Injectivité. Surjectivité . Bijectivité .

1. Injectivité. Surjectivité. Bijectivité. Ioana Stănescu Classe: I-ère A Professeur coordinateur : Cristina Anton Date: 7 Novembre 2011

2. Table de matières • Lexique • Application dans la vie quotidienne • Fonctions injectives: définitions, propriétés, méthodes de résolution de problèmes • Fonctions surjectives: définitions, propriétés • Fonctions bijectives : définitions, propriétés, l’inverse • Exercices

3. Lexique • Application • Injectivité • Surjectivité • Bijectivité • Inverse

4. Application dans la vie quotidienne Dans la vie quotidienne on fait appel à l’injectivité , surjectivité ou bijectivité sans que l’on sache. Quand on a à distribuer x photocopies à y copains on a une injection si on donne à chacun au plus une photocopie(x≤y); on a une surjection si on donne au moins une photocopie à chacun(x≥y) et une bijection si et seulement si on donne à chacun une seule photocopie(x=y). Ou une application formelle: dans le cas d’un hôtel avec y chambres qui veut que toutes soient occupées on a une surjection quand le nombre de touristes(x) et au moins égal au nombre de chambres et toutes sont occupées(x≥y) , une bijection si x=y et il y a un touriste dans chaque chambre et on a une injection si le nombre de touristes qui occupe une chambre est au plus égal à 1(x≤y),mais, bien sûr, ce dernier cas n’est pas favorable quand il reste des chambre libres.

5. Fonctions injectives f : XY x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 y5 y6 Le terme injection a été créé par S. MacLane en 1950 tandis que l'adjectif injectif apparaît deux ans plus tard, en 1952, dans les foundations of algebraictopology de Ellenberg et Steenrod. • Définitions: Une application, f : X → Y est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y, dans ce cas on dit aussi que tout élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f) . De manière équivalente, f est dite injective si pour tous x et x' dans X, f(x) = f(x' ) implique x = x' . Relations formelles équivalentes aux définitions: Soit f : X → Y , f est injective si ,l’équation f(x)=y a au plus une solution x dans X

6. Du point de vue géométrique , une fonction f: R → R est injective si son graphe coupe toute droite horizontale en au plus un point.

7. Propriétés • Si f et g sont toutes les deux injectives, alors gof est injective. • Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant d'éléments que X, au sens des cardinaux. • Pour toute application f : X → Y tout sous-ensemble A de X est l'image réciproque de son image directe : f −1(f(A)) = A • Pour toute application f : X → Y pour tous sous-ensembles A et B de X, on a f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

8. Méthodes de résolution de problèmes: On utilise la relation pour démontrer qu’une fonction n’est pas injective en donnant un contre-exemple. On utilise la relation pour démontrer qu’une fonction est injective .

9. Fonctions surjectives f : XY x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 • Définitions: Une fonction f : X → Y  est surjective si et seulement si tout élément de son ensemble d’arrivé Y a au moins un antécédent , c’est-à-dire est image d’au moins un élément de son ensemble de départ, X;ou l’image de f(x) se confond avec l’ensemble d’arrivée. Du point de vue géométrique , une fonction surjective f: R → R a une graphe qui intercepte toute droite horizontale Relations formelles équivalentes aux définitions: Soit f : X → Y  et Imf=f(x), f est surjective si: Imf=Y , l’équation f(x)=y a au moins une solution x dans X

10. Exemple: Soit f: R →[-1,∞[ f(x)=x^2-1 f est surjective

11. Propriétés • Si une surjection est aussi une injection , alors on l’appelle une bijection. • Si est surjective, alors g est surjective • Si f et g sont surjectives ,alors est surjective

12. Fonctions bijectives • Définitions: Une application est bijective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée  a un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément de son ensemble de départ, ou encore si elle est injective et surjective. Relations formelles équivalentes aux définitions: Soit f : X → Y , l’équation f(x)=y a une seule solution La fonction est injective et surjective f : XY x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

13. Propriétés • Si est bijective, alors g est surjective et f est injective • Si f et g sont toutes deux bijectives alors est aussi injective • Le nombre des bijections entre deux ensembles de cardinal n est n! • Si f est bijective ,alors f est inversable • Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , une fonction bijective  a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point.

14. L’inverse d’une fonction On note l’inverse de f(x) Pour déterminer l’inverse d’une fonction on résoudre l’équation f(x)=y ayant comme inconnue x . Une fonction est inversable si et seulement si elle est bijective. Si f:XY , alors fˉ¹:YX L'origine est un point de symétrie de la représentation graphique de la fonction inverse, donc l’axe des bissectrices est l’axe de symétrie pour la fonction inverse.

15. Soit f: R → R, Elle est bijective et a comme inverse

16. Après toute la théorie il est venu le temps de mettre en pratique les connaissances aquisses 1)Soit f : [1;+∞[ [0;+∞[ tel que . f est-elle bijective ?Si oui trouvez l’inverse. Indication: montrez que f est injective et surjective 2) Soit f: R → [2,∞[ tel que . Démontrer si f est bijective. Indication: faites le graphique 3) Soit f: R → R tel que . f est-elle injective ou surjective? 4) Soit f: R → R+tel que . Démontrer que la fonction n’est pas injective mais elle est surjective. 5) En ayant comme modèle les 2 applications pratiques donnez d’autres exemples.

17. Bibliographie et sitographie • Sorina Danaila, «  Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon», ed.Polirom, 2009 • Le cahier de mathématiques de II-ème (X-ème) • http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf