パスカルの三角形～ 3 次元への拡張～ 2009.08.15

パスカルの三角形～3次元への拡張～2009.08.15 立命館高校　2年池内　正剛

動機 • 去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何年後か!？”…指数関数 • 見栄えのいいものを目指して！できるもの。 • 3Dパズル・ミツバチがなぜ減っているのか？・　回転寿司の回転数と客の動員数の関係・3D数独見て・触って・実感 3次元にこだわる!!

目的 • パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけられている。 • 2次元→3次元へ拡張した場合規則性は、どのように変化するのか？ • 3次元ならではの規則性があるのか？

パスカルの三角形 →1 1 • 各列の和は、２n-1である。 • 最初の列を除いて各段を横に見てみると１１nになる。 • フィボナッチ数列 • １．１．２．３．５．８…… →2 1 2 →4 3 →8 5

3次元への拡張～立体～ 2次元 3次元

3次元への拡張～平面～ 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目

性質の比較 • 各段落の合計について　・2次元の時は、2n-1で求めることができる。　・3次元の場合は、下表のようになる表を見たら分かるように3次元にするとn段目の合計は3n-1

各段の個数について ・2次元では、1・2・3・4・5…というように各段落の個数が増加していく。・3次元の場合は、 1・3・6・10・15・21…となる。・このような数列を階差数列という。　階差数列は、２・３・４…となり　　初項a=2 交差d=1　の階差数列になる。 3 4 5 2 6

k=1 ・各段の個数は、an= a1+∑n-1 bkで求まる。この数列{an}の段差数列を{bn}とすると、　　　　{an}{bn}は…{an}＝1・3・6・10・15… {bn}＝2・3・4・5・6… {bn}は初項2,交差1の等差数列である。よってbn=n+1　ゆえに n≧2の時 an=a1+ ∑n-1 (k+1)=1+ ∑n-1 k+ ∑n-1 1 =1+1/2(n-1)n+(n-1) an=1/2n2+1/2n 初項はa1=1なので、n=1も成り立つ。 k=1 k=1 k=1 an=1/2n2+1/2n

中央の個数 3段目 4段目 5段目上の図のように、三角形で囲まれた部分を中央の個数とする。そうすると、中央の個数は…1・2・3段目＝0個　4段目＝1個　5段目＝3個これを表にすると、となる。

1~3段目までは、0個なので1段にまとめる（下表）1~3段目までは、0個なので1段にまとめる（下表） k=1 先ほども利用したan= a1+∑n-1 bkを利用する。数列{an}＝0・1・3・6…とすると階差数列{bn}＝1・2・3・4… {bn}はa=1,d=1の等差数列である。よって、bn=n ゆえに、n≧2のとき an=a1+ ∑n-1 (n) =0+ ∑n-1 (k) =0+ 1/2(n-1)n = 1/2n2-1/2n …① また、初項はa1=0なので、①はn=1のときも成り立つ。　　　　　以上により一般項は　　　　　　　　　　 k=1 k=1 an= 1/2n2-1/2n

フラクタル図形 ・3次元でもフラクタル図形が現れるか調べる。・立体的な図ではわかりにくいので、各段に分けて調べてみる。・3次元へ拡張した場合、　　　　　　　　側面は2次元の場合と同じである。 ↑　2次元のパスカルの三角形を 2で割った場合白色・・・（奇数）青色・・・（偶数）

3次元の場合 1段目 2段目 3段目 4段目 5段目 6段目 • ２で割った場合　白色…奇数青色…偶数 7段目 8段目 9段目 11段目 13段目 15段目 10段目 12段目 14段目 16段目 8段が1周期フラクタル図形が現れる。 17段目 19段目 20段目 18段目

結果 • 3次元に拡張するとｎ段の合計が、3n-1で表わされることがわかった。 M次元→mn-1 • 各段の個数については、一般項an=1/2n2+1/2nで求めることができる。 • 中央の個数はan=1/2n2－1/2nで求めることができる。 • 中央の数の合計については、規則性がなく一般化できなかった。 • 3次元へ拡張したときでもフラクタル図形が現れる。　（1周期は8段）

考察 • 中央の数の合計を一般化する。 • 10段ぐらいまで自分で制作してみる。 • フラクタル図形をプログラムしてn段目でも求められるようにする。(他の数で） 20段目のMaxの値は36.832.392

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パスカルの三角形～ 3 次元への拡張～ 2009.08.15