三次數學危機

1. 三次數學危機 梁子傑 教育統籌局　數學教育組

2. 三次數學危機 • 第一次數學危機：不可公度量的發現（公元前 500 年） • 第二次數學危機：微積分理論的基礎（18 世紀） • 第三次數學危機：集合論的基礎（20 世紀初）

3. 第一次數學危機 • 在公元前 500 年，古希臘數學家畢達哥拉斯和他的門徒創立了畢達哥拉斯學派。他們相信「萬物皆數」，並認為世上祇有整數和分數。 • 但門徒希伯索斯（Hippasus）卻由畢氏定理發現單位正方形的對角線長 2，而這個數不能用分數準確表示！ • 這個發現沖擊著畢氏學派的信念，因而引起學派成員的恐慌，甚至將希伯索斯推入大海之中，將他淹死！史稱「第一次數學危機」。

4. 有何根據？是否迷信？ 第一次數學危機 如何發現？如何證明？ • 在公元前 500 年，古希臘數學家畢達哥拉斯和他的門徒創立了畢達哥拉斯學派。他們相信「萬物皆數」，並認為世上祇有整數和分數。 • 但門徒希伯索斯（Hippasus）卻由畢氏定理發現單位正方形的對角線長 2，而這個數不能用分數準確表示！ • 這個發現沖擊著畢氏學派的信念，因而引起學派成員的恐慌，甚至將希伯索斯推入大海之中，將他淹死！史稱「第一次數學危機」。 有何大不了？動輒殺人？ 如何解決？

5. 畢達哥拉斯（Pythagoras） • 古希臘數學家，開創了「畢達哥拉斯學派」和證明了畢氏定理。 • 約公元前 560 年，生於薩摩斯島。 • 約公元前 480 年，卒於梅塔蓬圖姆。 • 精於哲學、數學、天文學、音樂理論。

6. 萬物皆數

7. 萬物皆數

8. 萬物皆數

9. 萬物皆數

10. 公度量 萬物皆數 輾轉丈量法

11. 因此 萬物皆數 即 a = mc，b = nc，其中 m、n都是整數。 a 即兩量之比皆為有理數。 b c

12. 輾轉丈量將會不停地做下去！ 希伯索斯的發現 a與 b之間找不到公度量！ 108 r1 b 36 r2 108 a 72 a r3 r1 36 r2 72 36 a r1 r2

13. 找不到公度量又如何？

14. 相似三角形的基礎理論 命題 在兩個三角形中，如果各角對應地相等，那麼夾等角的邊成比例。 證明 A 易知 DE // BC。 D E B C

15. 為甚麼？ 相似三角形的基礎理論 命題 在兩個三角形中，如果各角對應地相等，那麼夾等角的邊成比例。 證明 A 易知 DE // BC。 D E B C

16. 相似三角形的基礎理論 D A E F 即 DBC和 ABC為同底等高的三角形。 G B C EBCD的面積 = EBA-ADG + GBC

17. 相似三角形的基礎理論 D A E F G B C EBCD的面積 = EBA-ADG + GBC = DCF-ADG + GBC

18. 相似三角形的基礎理論 D A E F G B C EBCD的面積 = EBA-ADG + GBC = DCF-ADG + GBC = ABCF的面積

19. 相似三角形的基礎理論 D A E F G B C EBCD的面積 = EBA-ADG + GBC = DCF-ADG + GBC = ABCF的面積 即 DBC的面積 = ABC的面積 同底等高三角形，其面積相等。

20. 故此， 相似三角形的基礎理論 命題 在兩個三角形中，如果它們等高，那麼它們底長之比等於它們面積之比。 A 證明 設 ABC和 ACD為兩個等高三角形。 若公度量存在，可設 BC = mc，CD = nc。 亦由此得 ABC的面積 = mK，ACD 的面積 = nK。 B C D

21. 故此， 相似三角形的基礎理論 證明無效！ 出現問題！ 命題 在兩個三角形中，如果它們等高，那麼它們底長之比等於它們面積之比。 A 證明 設 ABC和 ACD為兩個等高三角形。 若公度量存在，可設 BC = mc，CD = nc。 亦由此得 ABC的面積 = mK，ACD 的面積 = nK。 但公度量不是必然存在的！ B C D

22. 危機解決 • 歐多克索斯（Eudoxus of Cnidus；408 B.C.  355 B.C.） • 證實了錐體體積等於其同底等高柱體體積的三分之一。 • 提出了一個創新的比例理論，成功地化解了不可公度量所帶來的危機。

