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网络面授课程. 几何中的方程. 主讲教师：章巍. S. A. B. P. S 1 ＝ vt. S 2 ＝ S － vt. 图形中运动的点往往会带来等量关系，这样就会把几何图形与方程结合起来. A. D. C. B. P. 例 1. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ C ＝ 90° ， BC ＝ 16 ， DC ＝ 12 ， AD ＝ 20 ．动点 P 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动．设运动时间为 t （秒）． ⑴ 设三角形 DBP 的面积为 S ，求用 t 表示 S 的代数式；
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网络面授课程 几何中的方程 主讲教师：章巍
S A B P S1＝vt S2＝S－vt 图形中运动的点往往会带来等量关系，这样就会把几何图形与方程结合起来
A D C B P 例 1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝20．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动．设运动时间为t（秒）． ⑴ 设三角形DBP的面积为S，求用t表示S的代数式； ⑵ t为何值时，三角形DBP的面积是直角梯形ABCD面积的 ．
解：⑴ PC＝t，BC＝16，则BP＝16－t， 所以S＝ ×12(16－t)＝96－6t； ⑵ 由题意，得 96－6t＝ 解得t＝4 A D C B P 例 1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝20．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动．设运动时间为t（秒）． ⑴ 设三角形DBP的面积为S，求用t表示S的代数式； ⑵ t为何值时，三角形DBP的面积是直角梯形ABCD面积的 ．
A D C Q B P 例 2 如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么： ⑴ 当t为何值时，三角形QAP为等腰直角三角形？ ⑵ 求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
A D C Q B P 解： ⑴ AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t． 所以当QA＝AP时，即：6－t＝2t， 解得：t＝2（秒）， ⑵ 因为 ， 又因为 所以SQAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36（厘米2）． 由计算结果发现： 在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变．
A Q C B P 例 3 如图，三角形ABC中，AB＝13cm，BC＝9cm，AC＝8cm．动点P从B点出发沿BC向C点运动，速度是1cm/s；动点Q从C点出发沿CA向A点运动，到达A点后继续沿AB向B点运动，速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（s）． ⑴ 当点Q在AC上运动时，t为何值时，CP＝CQ； ⑵ 当点Q在AB上运动时，t为何值时，BP＝BQ．
A Q C B P 例 3 如图，三角形ABC中，AB＝13cm，BC＝9cm，AC＝8cm．动点P从B点出发沿BC向C点运动，速度是1cm/s；动点Q从C点出发沿CA向A点运动，到达A点后继续沿AB向B点运动，速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（s）． ⑴ 当点Q在AC上运动时，t为何值时，CP＝CQ； ⑵ 当点Q在AB上运动时，t为何值时，BP＝BQ． 解：⑴因为BC＝9cm，所以CP＝9－t，而CQ＝2t，所以9－t＝2t，解得t＝3（s）； ⑵因为BQ＝（AB＋AC）－（QA＋AC）＝13＋8－2t＝21－2t，而BP＝t， 所以21－2t＝t，解得t＝7（s）．
P A D B C Q 例 4 在长方形ABCD中，AD＝BC＝12cm，AB＝DC＝8cm，动点P从A点出发沿AD向D点运动，速度是1cm/s；动点Q从C点出发沿CB向B点运动，当到达B点后继续沿BA向A点运动，速度是3cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（s）． ⑴ 当点Q在线段CB上运动时，t为何值时，PD＝CQ； ⑵ 当点Q在线段BA上运动时，t为何值时，AP＝AQ ； ⑶当点Q在线段CB上运动时，t为何值时，四边形PQCD的面积是长方形ABCD的面积的 ．
P A D P A D Q B C Q B C 解：⑴因为AD＝BC＝12cm，所以PD＝AD－AP＝12－t，而CQ＝3t，所以12－t＝3t，解得t＝3（s）； ⑵因为AQ＝（AB＋BC）－（QB＋BC）＝12＋8－3t＝20－3t，而AP＝t，所以20－3t＝t，解得t＝5（s）． ⑶由题意，得 解得t＝2（s）．
D A Q B C P 例 5 如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝7cm，AB＝DC＝5cm．动点P从B点出发，沿B→C→D的方向向D点运动，速度是1cm/s；动点Q从C点出发，沿C→D→A→B的方向向B点运动，速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（s）． ⑴ 当点Q在线段CD上运动时，t为何值时，PC＝CQ ； ⑵ 当点Q在线段DA上运动时，t为何值时，四边形PCDQ是长方形； ⑶ 当点Q在线段BA上运动时，t为何值时，四边形PDAQ是长方形．
D A Q B C P 例 5 如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝7cm，AB＝DC＝5cm．动点P从B点出发，沿B→C→D的方向向D点运动，速度是1cm/s；动点Q从C点出发，沿C→D→A→B的方向向B点运动，速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（s）． ⑴ 当点Q在线段CD上运动时，t为何值时，PC＝CQ ； ⑵ 当点Q在线段DA上运动时，t为何值时，四边形PCDQ是长方形； ⑶ 当点Q在线段BA上运动时，t为何值时，四边形PDAQ是长方形． 解：⑴7－t＝2t，解得t＝ （s）； ⑵7－t＝2t－5，解得t＝4（s）； ⑶12－t＝2t－12，解得t＝8（s）．
A Q B C P 例 6 如图，三角形ABC中，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm．动点P从B点出发沿B→C→B→C的方向在BC边上来回运动，速度是2cm/s；动点Q从C点出发沿C→A→B的方向向B点运动，速度是1cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动．设运动的时间是t（s）． ⑴ 当点Q在AC（不含A、C）上运动时，t为何值时，CP＝CQ； ⑵ 当点Q在AB （不含A、B）上运动时，t为何值时，BP＝BQ．
A Q B C P 解：⑴当0＜t ≤1.5时，有3－2t＝t，解得t＝1s； 当1.5＜t ≤3时，有2t－3＝t，解得t＝3s； 所以，当t＝1s 或3s时， CP＝CQ； ⑵当3＜t ≤4.5时，有2t－6＝9－t，解得t＝5s（舍去）； 当4.5＜t ≤6时，有12－2t＝ 9－t，解得t＝3s（舍去）； 当6＜t ≤7.5时，有2t－12＝ 9－t，解得t＝7s； 当7.5＜t ＜9时，有18－2t＝ 9－t，解得t＝9s （舍去） ； 所以，当t＝7s 时， BP＝BQ．
D A Q B C P 作业 如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝10cm，AB＝DC＝6cm，动点P从B点出发，沿着BC向C点运动，速度是1cm/s；动点Q从C点出发，沿着CD向D点运动，速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（s）． ⑴ t为何值时，三角形QCP为等腰直角三角形； ⑵ t为何值时，三角形QCP的一条直角边长是另一条的2倍．
