Download
1 / 8
160 likes | 1.02k Views
HIPÉRBOLA. Bloque II * Tema 072. LA HIPÉRBOLA. LA HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF – PF’ = 2a Elementos Semieje real: a Semieje imaginario: b
E N D
HIPÉRBOLA Bloque II * Tema 072 Matemáticas Acceso a CFGS
LA HIPÉRBOLA • LA HIPÉRBOLA • La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. • PF – PF’ = 2a • Elementos • Semieje real: a • Semieje imaginario: b • Semidistancia focal: c • Focos: F(0, c) , F(0, -c) • Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), • B(0, b), B’(0, -b) Y P(x, y) B F’ A’ A F X 2c 2a Matemáticas Acceso a CFGS
RELACIÓN FUNDAMENTAL • RELACIÓN FUNDAMENTAL • Por definición, la diferencia de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2a. • PF – PF’ = 2.a • Tomamos el vértice derecho A(a, 0) y vemos que se nos forma un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: • Excentricidad • Se define como la relación: • e = c / a • Como siempre c > a • e > 1 en una hipérbola Y P(x, y) c F’ A’ b A F a X Asíntotas: y = (b/a).x e y = -(b/a).x Matemáticas Acceso a CFGS
ECUACIÓN REDUCIDA • ECUACIÓN REDUCIDA • Se considera el origen O(0, 0) el centro geométrico de la hipérbola. • Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: • PF’ – PF = 2.a • √((x+c)2+ y2)) – √((x – c)2+ y2))=2.a • √((x+c)2+ y2)) = 2.a + √((x – c)2+ y2)) Y c b P(x, y) F’ A’ A F a x X c • Elevando todo al cuadrado: • x2+ 2xc+c2 + y2 = 4a2 + x2– 2xc+c2 + y2 + 4.a√(c2 – 2xc + x2+ y2) • xc – a2 = a√(c2 – 2xc + x2+ y2) • x2c2 – 2xca2 + a4 = a2c2 – 2xca2 + x2a2+ y2a2 Como c2 = a2 + b2 • x2a2 + x2b2+ a4 = a4 + a2b2 + x2a2 – y2a2 • Quedando: x2b2 – y2a2= a2b2 Matemáticas Acceso a CFGS
Ejercicios • Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son: • 1º.- Vértices: A(3,0), A’(-3,0), B(0, 4) y B’(0, - 4) • El centro de la elipse es C((3+(-3))/2, (4+(-4))/2) ,, C(0,0) • Eje real: 2.a = 6 ,, a =3 ,, Eje imaginario: 2b = 8 ,, b = 4 • Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 16x2– 9y2= 144 • 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Excentricidad: e = 1,2 • El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0) • Semieje mayor: a = 5 ,, e = c / a c =e.a = 1,2.5 = 6 • Semieje imaginario: b = √ (c2 – a2 ) = √ (62 – 52 ) = √11 • Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 11x2– 25y2= 275 • 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(10, 0), F’(-10, 0) y P(- 6, 0) • Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 36.b2– 0.a2= a2.b2 • Relación: c2 = a2 + b2 100 = a2 + b2 • Resolviendo el sistema: a2 = 36 ,, a = 6 y b2 = 64 ,, b = 8 Matemáticas Acceso a CFGS
ECUACIÓN GENERAL • ECUACIÓN REDUCIDA • Teníamos: x2b2 – y2a2= a2b2 • Dividiendo todo entre a2b2 • Queda: x2 y2 • --- – --- = 1 • a2 b2 • ECUACIÓN GENERAL • Lo normal es que el centro de la hipérbola • no sea el origen de coordenadas: • Resultando: (x – k)2 (y – h)2 • --------- – ---------- = 1 • a2 b2 • ECUACIÓN DESARROLLADA • Operando en la ecuación general: • x2b2 – y2a2– 2kb2x + 2ha2y + (b2k2 – a2h2 – a2b2) = 0 • Que es la ecuación general desarrollada. Y P(x, y) F’ A’ A F X O Matemáticas Acceso a CFGS
Ejercicios • Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son: • 4º.- Vértices: A(5,3), A’(-7,3), e = 1,5 • El centro de la hipérbola es C((5+(-7))/2, 3) ,, C(-1,3) • Eje real: 2.a = 12 ,, a =6 ,, e = c/a c = e.a = 1,5.6 = 9 • Eje imaginario: b = √ (c2 – a2 ) = √ (92 – 62 ) = √45 = 3√5 • Ecuación: b2 (x + 1)2 – a2 (y – 3)2 = a2 b2 • 45x2– 36y2 + 90x + 216y – 1899 = 0 • 5º.- Vértices: B(2, -2), B’(2, - 6),, Distancia focal: 2c=10 • El centro de la hipérbola es C(2, (-6 – (-2))/2) ,, C(2, – 4) • Semieje imaginario: b = (-2 – (– 6))/2 = 4/2 = 2 • Semieje real: a = √ (c2 – b2 ) = √ (52 – 22 ) = √21 • Ecuación: b2 (x – k)2 – a2 (y – h)2 = a2 b2 • 4(x – 2)2 – 21 (y + 4)2 = 4.21 • 4x2– 21y2– 16x – 168y – 404 = 0 Matemáticas Acceso a CFGS
Ejercicios • Hallar el centro, focos y semiejes de las hipérbolas siguientes: • Ecuación general: b2x2 – a2 y2– 2b2kx + 2a2hy + b2k2 – a2h2 – a2b2 = 0 • 6º.- P: 9x2 – y2 – 6x + 4y – 12 = 0 • Identificando términos, tenemos: • b2 = 9 b=3 ,, a2 = 1 a= 1 • 2b2k = 6 18k = 6 k = 1/3 ,, 2a2h = 4 2h = 4 h = 2 • C(1/3, 2) ,, c =√(a2 + b2) = √1+9 = √10 ,, F(1/3+√10, 2) y F’(1/3 - √10, 2) • Comprobando: b2k2 – a2h2 – a2b2 = – 12 9.1/9 – 1.4 – 9.1 = – 12 • 7º.- P: 4x2– 4y2 – 8x – 20 = 0 • Identificando términos, tenemos: • b2 = 4 b= 2 ,, a2 = 4 a= 2 • 2b2k = 0 8k = 0 k = 0 ,, 2a2h = – 8 8h =– 8 h = – 1 • C(0 , – 1) ,, c =√(a2 + b2) = √8 = 2√2 ,, F(2√2 , –1) y F’(- 2√2 , –1) • Comprobando: b2k2 – a2h2 – a2b2 = – 20 4.0 – 4.1 – 4.4 = – 20 Matemáticas Acceso a CFGS