23. 我們將　　　和　　　與有理數　　　比較， 若他們同時小於、等於或大於　　　， 則定義他們相等，即　　　　　。 危機解決 定義　設 a、b、c、d為 4 個量。對於任何整數 m 和 n，若 na < mb 可推出 nc < md、na = mb 可推出 nc = md 及 na > mb 可推出 nc > md，則稱 a、b 與 c、d 有相同的比，記作 a : b = c : d。

24. 若 nBC < m CD，則 n ABC < m ACD 若 nBC = m CD，則 n ABC = m ACD 若 nBC > m CD，則 n ABC > m ACD 即  A 證明 命題 在兩個三角形中，如果它們等高，那麼它們底長之比等於它們面積之比。 E B C D F 設 BE = nBC，CD = mDF。 則 AEC = nABC，ACF = mACD。 若 EC < CF，則 AEC < ACF 若 EC = CF，則 AEC = ACF 若 EC > CF，則 AEC > ACF 根據定義，BC : CD = ABC的面積 : ACD的面積。

25. 無理數的定義 • 歐多克索斯對比的新定義不單成功地證明了一個當時難以證明的命題，化解了一場數學危機，而且亦為後世數學家，提供了一個定義無理數的方法。 • 戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind；1831  1916） • 德國數學家 • 1872 年，利用了歐多克索斯的方法，提出無理數的定義。 • 現在稱之為「戴德金分割」（Dedekind cuts）。

26. 第二次數學危機 微積分理論的基礎

27. 在 17 世紀促使微積分產生的問題 • 已知物體移動距離和時間的函數公式，求該物體在任意時刻的速度和加速度。反之，由加速度的函數公式求速度和距離。 • 已知曲線的方程，求該曲線切線的方程。 • 求函數的最大值和最小值。 • 求曲線長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等。

28. 微積分的創立 • 英國數學家、物理學家、天文學家、自然哲學家 • 1665  1666 年間，做出流數法、萬有引力和光學分析等三大發明。 • 牛頓（Isaac Newton；1643  1727） • 萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz；1646  1716） • 德國數學家、自然科學家、哲學家 • 1675 年，首先發表與微積分有關的論著。

29.   一個與速度有關的問題 問題 假如某人參加 100 米短跑，比賽開始後 t秒，他跑了 x米，其中 x = t2。問比賽開始後第 2 秒，他的速度是多少？ 解答一 當 t = 0 時，x = 0。 當 t = 10 時，x = 102 = 100。 ？ 即速度為每秒 10 米。

30.  一個與速度有關的問題 問題 假如某人參加 100 米短跑，比賽開始後 t秒，他跑了 x米，其中 x = t2。問比賽開始後第 2 秒，他的速度是多少？ 解答二 當 t = 2 時，x = 2 2 = 4。 當 t = 3 時，x = 3 2 = 9。 不滿意！ 即速度為每秒 5 米。

31.  一個與速度有關的問題 問題 假如某人參加 100 米短跑，比賽開始後 t秒，他跑了 x米，其中 x = t2。問比賽開始後第 2 秒，他的速度是多少？ 解答三 當 t = 2 時，x = 2 2 = 4。 當 t = 2.5 時，x = 2.5 2 = 6.25。 不滿意！ 即速度為每秒 4.5 米。

32.  一個與速度有關的問題 問題 假如某人參加 100 米短跑，比賽開始後 t秒，他跑了 x米，其中 x = t2。問比賽開始後第 2 秒，他的速度是多少？ 解答四 當 t = 2 時，x = 2 2 = 4。 當 t = 2 + t時，x = (2 + t) 2 = 4 + 4(t) + (t)2。 由於 t為非常小的數值，可以忽略，因此速度為每秒 4 米。 

33. 非常小是否等於 0 ？ 若 0，如何解釋 0  0？ 若非 0，為何可以忽略？ 一個與速度有關的問題 問題 假如某人參加 100 米短跑，比賽開始後 t秒，他跑了 x米，其中 x = t2。問比賽開始後第 2 秒，他的速度是多少？ 解答四 當 t = 2 時，x = 2 2 = 4。 當 t = 2 + t時，x = (2 + t) 2 = 4 + 4(t) + (t)2。  由於 t為非常小的數值，可以忽略，因此速度為每秒 4 米。

34. 對微積分法的抨擊 • 伯克利（George Berkeley；1685  1753） • 英國人 • 年青時曾經研習數學，後轉攻神學。 • 1734 年獲委任為主教。 • 1734 年，發表了《分析學者，或致一個不信教的數學家；其中審查現代分析的對象、原則與推斷是否比之宗教的神秘與信條，構思更為清楚，或推理更為明顯》

