如何建立数学模型？

1. 如何建立数学模型？ ——谈谈数学建模竞赛 如何建立数学模型

2. 一、数学建模ABC A：Assume 如果你的数学学习的经验告诉你，不要超出已知条件。那么，在数学建模中，你要摆脱这种思维的束缚。数学建模是面对实际问题的，而实际问题所给出的已知条件往往是不够的，你必须自己作出假设—关于什么是重要的，什么是不重要的；关于现实背景的某种约定；关于模糊概念的理解等等。 如何建立数学模型

3. 总之，为你将要建立的模型确定一个边界较清晰的环境。事实上，有观点认为：模型就是假设。假设决定了模型的方向，假设与现实的相容度决定了模型的价值。总之，为你将要建立的模型确定一个边界较清晰的环境。事实上，有观点认为：模型就是假设。假设决定了模型的方向，假设与现实的相容度决定了模型的价值。 对现实与理论之间的平衡度的掌握。 如何建立数学模型

4. B: Borrow 数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者以往的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过文献或交流。 如何建立数学模型

5. 另外，还取决于建模者的建模素养，这种素养主要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握等等。另外，还取决于建模者的建模素养，这种素养主要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握等等。 对相关信息的获取能力与决策能力。 如何建立数学模型

6. C: Criticize 建模者必须是一个批判者，批判别人也批判自己，这也是建模的一个必不可少的环节。建模的过程是一个迭代的过程，也就是一个批判与改进的过程。 对问题本质的洞察能力。 如何建立数学模型

7. 二、数学建模的基本要素 • The capacity to understand, interpret, criticize, and appreciatemodels is essential to all. • The three most fundamental ideas in mathematical modeling are transience, permanence, and optimality. 如何建立数学模型

8. 三、数学建模论文的一般结构 • 摘要 • 问题重述与分析 • 问题假设 • 符号说明 • 模型建立与求解 • 模型检验 • 结果分析 • 模型的进一步讨论 • 模型优缺点 如何建立数学模型

9. ☻摘要 主要理解 主要方法 主要结果 主要特点 ☻问题重述与分析 —向导 对题意的理解 重要概念的约定 建模思路分析 “拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题的方法。”——数模竞赛中建好数学模型之研究 在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问题理解的深度。 如何建立数学模型

10. 05B题—DVD租赁 题意理解问题 （1）“保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月 内能够看到该DVD” ——随机需求。 P(ξ> 0.5 ) ≥ 0.95 . （2） “当前需要处理的1000位会员的在线订单” ——第二问一次分配。 （3）“95%的会员得到他想看的DVD” ——1张？3张？6张？ 如何建立数学模型

11. ☻问题假设 ☻符号说明 ☻模型建立与求解 模型的完整性与正确性 一般，以一个模型为主 解法思路描述的清晰性与简洁性 如何建立数学模型

12. 例 ：2004 B题 电力市场的输电阻塞管理 模型二：当模型一无可行解时，以安全裕度利用率最小为目标，调整各机组出力。 线路安全裕度 rj，安全裕度利用率 qj 如何建立数学模型

13. 定义满意度 • 模型 例： 2005B题－ DVD在线租赁 如何建立数学模型

14. “经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等在建模过程起很大作用。 无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过还是有些一般性的准则(经验)： 1. 先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。 2. 尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。 3. 有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、基本的模型，再作改进或修正。 4. 当然，也要注意应用新方法。” ——数模竞赛中建好数学模型之研究 如何建立数学模型

15. ☻模型检验 稳定性检验 敏感性检验 误差分析 仿真检验 算法复杂度分析 ☻结果分析 清晰、完整的表达 结果合理性解释 不同模型、不同算法的对比 如何建立数学模型

16. ☻模型进一步讨论 模型的改进与拓广 对题意不同理解下的模型 有意义、有价值的设想（Valuable idea） 如何建立数学模型

17. 四、数学建模竞赛论文的评判标准 • 假设的合理性 假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如97年赛题“零件参数设计” 。 对一些关键性的或对结果有重大影响的条件或参数应该在假设中明确约定。 假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然不同的结果。例如04年赛题“电力市场的输电阻塞管理”。 如何建立数学模型

