第六节傅里叶 ( Fourier ) 级数

第六节傅里叶(Fourier)级数 第六模块无穷级数一、谐波分析三角函数系的正交性二、傅里叶级数三、奇函数与偶函数的傅里叶级数四、函数f(x)在[0 , ] 上展开为正弦级数与余弦级数

一、谐波分析三角函数系的正交性 由　　三角函数系的正交性是指 : 组成的函数序列叫做三角函数系，　如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，　其值都为零 . 在区间 [, ] 上的定积分，这实际上只需证明以下五个等式成立 :

以上结果，这里就不证明了 .

假定二、傅里叶级数如下形式的函数项级数称为三角级数 . 且可逐项积分，

于是有 注意到三角函数系的正交性，即有

所以为了求出系数 an，我们用 cos kx 乘级数，然后在逐项积分

因此由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，有当 k = n 时，其余各项均为零 .

可得到 用类似的方法，注意到在求系数an的公式中，令n = 0 就得到a0 的表达式，因此求系数 an , bn的公式可以归并为

由傅里叶系数组成的 三角级数称为傅里叶级数. an , bn称为傅里叶系数.

收敛定理(狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ) 如果它满足条件 : 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数，在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，则f(x) 的傅里叶级数收敛，并且至多只有有限个极值点，并且

级数收敛于f(x) ; (1) 当 x 是 f(x) 的连续点时， (2) 当 x是 f(x) 的间断点时，级数收敛于其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x处的左极限， f(x+0) 表示 f(x) 在 x处的右极限 .

解函数 f(x) 的图形如图所示， f(x)    2 O x 例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函它在 [ , ) 上的表达式为数，试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .

这是一个矩形波， 它显然满足收敛定理的条件，由式 (12.6.4)

因为在计算 又

　　　　　　　　　　　　当 x k (k = 0 , 1 , 2 ，···) 时，根据收敛定理可知，傅里叶级数收敛于 f(x) ，即

f(x) 2    2 O x 级数收敛于当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 . 图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同.

≤ ≤ f(x)    2 O x   　　例3设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数，它在 [ , ) 上的表达式为试将其展开成傅里叶级数.

解　计算傅里叶系数

即所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，

级数收敛 于  f(x)    2 O x   当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ···) 时，当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形.

即三、奇函数与偶函数的傅里叶级数称为正弦函数，展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦级数. 在 [ , ]内是奇函数，假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 那么傅里叶级数一定是正弦级数. 此时傅氏系数

于是在区间 (  ) 内 f(x)cosnx为奇函数 ，所以而奇函数在对称区间上的积分为零，又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数，

故有即同理可以推出，当函数f(x) 是偶函数时，其展开式为余弦级数，此时傅里叶系数为

设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表达式 例 4 ≤ ≤ f(x)   O x 试将其展开成傅里叶级数 . 解函数 f (x) 的图形如图所示，

因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数. 由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，

故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)，又因为 f(x) 处处连续，即

四、函数f(x)在[0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数我们设想有一个函数 (x)，设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，它是定义在 (  ) 上且以 2 为周期的函数，如果 (x) 满足收敛定理的条件，  (x) = f(x). 而在 [0 , ] 上，那么 (x) 在 (  ) 上就可展开为傅里叶级数，取其 [0 , ] 上一段，  (x) 称为f(x) 的周期延拓函数. 即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，

y 2  3 2  x O 　周期奇延拓在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是最为常用: 使延拓后的函数成为奇函数，将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，然后再延拓为以 2 为周期的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;

y   3 2 2 x O 周期偶延拓将 f(x) 先延拓到( , 0)，使延拓后的函数为偶函数，这种延拓称为周期偶延拓. 然后再延拓为以 2 为周期的函数，

显然，周期奇延拓的结果为正弦级数， 其傅里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即 (因在 [0 , ] 上，(x) = f(x) ). 其傅里叶系数公式为周期偶延拓的结果为余弦级数，

例5　试将 解　按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，

且延拓的函数在 x = 0，处连续， 因此 (0≤ x ≤) .

0≤ x ≤ 例6试将函数 ≤ 展开成正弦级数 . 解　按公式(12.6.7)

y  2 o  x 所以当 x =  时，收敛于 0.

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