35. 對微積分法的抨擊 「甚麼是流數？它是瞬間增加的速度。但這個瞬間增加又是甚麼？它們既不是有限量，又不是無窮小，它們甚麼也不是。我們可否稱它們為消失了的量的鬼魂？」 「 這是依靠雙重的錯誤而得到了雖然不科學，但卻是正確的結果。」

36. 微積分的嚴密化 波爾查諾 Bolzano 1781  1848 柯西 Cauchy 1789  1857 阿貝爾 Abel 1802  1829 黎曼 Riemann 1826  1866

37. 一個與速度有關的問題 問題 假如某人參加 100 米短跑，比賽開始後 t秒，他跑了 x米，其中 x = t2。問比賽開始後第 2 秒，他的速度是多少？ 解答四 當 t = 2 時，x = 2 2 = 4。 當 t = 2 + t時，x = (2 + t) 2 = 4 + 4(t) + (t)2。  由於 t為非常小的數值，可以忽略，因此速度為每秒 4 米。

38. 引入符號 • 上式是甚麼意思呢？ • 甚麼是「越來越接近」呢？ • 當 x = 2 時，分式明明就是「0  0」，為何說它等於 4？ • 我們憑甚麼相信，當 x越來越接近 2 時，上述分式會接近 4 而並非其他數值呢？ 或者，

39. 魏爾斯特拉斯的定義 ？ 「越來越接近」的想法是因人而異的。 可通過一個間接的方法來定義極限。 魏爾斯特拉斯（Weierstrass；1815  1897 ）

40. 魏爾斯特拉斯的定義 祇要計算出來的結果介乎於 3.95 和 4.05 之間，我就認為答案是 4 了。 但除 x = 2 外，當 1.95 < x < 2.05 時， 我認為上式的極限是 4。

41. 魏爾斯特拉斯的定義 我認為計算的結果要介乎於 3.999 和 4.001 之間，我才相信答案是 4 ！ 但除 x = 2 外，當 1.999 < x < 2.001 時， 我認為上式的極限是 4。

42. 對於任何一個 ，總能夠找到一個 ， 除 x = 2 外，當 2  < x < 2 + 時， 魏爾斯特拉斯的定義 換言之，上式的意思就是說：

43. 定義 對於任何一個  > 0，總能夠找到一個  > 0，除 x = x0外，當 x0  < x < x0+ 時，恆有 L  < f (x) < L+ ，那麼稱 f (x) 在 x0的極限為 L，並記之為 魏爾斯特拉斯的定義 

44. 第二次數學危機的結束 • 由於科學技術上的需要，因此 17 世紀的數學家發明了微積分。 • 可惜他們對「無窮小」、「極限」、「函數」、「無窮級數求和」等概念認識不足，因此引發另一次數學危機。 • 經過兩個世紀數學家的努力，終於找到解決方法，並為微積分學說注入嚴謹的數學思想，引入諸如對極限的定義、函數的「連續性」、「可導性」、「可積性」、無窮級數的「收歛性」等概念，再一次成功地化解了一場危機。

45. 第三次數學危機 集合論的基礎

46. 新思維的創造者 • 康托（Georg Cantor；1845  1918） • 出生於俄國的聖彼得堡，猶太人後裔。 • 11 歲時遷入德國，1867 年獲柏林大學的博士學位，1872 年升為教授。 • 1874 年開始引進他的無窮大概念，從而創造出「超窮集合論」。

47. 甚麼是集合？ • 康托說：「把若干確定的、有區別的（具體的或抽象的）事物合起來，看作一個整體，就稱為一個『集合』，其中各事物則稱為該集合的『元素』。」 • 例如：{  ,  ,  ,  ,  ,  } 是一個集合。 • 又例如：N = { 1 , 2 , 3 , …… } 是一個集合，即所有自然數的一個集合。

48. 甚麼是集合？ • 以「」表示「屬於」。例如：3 N，4 N。注意：「3」是元素，「N」是集合。 • 以「」表示「空集」，即是沒有任何元素的一個集合。 • 我們可以以下方式來表示一個集合： M = { x N : x 是3 的倍數}

49. 甚麼是子集？ • 從一個集合分拆出來的集合叫「子集」。 • 例如：A = { a , b , c }，B = { a , c }，則 B 是 A 的子集。記之為「B  A」。 • 注意：空集是任何一個集合的子集，即對於任何一個集合 A，A。

50. 甚麼是冪集？ • A 的冪集(A) 是 A 所有子集的集合。 • 例如：若 A = { a , b }，則 (A) = {  , { a } , { b } , { a , b } }。 • 又例如：若 A = { a , b , c }， 則 (A) = {  , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } }。 • 康托曾經證明：對於任何集合 A，冪集 (A) 的元素一定比 A 的元素為多。