18. 作假设的两个原则： ① 简化原则：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，方便 数学处理。 ② 贴近原则：贴近实际。 以上两个原则是相互制约的，要掌握好“度”。通常是先建模后假设。 如何建立数学模型

19. CMCM—96A(最优捕鱼策略) 有的队假设产卵的过程服从正态分布，这样的假设是可以的，但大大增加了问题的难度。在不失生物学的真实的前提下，使模型的分析尽量简单的假设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵。 如何建立数学模型

20. CMCM—05B(DVD租赁) （1）需求分布 一般用样本均值代替总体均值,即认为DVD1的需求为20000张，这样得到第一问结果为6250。“要点”为二项分布B (n,p), 近似为正态分布N(np,npq), 取置信度为0.95，这样得到第一问结果为6315。 如何建立数学模型

21. （2）还碟时间分布 最简单的一种是假定60％的会员月中还，40％的会员月底还，在此假定下，每张碟的每月使用次数为1.6次。还有其他种种假定。 （3）“95％的会员看到他想看的DVD”的理解。 如何建立数学模型

22. 结果的正确性 模型的正确性。 计算的正确性（方法、结果）。 例一：99年“自动化车床”，在计算刀具 发生故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算错误。 例二：98年“投资组合策略”，使用均方风险函数，违背题义要求。 如何建立数学模型

23. 例三：98年“投资组合策略”，约束条件错。 例四：96年“最优捕鱼策略”，死亡率意义理解错。“自然死亡率为0.8（1/年）”被理解为每年平均死亡80%，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比，是瞬时死亡率概念。 例五：95年“天车与冶炼炉调度”，对题目要求的理解有误，导致全军覆没，教训惨重。“各台天车的作业率尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过70%）”。 如何建立数学模型

24. 建模的创造性 创造性是灵魂，文章要有闪光点。 好创意、好想法应当既在人意料之外，又在人 意料之中。 新颖性（独特性）与合理性皆备。 如何建立数学模型

25. 误区之一：数学用得越高深，越有创造性。 解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的方法。 误区之二：创造性主要体现在建模与求解上。 创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可以有多种表现形式。 如何建立数学模型

26. 误区之三：好创意来自于灵感，可遇不可求。 好创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻程度。 如何建立数学模型

27. 例一：94年B题：锁具装箱。 ① 将锁具按照槽高之和H为奇数与偶数分为两大类，每一类装49箱。最优性证明。 ② 随机销售方式与序贯销售方式 。 ③ 抱怨程度的度量。 如何建立数学模型

28. 例二：95年MCM A题：螺旋线交点问题。 关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿迭代法有很高的精度，但速度较慢；线性近似法速度很快，可以满足实时要求，但精度稍差。 “Rabbit , Turtle and Hunter” 抓住了问题的主要方面——速度。 创造性体现在对问题的理解程度上，进而体现在建模思路上。 如何建立数学模型

29. 例三：96年MCM B题：评委阅卷问题。 复旦大学——气势恢弘 中国科大——小巧玲珑 闪光点在哪里？ 如何建立数学模型

30. 附录：锁 具 装 箱（94—CMCM—B） 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从1，2，3，4，5，6这六个数中任取一数（单位略）。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若两者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情形下，不可能互开。 如何建立数学模型

31. 原来，销售部门在一批锁具中随意地取60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：原来，销售部门在一批锁具中随意地取60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题： • 每一批锁具有多少个，装多少箱。 • 为销售部门提出一种方案，包括如何装箱（仍是60个锁具一箱），如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。 • 采取你提出的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。 • 按照原来的装箱办法，如何定量的衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 如何建立数学模型

32. 表达的清晰性 好的内容+好的表达=好的文章 (1) 替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。 如何建立数学模型

33. (2) 写好摘要。建模主要方法、主要结果，模型主要优点。 (3) 专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的思路，反过来促进建模。 (4) 适当采用图表，增加可读性。 如何建立数学模型

34. 五、竞赛中应注意的其他几个问题 • 时间分配 • 合作与分工 • 目的性与灵活性 • 信息的快速获取与取舍能力 如何建立数学模型

35. 谢 谢 ！ 如何建立数学模型