Динамика

1. Динамика

2. Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучаются движение тел под действием приложенных сил

3. Законы динамики.

4. 1) І-ый закон Ньютона Если на тело не действуют силы, то оно находится либо в состоянии покоя либо сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения.

5. ma = F 2) ІІ-ой закон Ньютона Ускорение движения тела пропорционально действующей на него силе

6. 3) ІІІ-ий закон Ньютона Каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие

7. 4) Принцип суперпозиции. Если на тело действует несколько сил, то ускорение движения тела будет пропорционально одной силе, равной их геометрической сумме

8. Fn M a F2 F1 F = F1 + F2 + … + Fn Главный вектор системы сил

9. Дифференциальные уравнения движения точки.

10. Дифференциальные уравнения движения точки в декартовой системе координат.

11. z M (x,y,z) Fn F1 F2 z 0 y x x y

12. ma cos(a,^i ) = ma cos(a,^j ) = ma cos(a,^k)= ma = F1+ F2+ … + Fn Проецируем векторное равенство на оси декартовой системы координат ox: F1x+…+ Fnx oy: F1y+…+ Fny oz: F1z+…+ Fnz

13. x y z a·cos(a,^i ) = a·cos(a,^j ) = a·cos(a,^k ) = Проекции ускорений: ax= ay= az=

14. mx = my = mz = дифференциальные уравнения движения точки в декартовой с. к. SFkx SFky SFkz

15. Дифференциальные уравнения движения точки в осях естественного трехгранника.

16. b Fn M F1 F2 n t

17.  - единичный вектор касательной ma = n - единичный вектор главной нормали b - единичный вектор бинормали F1+ F2+ … + Fn Запишем ІІ-ой закон Ньютона:

18. ma cos(a,^t)= F1cos(F1,^t)+. . . ma cos(a,^n)= F1cos(F1,^n)+. . . ma cos(a,^b)= F1cos(F1,^b)+. . . Проецируем это равенство на оси естественного трехгранника:

19. V2 d2S r a cos(a,^t)= dt2 a cos(a,^n)= a cos(a,^b)= Проекции ускорений будут равны: - тангенсальная составляющая - нормальная составляющая 0 - т.к. вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости

20. V2 r d2S SFk cos(Fk ,^ t) m = dt2 SFk cos(Fk ,^ n) m = дифференциальные уравнения движения точки в осях естественного трехгранника

21. Задачи динамики

22. Прямая задача По известной массе, известному закону движения требуется определить результирующую силу, действующую на тело.

23. Найти: F - ? Дано: m x = x(t) y = y(t) z = z(t)

24. mx = my = mz = Fx2+ Fy2+ Fz2 Решение: Fx Fy Fz F = - модуль силы

25. Fx Fz Fy cos(F,^x) = cos(F,^y) = cos(F,^z) = F F F Направление задается направляющими косинусами:

26. Обратная задача По известной массе, известным силам, известным начальным условиям требуется определить закон движения.

27. d2z d2x d2y m m m Fx (t,x,y,z,x,y,z) Fz (t,x,y,z,x,y,z) Fy (t,x,y,z,x,y,z) = = = dt2 dt2 dt2

28. Для того, чтобы получить закон движения, необходимо дважды проинтегрировать каждое уравнение, используя начальные условия (но не всякий интеграл берется).

29. y mg H mg

30. y - ? t=0, y0=0, y0=0, my = my = dVy = dt Т.к. y = y = то Запишем закон движения в проекции на ось оу: S Fky mg т.е. Решим дифференциальное уравнение: g g Vy,

31. t t Vy y dVy= dy= dt tdt g g 0 0 0 0 dy gt2 = dt 2 gt Vy= => gt y =

32. Динамика системы

33. e i F F Внешние силы - силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не входящих в данную систему Внутренние силы - силы взаимодействия между телами данной системы.

34. Главный вектор внутренних сил системы равен нулю. Главный момент внутренних сил системы равен нулю.

35. Масса. Центр масс.

36. n n n Smk Smkrk Smk k=1 k=1 k=1 rc= Масса системы М = - сумма масс тел, входящих в систему. Центр масс системы - геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется:

37. Для того, чтобы получить координаты центра масс, надо спроецировать векторное равенство на оси.

38. M n n n Smkxk Smkyk Smkzk k=1 k=1 k=1 M M xc= yc= zc=

39. Дифференциальные уравнение движения системы

42. Теорема об изменении количества движения

43. ma = d d(mv) = (mv) = dt F F F dt mv = Q Запишем ІІ-ой закон Ньютона для точки: Получим теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: - количество движения точки

44. n n n Smkvk Smkvk Smk k=1 k=1 k=1 vk= rk d dt drk Q = Q = = dt - количество движения системы - сумма количеств движений точек, входящих в систему Распишем выражение и поменяем суммирования и дифференцирования т.к. они не зависят друг от друга:

45. Mvc M d dt drc Q = Q = Q = (Mrc) dt => - количество движения системы - произведение массы системы и скорости ее центра масс

46. Smk Smkvk= SFke+SFki d Fe Fe dt dvk dQ = = dt dt Запишем ІІ-ой закон Ньютона для системы точек: Меняя порядок суммирования и дифференцирования получим: Теорема об изменении количества движения:

47. Первая производная по времени от вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил

48. Если то Q = const Fe = 0 , Следствия : 1) Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то тело покоится или движется равномерно. 2) Внутренними силами нельзя изменить количество движения системы. 3) Спроецируем Теорему на координатные оси:

49. = = = dQx dQy dQz Fxe = 0 , Если то Qx = const dt dt dt Fxe Fye Fze

50. Теорема о движении центра масс системы