f(x) es La función f(x) es continua y f ´(x) es continua por partes en (0,π), de modo que el teorema de la convergencia puntual de las series de Fourier implica que Para toda x en [0,π]

46. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería SERIE DE FOURIER COMPLEJA Sea f unafunción de variable real, periódica con periodo fundamental p. Supongamosquef es integrable en [-p/2,p/2]. La serie de Fourier en esteintervalo es Con . Se reescribenlasecuacionescomo En la serie sea y paracadaenteropositivo

47. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación) Entonces la seriellega a ser Ahora consideramos los coeficientes. Primero, Y, para n=1,2,… Y, para n=1,2,…

48. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación 2) Ponemosestosresultados en la serieparaobtener Hemosencontradoestaexpresiónrearreglando los términos en la serie de Fourier de unafunciónperiódicaf .

49. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • TEOREMA Sea f periódica con un periodo fundamental p. Sea f suave a pedazos en [-p/2, p/2]. Entonces, en cada x la serie de Fourier converge a El espectro de amplitud de la serie de Fourier compleja de una función periódica es la gráfica de los puntos , en donde es la magnitud del complejo . Algunas veces este espectro de amplitud es llamado también espectro de frecuencia.

50. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería EJEMPLO Sea para para todo x. Entonces f es periódica con periodo fundamental 8. Aquí p=8 y . Recordemos que en las fórmulas para los coeficientes se puede realizar la integración sobre cualquier intervalo de longitud 8. Aquí es conveniente usar [0,8] en lugar de [-4,4] debido a como está definida f(x). Entonces. Si usamos el intervalo [-4,4], entonces podríamos calcular La serie de Fourier compleja es Ahora, Esta serie converge a f(x) para 0< x <8, 8< x <16, 16 < x < 24…. .8< x <0, -16 < x < -8 Para trazar el espectro de amplitud, calculamos . Como el espectro de amplitud es un trazo de los puntos