第五章根轨迹

第五章根轨迹 第1小节基本概念

根轨迹就是当系统中某一参数发生变化时，系统闭环特征根在S平面上描绘的曲线。 强调： 1. 一个参数发生变化； 2. 闭环特征根的曲线。一、根轨迹的定义

【例5.1】已知单位反馈系统的开环对象 判断当开环增益（开环放大倍数）K从0逐渐增大到时，闭环系统特征根的变化趋势。解：1.求闭环特征根：

2. K从0逐渐增大到时：

【例5.2】已知单位反馈系统的开环对象 判断当开环增益（开环放大倍数）K从0逐渐增大到时，闭环系统特征根的变化趋势。解：1.求闭环特征根：

① ② ③

0 0.1 0.25 4 8 ∞ 2. 根据K的取值范围确定特征根的位置： -2.5-j1.935 -2 -2.11 -2.5 -2.5-j2.78 -2.5-j ∞ -3 -2.89 -2.5 -2.5+j1.935 -2.5+j2.78 -2.5-j ∞

K→∞ K=0.25 K=0 K=0 K→∞

二、根轨迹的开环传递函数 • 若可变参数不是开环增益，则需从绘制根轨迹的基础——闭环特征方程出发，调整绘制根轨迹的开环传递函数。 1. 闭环传递函数：

2. 特征方程： 令，新闭环特征方程：

3. 根轨迹的可变参数调整为K 根轨迹的开环传递函数调整为：闭环特征方程为：

三、根轨迹的增益 对根轨迹开环传递函数采用零极点的形式：开环零点：开环极点

若根轨迹开环传递函数是时间常数形式，需转换：若根轨迹开环传递函数是时间常数形式，需转换：其中，。根轨迹增益

第五章根轨迹 第2小节根轨迹的基本条件

一、闭环特征根与特征方程的关系 由闭环特征方程得： • 系统的所有特征根都将满足这个关系式； • 该等式的解都是特征根； • S平面中的任意一点代入关系式，如果等式成立，则它将是根轨迹上的点； • 点可能是实数，也可能是复数，可以表示为复数形式：

二、复数的基本概念—向量及其计算 1.向量：从坐标原点指向S平面中一点的射线。实虚部形式：极坐标形式：实数-1表示为：虚部实部模相角

2. 一阶多项式的向量表示： S平面中的任一点常数，假设极坐标形式：

3. 采用极坐标形式有利于多个一阶多项式 的乘法计算

多项式乘除的模=各多项式模相乘除 多项式相乘除的相角=各多项式相角的加减

三、根轨迹的基本条件 幅值条件：

相角条件：

【例5.3】已知单位反馈系统的开环对象 判断当开环增益（开环放大倍数）K从0逐渐增大到时，根轨迹的幅值条件和相角条件。解：1.相角条件：在根轨迹上取一点代入相角条件：

2.幅值条件： 将代入幅值条件：

此时，根轨迹增益为： 3. 结论：参数K取为4.25时，闭环特征根位于

根轨迹的基本条件归纳如下： 根轨迹上的点符合相角条件，且符合相角条件的点一定在根轨迹上。这是根轨迹的充要条件。参数K的每一个值，按幅值条件在n条根轨迹上各有一个点与之对应，n是特征根的个数，这n个点是闭环特征根。根轨迹上每一个点对应参数K的一个确定值。

第五章根轨迹 第3小节绘制根轨迹的基本法则(1)

一、根轨迹的连续性和对称性 • 特征方程的根是随参数的连续变化而连续变化的。 • 有理特征多项式的根要么是实数，要么是成对出现的共轭复数。一个实数一对共轭复数 • 根轨迹是一组对称于实轴的有向曲线。

二、根轨迹的起点与终点 观察特征方程：根轨迹的起点从K=0开始，特征方程简化为：起点对应的特征根即为时的根，是开环对象的极点。

根轨迹的终点对应 K→，特征方程简化为： 终点对应的特征根即为时的根，是开环对象的零点。

三、根轨迹的数量 • 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 • 开环极点的个数n通常大于开环零点的个数m，因此根轨迹的数量等于开环极点的个数n。 • 开环零点不足的个数n-m则以无穷远处作为开环零点。

四、实轴上的根轨迹段落 • 位于实轴上的开环零极点将实轴分为多个段落 • 由相角条件可以证明，实轴段落中，凡右边具有奇数个零极点的部分是根轨迹。

小窍门：如果给实轴上的零极点按从右到 左的方向排序：那么实轴上的根轨迹段落是：

【例5.4】已知二阶系统的开环传递函数， 请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上的段落。解：1.根轨迹的起点，对应开环极点，n=2：

2. 根轨迹的终点，对应开环零点，m=1： 3. 根轨迹在实轴上的段落：

已知二阶系统的开环传递函数， 请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上的段落。解：1.根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：

2. 根轨迹的终点，对应开环零点，m=1： 3. 根轨迹在实轴上的段落：

第五章根轨迹 第4小节绘制根轨迹的基本法则(2)

一、根轨迹的渐近线 • 渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个开环零点时，需要n-m条渐近线。 • 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 • 渐近线在实轴上有一个共同的交点：所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n - m

渐近线的发散角度： 小窍门：

【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数， 请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上的段落、根轨迹的渐近线。解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：

2. 根轨迹的终点，对应开环零点，m=0： 不存在 3. 根轨迹在实轴上的段落：

4. 渐近线在实轴上的交点： 系统有3个开环极点，0个开环零点时，需要 3条渐近线渐近线的发散角度： 5. 做部分根轨迹图：

二、根轨迹的分离点与会合点 • 两条根轨迹在S平面上某点相遇然后又分开的点，称为根轨迹的分离点或会合点； • 1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 • 如a点，对应根轨迹增益局部最大值； • 2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 • 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值

分离点/会合点的计算： 1.利用系统特征方程： 2.对K做一次求导后，求si：若si位于实轴上的根轨迹段内，则是分离点或会合点。否则，不用考虑，舍去。

3. 对K做二次求导，代入si，判断： 若，则si是会合点；小窍门： si位于两个开环零点之间的根轨迹段内时，是会合点若，则si是分离点。 si位于两个开环极点之间的根轨迹段内时，是分离点

4. 分离角/会合角的计算： ：分离/会合的根轨迹数量时，

【例5.6】计算开环传递函数 的根轨迹在实轴上的分离点解：1.由系统特征方程： 2.求，即

得：不在实轴上的根轨迹段内，舍去。在实轴上的根轨迹段内，继续判断；位于两开环极点间，是分离点。

3. 求对应的根轨迹增益： 将代入K式： 4. 分离角： 5. 根轨迹：

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