Il simulated annealing (SA)

1. Il simulated annealing (SA) • Analogia con il processo di solidificazione di un metallo fuso • A partire dal metallo fuso, la temperatura viene abbassatalentamente e il sistema transita da uno stato energetico al successivo fino a quando il metallo solidifica nello statodi minima energia Simulated annealing (SA) 1

2. Passi salienti del processo fisico • il sistema viene portato alla temperatura di fusione • il sistema si trova in uno stato i e può transitare in uno stato j ottenuto perturbando lo stato i • la transizione avviene seguendo il criterio di Metropolis • la temperatura deve essere abbassata lentamente in modo che il solido raggiunga l’equilibrio termico ad ogni temperatura Simulated annealing (SA) 2

3. x stato del sistema f(x) energia dello stato parametro di controllo T temperatura funzione di T decrescente raffreddamento generatore di configurazioni x perturbazione criterio di Metropolis ottimo globale minima energia Modello matematico Simulated annealing (SA) 3

4. Physical annealing MAX Equilibrium at temperature Tmax STATE 1 STATE 2 STATE n0 ... Equilibrium at T1<Tmax STATE n1 ... MINIMAL ENERGY STATE STATE nc ... MIN Equilibrium at Tmin ENERGY MAX MIN

5. Metropoliscriterion cooling schedule starting temperature Simulated annealing cooling scheduleequilibrium criterion MAX SOLUTION 1 SOLUTION 2 SOLUTION K ... random changesgenerator SOLUTIONREJECTED cooling scheduledecrement function CONTROL PARAMETER GLOBAL OPTIMUM no NEWSOLUTION yes LAST SOLUTION BEST SOLUTION SOLUTION 1 ... ... MIN cooling schedulestop criterion OBJECTIVE FUNCTION (average) MIN MAX

6. Teoria matematica • Descrizione mediante catene di Markov • Convergenza alla soluzione ottima con probabilità 1 per un numero infinito di transizioni Simulated annealing (SA) 6

7. Realizzazione dell’algoritmo • Descrizione delle configurazioni e generatore casuale di configurazioni • Funzione obiettivo F e criterio di accettazione • Parametro di controllo T e schema di raffreddamento Simulated annealing (SA) 7

8. Generazione casuale metodo del simplesso • simplesso iniziale N+1 vertici • movimenti del simplesso • scarto del vertice peggiore • contrazione globale Simulated annealing (SA) 8

9. Movimenti del simplesso Simplesso iniziale Riflessione Espansione Contrazione Contrazione globale

10. Criterio di Metropolis • Generazione di un numero random r  ]0,1[ e confronto con PT{j}: se PT{j} < r la nuova configurazione viene scartata. • Calcolo della funzione obiettivo della nuova configurazione j e confronto con la precedente configurazione i per il calcolo della probabilità di accettazione di j: Simulated annealing (SA) 10

11. Schema di raffreddamento • Temperatura iniziale • Numero di passi a temperatura costante • Funzione di decremento • Criterio di arresto Il concetto fondamentale che guida la scelta di questi parametri è quello di quasi equilibrio Simulated annealing (SA) 11

12. Temperatura iniziale • Valore abbastanza alto • Deviazione standard vertici del simplesso • Rapporto di accettazione iniziale  1 (PTCS) Simulated annealing (SA) 12

13. Schemi di raffreddamento Simulated annealing (SA) 14

14. Simulated annealing (SA) 15

15. Simulated annealing (SA) 16

16. Criterio di arresto • Valore ottimo (se noto) • Numero fisso di raffreddamenti L’algoritmo può essere completato con una ricerca deterministica a partire dall’ottimo trovato. Simulated annealing (SA) 18

17. Optimization block Evaluation block Output Input variables Results Data Input commands Batch commands Ottimizzatore + codice FEM GA/SA f(x) Batch script Processor Preprocessor Postprocessor Ottimizzazione e FEM

18. Esempio di progettazione ottimizzataHeating Inductor • Trovare la posizione assiale delle spire che permette di riscaldare uniformemente un disco di grafite ad una temperatura di 1150-1200°C 20°C per un periodo di tempo prefissato I=712 Af=4 kHzr=660 mWcm

19. Heating InductorProblema elettromagnetico • Il dominio considerato per la risoluzione del problema in ELFIN è una finestra rettangolare di 304 mm di lunghezza e 28 mm di altezza al centro della quale è posizionato il disco di grafite. • Le spire sono state considerate come sorgenti esterne e di conseguenza non sono state incluse nella reticolazione. • Il numero di macroelementi usato lungo gli assi x e y è rispettivamente 29 e 4, per un totale di 232 elementi finiti triangolari del secondo ordine e 531 nodi. • Grazie all’approccio utilizzato la mesh rimane fissa nonostante lo spostamento delle spire dovuto all’ottimizzazione.

20. Heating inductorFunzione obiettivo • L’obiettivo della procedura di ottimizzazione è trovare la posizione verticale delle spire dell’induttore che realizza la densità di potenza desiderata. • Le prime due spire sono fisse a 16 mm dal disco. Le altre si possono muovere verticalmente e la loro distanza pk dal disco variare tra 16 e 41mm • Lo scopo è minimizzare lo scarto quadratico medio tra i valori ottenuti Pie quelli desiderati P0i in 55 nodi equidistanti posti sull’asse orizzontale del disco

21. Heating InductorAlgoritmi Genetici Ns= 7 bit Lc= 70 bit Np=100 Ng=100 n.eval.=300 Rep.: binary (not Gray) Sel.: tournament with elitism

22. Heating InductorAlgoritmi Genetici - Soluzione

23. Heating InductorSimulated Annealing 60 raffreddamenti * 50 valutazioni = 3000 Schema di raffreddamento PTCS T iniziale - PTCS Raffreddamento -PTCS

24. Heating InductorSimulated Annealing Numero di valutazioni richiesto = 2878

25. Heating InductorSimulated Annealing - soluzione

26. Heating InductorRisultati