ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ HIGGS

1. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ HIGGS Γιώργος Καλαμάκης Α.Ε.Μ. 12115 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010

2. Θα μιλήσουμε για • Το ρόλο του μηχανισμού Higgs στο SM • Το Πρότυπο Weinberg – Salam • Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας • Εξισώσεις Πεδίου Higgs • Ιδιότητες του Μποζονίου Higgs • Higgs πέρα από το SM – Υπερσυμμετρία

3. Γιατί χρειαζόμαστε το Higgs? Ο Μηχανισμός Higgs είναι ο τρόπος για να εξηγηθεί η ύπαρξη της Μάζας στα πλαίσια του Standard Model. Σύμφωνα με τις Θεωρίες Βαθμίδας (Gauge Theories) οι οποίες αποτελούν τη βάση της Σύγχρονης Θεωρητικής Φυσικής, τα μποζόνια βαθμίδας (όπως τα W+, W-, Zo, φωτόνιακλπ) είναι άμαζα (!) Όταν τα μποζόνια βαθμίδας είναι άμαζα και λειτουργούν ως διαδότες αλληλεπιδράσεων η εμβέλεια της αλληλεπίδρασης είναι άπειρη. Στις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις δεν υπάρχει πρόβλημα, στις ασθενείς όμως τα πράγματα είναι διαφορετικά.

4. Το Πρότυπο Weinberg - Salam Στη Σύγχρονη Φυσική επικρατεί η αντίληψη ότι για κάποια τιμή ενέργειας οι 4 αλληλεπιδράσεις ενοποιούνται σε μια. Οι Θεωρίες Μεγάλης Ενοποίησης (GUT) έχουν καταφέρει να ενοποιήσουν τις Ισχυρές, τις Ασθενείς και τις Ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Το Πρότυπο Weinberg – Salam αφορά την ενοποίηση Ασθενούς και Ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης σε μια ενιαία την Ηλεκτρασθενή.

5. Το Πρότυπο Weinberg - Salam Οι Θεωρίες των Αλληλεπιδράσεων υπακούν σε εσωτερικές συμμετρίες. Οι συμμετρίες αυτές εκφράζονται μέσω των αναπαραστάσεων συγκεκριμένων ομάδων Lie. Το Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Maxwell εμπεριέχει συμμετρία που εκφράζεται με την αναπαράσταση της ομάδας U(1). Η ομάδα U(1) είναι η ομάδα όλων τον φάσεων eiα με 0 ≤ α ≤ 2π Πράγματι η Λανγρατζιανή του Ηλεκτρομαγνητισμού έχει τη μορφή Που είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς φάσεων δηλαδή μετασχηματισμούς της ομάδας U(1)

6. Το Πρότυπο Weinberg - Salam Κατά τον ίδιο τρόπο οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις εμπεριέχουν την εσωτερική συμμετρία που εκφράζεται με την αναπαράσταση της SU(2) ομάδας. Η ομάδα SU(2) είναι η ομάδα των 2x2 μιγαδικών πινάκων, οι οποίοι είναι unitary (g+g = 1) και special (det(g) = +1). Η ομάδα SU(2) αφήνει αναλλοίωτο το εσωτερικό γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών (z,z’) = z1*z1’ + z2*z2’ H SU(2) έχει γεννήτορες τους πίνακες Pauli και είναι εξαιρετικά σημαντική καθώς περιγράφει συμμετρίες ανάμεσα σε διπλέτες όπως αυτή του spin, του isospin, του υπερφορτίου Y κλπ.

7. Το Πρότυπο Weinberg - Salam Οι Weinberg και Salam ενοποίησαν τις ασθενείς με τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις σε μια ενιαία θεωρία βαθμίδας υπό τη συμμετρία της ομάδας γινομένου SU(2)xU(1). Από τη θεωρία τους προκύπτει μια τριπλέτα διανυσματικών μποζονίων Wμ = Wμ(1),Wμ(2), Wμ(3) (για την SU(2)) και το Βμ (για την U(1)). Κάτω από τις αναπαραστάσεις της SU(2)xU(1) τα μποζόνια W±, Zoκαι το φωτόνιο προκύπτουν ως γραμμικοί συνδυασμοί των Wμ και Βμ. Οι γραμμικοί αυτοί συνδυασμοί, όμως αντιστοιχούν σε άμαζα σωματίδια. Γνωρίζουμε όμως ότι οι διαδότες της ασθενούς αλληλεπίδρασης έχουν μάζα. Ο Μηχανισμός Higgs συμπληρώνει την εικόνα των Weinberg – Salam προσδίδοντας μάζα στα W και Ζ.

8. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Εφόσον η πλήρης συμμετρία SU(2)xU(1) μας οδηγεί σε άμαζα σωματίδια, για να οδηγηθούμε στην έννοια της μάζας πρέπει να επικαλεστούμε σπάσιμο αυτής της συμμετρίας. Αυτό γίνεται με μια φυσική διαδικασία που βρίσκει εφαρμογές και σε άλλους κλάδους της Φυσικής και ονομάζεται Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας. Γενικά η συμμετρία ενός συστήματος σπάζει αυθόρμητα όταν η κατώτατη ενεργειακά κατάσταση του συστήματος παύει να είναι αναλλοίωτη κάτω από τους μετασχηματισμούς της συγκεκριμένης συμμετρίας.

9. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Γραφικά μπορούμε να αναπαραστήσουμε ένα γενικό Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας ως εξής Έστω ένα πεδίο Φ και V το διάγραμμα δυναμικού του πεδίου → Καθώς φτάνουμε σε μια κρίσιμη τιμή δυναμικού εμφανίζονται δύο ελάχιστες τιμές της βασικής κατάστασης. Οι καταστάσεις αυτές είναι ισοδύναμες, το σύστημα επιλέγει μια με τυχαίο τρόπο και η συμμετρία σπάει αυθόρμητα.

10. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Το προηγούμενο μοντέλο μπορεί να γενικευθεί σε τρισδιάστατο χώρο, όπου το δυναμικό που σχηματίζεται κατά το σπάσιμο της συμμετρίας διαθέτει μια απειρία ελαχίστων καταστάσεων και το σχήμα που προκύπτει είναι το περίφημο Mexican Hat. Το σύστημα επιλέγει τυχαία μια κατάσταση ελάχιστης ενέργειας και η συμμετρία σπάζει αυθόρμητα.

11. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Σε ένα Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας το θεώρημα Goldstone μας υπαγορεύει τη δημιουργία ενός άμαζου σωματιδίου με spin 0. Ο Μηχανισμός Higgs λειτουργεί περίπου με τον ίδιο τρόπο, τελικά όμως αντί για το άμαζο μποζόνιο Goldstone προκύπτει ένα πεδίο που ο διαδότης του εμφανίζει μάζα. Χάριν απλότητας παραθέτουμε παράδειγμα του πως λειτουργεί ο μηχανισμός Higgs στο σπάσιμο μιας συμμετρίας U(1) δηλαδή Ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

12. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Θεωρούμε τη Λαγκρατζιανή Όπου οι ποσότητες είναι Όπου φο≠ 0 Η Λαγκρατζιανή είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς της U(1) της μορφής: Όπου ω(x) πραγματική συνάρτηση και φ βαθμωτό πεδίο

13. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Επειδή η ελάχιστη τιμή του πεδίου φ, που ουσιαστικά είναι η ενέργεια κενού είναι διάφορη του 0 (φο≠ 0) η συμμετρία της Λαγκρατζιανής σπάζει αυθόρμητα. Το πεδίο φ που προκαλεί αυτό το σπάσιμο είναι το Πεδίο Higgs. Χρησιμοποιώντας τις Εξισώσεις του Maxwell ή στη μορφή Η Χαμιλτονιανή έρχεται στη μορφή

14. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Από τη μορφή της Χαμιλτονιανής προκύπτει ότι η λύση ελάχιστης ενέργειας αντιστοιχεί στις συνθήκες: και Για να δούμε τι θα συμβεί κατά το αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας πρέπει να εξετάσουμε τις λύσεις κοντά στην περιοχή της ελάχιστης ενέργειας. Στην προσέγγιση Goldstone εφαρμόζουμε θεωρία διαταραχών και κρατώντας όρους μέχρι 2η τάξη προκύπτουν όροι στη Λαγκρατζιανή που αντιστοιχούν στο άμαζο μποζόνιο Goldstone. Στην προσέγγιση Higgs εφαρμόζουμε στην φ(x) μοναδιακό μετασχηματισμό (unitary gauge) όπου g*g = 1 και καταλήγουμε στην απαίτηση η φ να είναι πραγματική.

15. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Είναι δηλαδή φ(x) = ρ(x) (πραγματική) Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις κίνησης γίνονται Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση και αναπτύσσοντας τη φ γύρω από το ελάχιστο Οι εξισώσεις κίνησης παίρνουν την τελική μορφή:

16. Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας Στα πλαίσια της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου, οι λύσεις αυτές οδηγούν σε ένα σωματίδιο με spin 1 και μάζα και σε ένα με spin 0 και μάζα Θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι μέσω του μετασχηματισμού βαθμίδας που εφαρμόσαμε στην ελάχιστη κατάσταση ενέργειας λάβαμε αντί του μποζονίου Goldstone ένα Πεδίο με μποζονικούς διαδότες που έχουν μάζα. Αν εφαρμόζαμε άλλο μετασχηματισμό στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας θα λαμβάναμε παρόμοια αποτελέσματα, σε διαφορετική όμως και λιγότερο προφανή μορφή. Το συμπέρασμα είναι σαφές: ο μηχανισμός Higgs αποδίδει μάζα στα μέχρι πρότινος άμαζα μποζόνια τις θεωρίας.

17. Εξισώσεις Πεδίου Higgs Στην πραγματικότητα το Πεδίο Higgs εμφανίζεται κατά το αυθόρμητο σπάσιμο των συμμετριών και μεταβάλλει την ενέργεια κενού. Θα μπορούσαμε να φανταστούμε τον Μηχανισμό Higgs σαν τη δημιουργία του Πεδίου Higgs κατά το αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας, το οποίο καταλαμβάνει όλο το χώρο στο Σύμπαν και τα σωματίδια που βρίσκονται σε αυτό αλληλεπιδρούν με το πεδίο Higgs και αποκτούν την ιδιότητα της μάζας. Το Πεδίο Higgs όπως φάνηκε από την προηγούμενη ανάλυση είναι βαθμωτό.Στα πλαίσια της Σχετικιστικής Κβαντομηχανικής, ένα βαθμωτό πεδίο με μποζονικούς διαδότες ικανοποιεί την εξίσωση Klein Gordon.

18. Εξισώσεις Πεδίου Higgs Η Λαγκρατζιανή ενός τέτοιου πεδίου έχει τη μορφή Και η συζυγής ορμή του πεδίου είναι Οι πεδιακοί τελεστές δημιουργίας και καταστροφής που δημιουργούν ή καταστρέφουν ένα μποζόνιο Higgs είναι αντίστοιχα Για παράδειγμα η κατάσταση α+(κ1)α+(κ2)|0> = |κ1,κ2> παριστά δύο μποζόνια Higgs ορμής κ1 και κ2 αντίστοιχα.

19. Ιδιότητες του Μποζονίου Higgs Τα φερμιόνια αποκτούν μάζα μέσω του μηχανισμού Higgs κατά το Αυθόρμητο Σπάσιμο Συμμετρίας της Ηλεκτρασθενούς Αλληλεπίδρασης, καθώς αλληλεπιδρούν με το Πεδίο Higgs μέσω μηχανισμού Yukawa. Το μποζόνιο Higgs είναι ο βαθμωτός διαδότης αυτού του πεδίου. Έχει spin 0, είναι αφόρτιστοκαι Parity +1. Η μάζα του έχει την παρακάτω μορφή Όπου (mH)oείναι θεμελιώδης παράμετρος της θεωρίας, k σταθερά, g η σταθερά σύζευξης της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης και Λ η ανώτατη κλίμακα στην οποία μπορεί το SM να περιγράψει τις μάζες των σωματιδίων.

20. Ιδιότητες του Μποζονίου Higgs Η σταθερά Λ δεν είναι πλήρως καθορισμένη και αφορά το συσχετισμό μεταξύ της ηλεκτρασθενούς κλίμακας και της κλίμακας Planck όπου ενοποιούνται όλες οι αλληλεπιδράσεις. Το γνωστό πρόβλημα της ιεραρχίας. Γενικά η μάζα του μποζονίου Higgs υπολογίζεται μεταξύ 115 και 150 Gev/c2 Εάν η μάζα του είναι μέχρι 180 Gev/c2τότε το SM μπορεί να είναι έγκυρο και για ενέργειες μέχρι την κλίμακα Planck (1016ΤeV) Το ανώτατο όριο στη μάζα του μποζονίου Higgs ή οποιοδήποτε άλλου διαδότη πεδίου που προκύπτει από μηχανισμό σπάσιμου συμμετρίας είναι περίπου 1,4 ΤeV/c2. Πέρα από αυτή την τιμή οι unitary μετασχηματισμοί παραβιάζονται στις σκεδάσεις.

