离散数学

离散数学 武夷学院数学与计算机系教授张廷枋 25

第八章树 8.3有向树和根树二、二叉树 1. 二叉树定义定义： m=2 时，m 叉树称为二叉树；二叉有序树的每一个分支点至多有两棵子树，分别称为的左子树和右子树。（注意：以为树根的子树包含，而的左、右子树不包含。）例：

第八章树 8.3有向树和根树二、二叉树 2. 任何一棵有序根树，甚至有序森林都可以变换成一棵对应的二叉树。把一棵有序树变成二叉树，其方法如下：（1）从树根的顶点开始逐层讨论，每一层都按照从左到右顺序；（2）保留父亲和左儿子的连线，取消父亲和其他儿子的连线，兄弟之间用从左到右的有向边连接；

第八章树 8.3有向树和根树二、二叉树把一棵有序树变成二叉树，其方法如下：（3）处于指定顶点下面一层的左顶点作为该顶点的左儿子，与同层的右顶点作为的右儿子。（换种说法：若指定顶点是前一顶点的左儿子，在二叉树中作为指定顶点的左儿子；若指定顶点与前一顶点为兄弟，在二叉树中作为指定顶点的右儿子，弟弟恒为右儿子。）例：

第八章树 8.3有向树和根树二、二叉树用二叉树表示有序树的方法可以推广到有序森林中去，其方法如下：（1）先将森林中的每一棵有序根树表示成二叉树；（2）再用一条有向边把各支的根按从左到右的顺序连接起来，逐次将右边的二叉树作为左边的二叉树的根的右子树。

第八章树 8.3有向树和根树二、二叉树 3. 内部通路长度和外部通路长度定义：在根树中，由树根到各分支点的路长称为内部通路长，由树根到树叶的路长称为外部通路长。若是根树的任意顶点，树根到的路径长度称为顶点的距离，它是内部通路长或外部通路长，记为。树中最大的顶点途径长度称为根树的树高。

第八章树 8.3有向树和根树二、二叉树 4. 定理：在一个分支点数目为的完全二叉树中，设表示各分支点途径长度之和，表示各树叶的途径长度之和，则证明：（定理中的和又常分别叫做树的内部通路长度之和与外部通路长度之和。）

第八章树 8.3有向树和根树三、最优二叉树 1. 定义：设 T 是具有 t 片树叶的二叉树，各树叶分别带权，则称 T 为赋权二叉树。在赋权二叉树中，设各树叶的权满足，设各树叶的路长分别为称为二叉树的权，记为。

第八章树 8.3有向树和根树三、最优二叉树 1. 定义：在所有以为树叶的权而构造的具有 t 片树叶的二叉树中，权具有最小值的二叉树，称为带权的最优二叉树。

第八章树 8.3有向树和根树三、最优二叉树 2. 定理（ Huffman 算法）在带权为的最优二叉树中，必有 T 满足：（1）权为是兄弟；（2）设的父亲是，若从 T 中删去，并把改成带权为的叶之后的树记为，则是带权为的最优二叉树。

第八章树 8.3有向树和根树 2. （ Huffman 算法）根据这一定理，要构造带 t 个权的最优二叉树，可以归结为构造带 t-1 个权的最优二叉树，设这 t-1 个权的不减序列为，则构造上述 t-1 个权的最优树又可以归结为构造带 t-2 个权的最优树，如此等等。例：

第八章树 8.3有向树和根树四、二叉树的应用----前缀码 1. 定义：在由 0 , 1 序列构成的合集中，若没有一个序列是另一个序列的前缀，则称这个集合为前缀码。例：

第八章树 8.3有向树和根树四、二叉树的应用----前缀码前缀码与二叉树的编码有着密切的关系。 2. 定理：任意一个二叉树，可以产生唯一的前缀码。证明：例：

第八章树 8.3有向树和根树四、二叉树的应用----前缀码前缀码与二叉树的编码有着密切的关系。 3. 定理：任意一个前缀码，都对应一棵二叉树。证明：例：

第八章树 8.3有向树和根树五、二叉树的遍历 • 对于一棵根树的每一个顶点都访问一次且仅一次称为遍历或周游一棵树。 • 对于二叉树主要有以下三种遍历方式：（1）先根次序遍历（ DLR ）法：访问根；按先根次序遍历根的左子树；按先根次序遍历根的右子树。

第八章树 8.3有向树和根树五、二叉树的遍历 • 对于二叉树主要有以下三种遍历方式：（2）中根次序遍历（ LDR ）法：按中根次序遍历根的左子树；访问根；按中根次序遍历根的右子树。（3）后根次序遍历（ LRD ）法：按后根次序遍历根的左子树；按后根次序遍历根的右子树；访问根。例：

第七章图论 作业：P219-P220 , 习题八 8.31、8.33、8.34、 8.35（1）（2）（3）、 8.36 预习：第9章 §9.1

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