به نام خدا

1. به نام خدا فصل چهارم تابع احتمال

2. مفهوم متغیر تصادفی در اغلب آزمایش های تصادفی ما به جای نتایج حاصل از آزمایش به توابعی از نتایج علاقه مند هستیم. چنین توابعی که روی فضای نمونه تعریف میشوند به”متغیر تصادفی“موسوم اند. برای روشن شدن مفهوم ابتدا به مثال ذیل توجه نمایید: آزمایش پرتاب 3 سکه را باهم درنظر بگیرید.فضای نمونه حاصل از این آزمایش به صورت زیراست: فرض کنید در این آزمایش به تعداد شیرهای مشاهده شده به شما امتیاز داده می شود.بنابراین فقط شمارش شیرها مورد نظر است و اهمیت دارد. که این تعداد می تواند یکی از مقادیر 0،1،2،3 باشد.

3. متغیر تصادفی (ادامه) به عبارت دیگر ما به جزئیات فضای نمونه علاقه مند نیستسم بلکه فقط به یک توصیف عددی از نتیجه علاقه مندیم. برای این منظور به هریک از نقاط فضای نمونه عددی حقیقی را نسبت می دهیم و این عمل را بوسیله یک تابع حقیقی که آنرا ”متغیر تصادفی“می نامیم انجام می دهیم.

4. متغیر تصادفی و پرتاب سه سکه اگر متغیر تصادفی(تابع) X برابر تعداد شیرهای مشاهده شده در پرتاب 3 سکه باشد در اینصورت: X 0 1 2 3 S A

5. ادامه اسلاید قبل X : تعداد شیر های مشاهده شده P(تعداد شیرهای مشاهده شده =2 )=P(X=2)=P(A={HHT,THH,HTH}) = P( )=P( B={TTT, HTT, THT, TTH})= متغیرهای تصادفی را می توان با حروف بزرگ X، Y ، Z و مقادیر آنها را با حروف کوچک x ،y ،z نمایش داد.

6. تعریف متغیر تصادفی اگر S فضای نمونه یک آزمایش تصادفی باشد، تابع X از فضای نمونه به زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی را متغیر تصادفی می نامند: تابع X به هر نقطه از فضای نمونه یک عدد حقیقی را نسبت می دهد. برد این تابع می تواند تمام اعداد حقیقی و یا فقط زیرمجموعه ای از آن باشد. غالبا برد X را : فضای مقادیر X یا تکیه گاه X یا XSupport می نامند و با R نمایش می دهند. با استفاده از متغیر تصادفی می توانیم کلیه مباحث احتمال را که در فصول قبل بیان شد به نحو ساده تری بیان نمود.

7. متغیر تصادفی گسسته و پیوسته متغیر تصادفی A :قابل شمارش گسسته (Discrete ) A :غیرقابل شمارش پیوسته (Continuos )

9. تابع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد،تابع یا را تابع احتمال متغیر تصادفی X می گویند هرگاه دارای شرایط زیر باشد: 1. 2. این تابع برای کلیه مقادیر X ، احتمال تعریف می کند. به بیان دیگر تابعی است که عضوهای X را به فاصله می برد و دارای شرایط مذکور (بالا) می باشد. مثال.....

10. تفاوت های تابع احتمال گسسته و تابع در ریاضی 1- در تابع احتمال گسسته همیشه برد تابع بین است و همیشه مجموع بردها برابر یک خواهد بود . در حالیکه در توابع ریاضی لزومی ندارد که این خاصیت وجود داشته باشد. 2- در تابع احتمال گسسته هر نقطه ای که در دامنه تعریف نشده باشد، مقدار احتمال آن صفر است. در حالیکه در توابع ریاضی چنین نیست.

11. تابع توزیع تجمعی اگر X یک متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال f(x) باشد، تابع توزیع تجمعی آنرا با یا نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم: تابع توزیع تجمعی تابعی است که احتمال ها را در نقاط مختلف روی هم می ریزد(با هم جمع می کند) تا به یک برسد. مثال....

12. خواص تابع توزیع تجمعی الف : ب: ج: همواره از راست پیوسته است: د: تابعی صعودی و پله ای است:

13. مشخص نمودن تابع احتمال با داشتنتابع توزیع تجمعی، در متغیر های تصادفی گسسته احتمال یک نقطه در تابع توزیع تجمعی برابر است با : مثال......

15. متغیرهای تصادفی پیوسته

16. تابع احتمال برای متغیر های تصادفی پیوسته(تابع چگالی احتمال) یادآوری: متغیر تصادفی پیوسته متغیر تصادفی ای که مجموعه مقادیر آن یک فاصله عددی یا اجتماع چند فاصله عددی باشد را متغیر تصادفی پیوسته می نامند. توجه : احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بخواهد فقط یک مقدار به خصوص از مجموعه مقادیرش را بگیرد، صفر است. مثال:

17. توضیح بیشتر مثال: فرض کنید نقطه ای را به تصادف از فاصله حقیقی انتخاب می کنیم. متغیر تصادفی X را نقطه انتخاب شده در فاصله تعریف می کنیم،در اینصورت X یک متغیر تصادفی پیوسته است. برای هر r که باشد: زیرا بین نقاط 0 و 2 بی نهایت نقطه وجود دارد و احتمال انتخاب یک نقطه به خصوص بسیار ناچیز است. بنابراین توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان به صورت یک جدول نمایش داد .

18. تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته باشد، تابع احتمال X را که با f(x) نشان می دهیم دارای 2 شرط ذیل می باشد: 1. 2. f تابعی است که برای کلیه فاصله ها در دامنه X ، احتمال تعریف می کند.

19. همانطور که در خصوص احتمال یک نقطه گفته شود داریم: مثال....

24. شسشس یسسیس

25. شسشس یسسیس

26. شسشس یسسیس

27. شسشس یسسیس

28. شسشس یسسیس

29. شسشس یسسیس

30. شسشس یسسیس

31. شسشس