21. Ιδιότητες του Μποζονίου Higgs Στα επόμενα δύο διαγράμματα βλέπουμε τα κανάλια παραγωγής και διάσπασης του Higgs σε συγκρουστές pp σε ενέργεις 14ΤeV

22. Ιδιότητες του Μποζονίου Higgs

23. Higgs πέρα από το SM Υπάρχουν πολλά εναλλακτικά σενάρια για τον μηχανισμό Higgs πέρα από τα πλαίσια του SM. Το πιο δημοφιλές είναι το Υπερσυμμετρικό Υπερσυμμετρία (SUSY) είναι η θεωρία της Φυσικής που εισάγει για κάθε σωματίδιο έναν υπερσυμμετρικό ανάλογο που υπακούει στην «αντίθετη» στατιστική κατανομή. Για παράδειγμα το υπερσυμμετρικό ανάλογο του e-είναι το se-το οποίο είναι μποζόνιο. Αντίστοιχα το υπερσυμμετρικό ανάλογο του φωτονίου γ είναι το sγ, το οποίο είναι φερμιόνιο κλπ.

24. Higgs πέρα από το SM Το πιο απλό Υπερσυμμετρικό μοντέλο είναι το Minimal Supersymmetric (MSSM) στα πλαίσια του οποίο αντί για 1 μποζόνιο Higgs λαμβάνουμε φάσμα δύο αφόρτιστων Higgsh και H με Parity +1, ένος αφόρτιστου A με Parity -1 και δύο φορτισμένων Higgs Η±. Αυτά ομαδοποιούνται σε 2 διπλέτες Hu και Hdοι οποίες γεννούν μάζα για up και down quarks καθώς και για φορτισμένα λεπτόνια. Οι παράμετροι αυτού του πεδίου Higgs καθορίζονται μόνο από 2 ποσότητες. Το λόγο των ενεργειών κενού για τα Huκαι Hd

25. Higgs πέρα από το SM Θεωρώντας συμβατικά τη μια μάζα Higgs να είναι η mAκαι με την παραμετροποίηση Προκύπτει για τις μάζες των υπολοίπων Higgs Όπου ΜΖ και ΜWείναι οι μάζες των μποζονίων Ζ και W.

26. Συμπερασματικά… Ο Μηχανισμός Higgs μέσω του Αυθόρμητου Σπάσιμου Συμμετρίας προσδίδει μάζα στα παρατηρούμενα σωματίδια. Κυρίαρχο ρόλο παίζει το Πεδίο Higgs που καταλαμβάνει όλο το χώρο και αλληλεπιδρά με τα σωματίδια προσδίδοντας τους την ιδιότητα της μάζας. Ο Μηχανισμός Higgs αποτελεί μέρος του SM, ωστόσο υπάρχουν και ανάλογες προσεγγίσεις πέρα από αυτό. Εκτός των άλλων υπάρχουν και προσεγγίσεις για το μηχανισμό γέννησης της μάζας διαφορετικές από τον μηχανισμό Higgs.

27. Συμπερασματικά… Σε κάθε περίπτωση η Φυσική είναι επιστήμη που βασίζεται στο πείραμα, το οποίο πρέπει να δείξει τι από όλα αυτά περιγράφει τον πραγματικό κόσμο.

28. References • Quarks Leptons & Gauge Fields Kerson Huang • Advanced Quantum Mechanics J.J. Sakurai • The Road to Reality Roger Penrose • Introduction to High Energy Physics Donald H. Perkins • Στοιχειώδη Σωματίδια Α. Νικολαΐδης • Σχετικιστική Κβαντομηχανική Μ. Χατζής • Θεωρία Συνεχών Τοπολογικών Ομάδων Μ.Χατζης • Phys. Rev. Lett. 12, 132 (1964) P.W. Higgs • Phys. Rev. Lett. 145, 1156 (1966) P.W. Higgs • LPNHE, CNRS/IN2P3 U. of Paris VI&VII M. Carena & T.Junk • http://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_boson • http://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_mechanism