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空间向量应用 4 在立体几何证明中的应用

空间向量应用 4 在立体几何证明中的应用. 前段时间我们研究了用空间向量求角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离 ). 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。. 立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：. 平行： 线面平行、面面平行. 垂直： 线线垂直、线面垂直和面面垂直. 平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。. 1 、已知 b⊥α ， a 不在 α 内，如果 a⊥b ，则 a∥α 。. 2 、如果 a⊥α ， a⊥β ，则 α∥β 。.

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空间向量应用 4 在立体几何证明中的应用

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Presentation Transcript

  1. 空间向量应用4 在立体几何证明中的应用

  2. 前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。

  3. 立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类： 平行：线面平行、面面平行 垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直

  4. 平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。 1、已知b⊥α，a不在α内，如果a⊥b，则a∥α。 2、如果a⊥α， a⊥β，则α∥β。 3、如果a∥b， a⊥α，则b⊥α。（课本P22.6） 4、如果a⊥α， b⊥β， a⊥b，则α⊥β。

  5. 一、 用空间向量处理“平行”问题

  6. ↑ → ↑ ↑ 一、 用空间向量处理“平行”问题

  7. C D H B A G E F MH∥AB,NG ∥AB MH∥NG AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG 例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF. 求证： HG∥平面CBE. M N

  8. C D PH∥CB,PG∥BE 平面HPG∥平面CBE HG∥平面CBE H B A G E F P

  9. C D H 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0), B A G E F 故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG∥平面CBE 证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz. z y o x

  10. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A B M是中点，N是中点 MN∥RQ MN∥平面AC 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN∥平面AC. R

  11. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A 又NN1、MM1均等于边长的一半 B 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC 作PP1⊥AB于P1，作MM1 ⊥AB于M1，连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1，连结M1N1 NN1∥PP1 MM1∥AA1 N1 P1 M1

  12. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A B 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz z 设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1) o y x

  13. D1 C1 A1 B1 平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C D C 平行四边形DBB1D1 A B B1D1∥BD 例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1 于是平面A1BD∥平面CB1D1

  14. D1 C1 设正方形边长为1，则向量 A1 B1 D C 设平面BDA1的法向量为 A 则有 B x=1 y=-1 z=-1 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 故平面BDA1的法向量为 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz z y o x

  15. 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？ 通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。

  16. D1 G C1 F H A1 B1 E D C AD∥GF，AD=GF A B 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF 例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF 故得平面AEH∥平面BDGF

  17. D1 G C1 H F 则求得平面AEF的法向量为 A1 B1 E 求得平面BDGH的法向量为 D C A B 显然有 z 略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz y o x 故 平面AEH∥平面BDGF

  18. 二、 用空间向量处理“垂直”问题

  19. ↑ 二、 用空间向量处理“垂直”问题

  20. D C A B D C A B Z E Y F X

  21. 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 证明:

  22. P N D C M A B 练习1 • 已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝ ，M、N分别是AD、PB的中点。 ⑴求证：平面MNC⊥平面PBC； ⑵求点A到平面MNC的距离。

  23. 小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。

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