直観主義フレーム上の古典論理

直観主義フレーム上の古典論理 東京工業大学数理計算科学専攻岩波克 iwanami.s.aa@m.titech.ac.jp

目次 • 直観主義フレーム • 直観主義フレーム上の古典論理 • 補足・今後の課題

直観主義論理 • 古典論理から排中律を抜いた論理 • A∨￢A、￢￢A→A、（A→B)∨（B→A)は真にならないことがある • プログラムの型理論と相性がいい • カリー・ハワード対応 • クリプキモデルやハイティング代数の意味論が知られる

論理式 • 命題論理を考える • 命題変数：可算個p,q,r,…… • A,Bが論理式なら、A∧B、A∨B、￢A、A→Bも論理式

クリプキフレーム • 反射推移性を持つ順序集合（W,R）

付値 • 直観主義のクリプキモデルは、クリプキフレーム（W,R）と付値Vの組（W,R,V） • 各命題変数に対して、真となる世界の集合を遺伝性 w∈V(p)⇒(∀w’ wRw’⇒w’∈V(p)) を持つように定める。

遺伝性

付値の拡張（∧、∨） • V(A∧B)＝V（A）∩V（B） • V(A∨B)＝V（A）∪V（B）

付値の拡張（→） • V（A→B）＝｛a∈W;∀b aRb⇒(b∈V(A)⇒b∈V(B))｝

付値の拡張（￢） • V(￢A)＝｛a∈Ｗ;∀b aRb⇒b∉V（A）｝

付値の拡張 • V(A∧B)＝V（A）∩V（B） • V(A∨B)＝V（A）∪V（B） • V（A→B）＝｛a∈Ｗ;∀b aRb⇒（b∈V（A）⇒b∈V（B）））｝ • V（￢A）＝｛a∈Ｗ;∀b aRb⇒b∉V（A）｝ • このように定義すると、論理式に関する遺伝性 w∈V(A)⇒∀w’ (wRw’⇒w’∈V(A)) が成り立つ。 • (∀(W,R,V) V(A)=W)⇔論理式Aは直観主義で真と定義する。

モデルの解釈の一例 • クリプキモデル(W,R,V)の世界w∈Wで論理式Aが真ということを、「wで得ている知識（＝命題変数）でAが判明する」と解釈する。 • ￢Aは、「これ以後どのように知識が増えても、Aとは分からない」と解釈する。 • 「時間が経てば知識は増える」というのが、命題変数の遺伝性。「知識が増えれば分かることも増えていく」というのが論理式の遺伝性。 • 特に、一点からなるクリプキモデル（＝古典論理のモデル）は知識が増えないモデルになる。

p∨￢p

直観主義フレーム上の古典論理 • では、直観主義クリプキフレームの立場から、古典論理を見るとどのように見えるだろうか？ • 直観主義フレームと命題変数に対する付値は同じにして、「 (∀(W,R,V) V(A)=W) ⇔Ａは古典論理で真」が成り立つようにＶの解釈を定めたい。

極大点を見る • 極大点では、これ以上知識が増えることはないので、古典論理のモデルと変わらない。 • よって、w∈Wの真偽を極大点（無限遠点）での真偽と一致するようにすれば、古典論理のモデルになる。 • 直観主義の付値Vを用いて、 V’(A)={a∈W;∀b aRb⇒∃c (bRc∧c∈V(A))} とすればよい。

V’(p∨￢p)=W V’(A)={a∈W;∀b aRb⇒∃c (bRc∧c∈V(A))}

V’の意味 • 極大元で成り立つ論理式の共通部分が全体で成り立つ。

V’の意味 • V’(A)=V(￢￢A)なので、「(∀(W,R,V) V’(A)=W)⇔Aが古典論理で真」は、グリベンコの定理「￢￢Aが直観主義で真⇔ Aが古典論理で真」を意味している。

直観主義フレーム上の古典論理２ • 次のように(W,R)上の付値V’’を定める。 • 命題変数については、Vと同様、遺伝性を持つように定める。 • 次のように論理式全体へ拡張する。 • V’’(A∧B)＝V’’(A)∩V’’(B) • V’’(￢A)＝{a∈W;∀b aRb⇒b∉V’’(A)} • V’’(A∨B)＝{a∈W;∀b aRb⇒(∃c bRc∧(c∈V’’(A)またはc∈V’’(B)))} • V’’（A→B）＝V’’(￢A∨B)

V’’(p∨￢p)=W

補題　V(A)⊂V’’(A)⊂V’(A) • 任意の、フレーム(W,R)と命題変数の割り当てVに対して、V(A)⊂V’’(A)⊂V’(A)が成り立つ。 • Aの構成に関する帰納法で示せる。 • V(B)⊂V’’(B)⊂V’(B)、V(C)⊂V’’(C)⊂V’(C)のとき、V’’(A)は以下の通り。

V’’は古典論理 • (∀(W,R,V) V’’(A)=W)⇔Aは古典論理で真を示す。 • ⇒は一点からなるクリプキモデルを考えれば成立。⇐を示す。Aが古典論理で真のとき、 • ∀(W,R,V) （V’’(A)=W ⇐V’(A)=W）を言えば良い。 • Aの構成に関する帰納法 • Aが変数のときは条件を満たすものはない。 • A=B∨C、￢Bのときは補題の証明より成立

A=B∧Cのとき ∀(W,R,V) V’(B∧C)=W ⇔ ∀(W,R,V) (V’(B)=WかつV’(C)=W) ⇔ ∀(W,R,V) (V’’(B)=WかつV’’(C)=W)(ＩＨより) ⇔ ∀(W,R,V) (V’’(B∧C)=W) 以上より示せた。

動機 • ∧と￢の断片では直観主義論理と古典論理が一致することが、このモデルを使うと一目で分かる。 • V゜(A∨B)＝{a∈W;∃b aRb∧(b∈V’’(A)またはb∈V’’(B))} では論理式の遺伝性が成り立たず、古典論理にならない。

ＭＰ • (W,R,V’’)では意味論よりMPが成り立つことがすぐには分からない。

今後の課題 • この性質を利用して面白い論理は作れないか？ • 例えば、 V’’’(A∨B)=V(A∨B) V’’’(A→B)=V’’(A→B) とすると、MPが成り立たないが、公理化できるか？（この例ではできない模様） • 他の論理への拡張（直観主義二階命題論理など）

直観主義フレーム上の古典論理

直観主義フレーム上の古典論理

Presentation Transcript