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第 6 章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

第 6 章 无限脉冲响应数字滤波器的设计. 6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计 IIR 数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法. 6.1 数字滤波器的基本概念. 1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应 (IIR) 滤波器和有限脉冲响应 (FIR) 滤波器。它们的系统函数分别为：.

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第 6 章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

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  1. 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 • 6.1 数字滤波器的基本概念 • 6.2 模拟滤波器的设计 • 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 • 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 • 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 • 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法

  2. 6.1 数字滤波器的基本概念 • 1. 数字滤波器的分类 • 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：

  3. 图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性

  4. 2数字滤波器的技术要求 • 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示： 图6.1.2 低通滤波器的技术要求

  5. 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为： 如将|H(ej0)|归一化为1，则：

  6. 3. 数字滤波器设计方法概述 • IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。

  7. 6.2 模拟滤波器的设计 • 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

  8. 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 • 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：

  9. 如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为 • 以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止频率，因

  10. 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此

  11. 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 • 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示： 图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系

  12. 将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数： 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：

  13. 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为 设N=3，极点有6个，它们分别为 取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：

  14. 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为 • 式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。 • 令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为

  15. (6.2.12) • 式中，pk为归一化极点，用下式表示： • 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式. (6.2.14) 将Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入 (6.2.4)式中，得到： (6.2.15)

  16. 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到： ,则N由下式表示： 令 (6.2.16)

  17. 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： (6.2.17) 由(6.2.15)式得到： (6.2.18)

  18. 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： • (1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 • (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 • (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。

  19. 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

  20. 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 • 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： • (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 • (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

  21. 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： (6.3.1) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏 变换得到ha(t)： (6.3.2)

  22. (6.3.3) • 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： (6.3.4) 设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，

  23. 对 进行拉氏变换，得到: 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:

  24. 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： • 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下： 将s=jΩ代入上式，得 由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:

  25. 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设 按照(6.3.6)式，得到: 因此得到:

  26. 那么 • σ=0,r=1 • σ<0,r<1 • σ>0,r>1 • 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成 为任意整数

  27. 图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系

  28. 图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象

  29. 假设 没有频率混叠现象，即满足 • 按照(6.3.9)式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到： • 令

  30. 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为 极点为 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为

  31. 极点为 (6.3.13) • 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 (6.3.14)

  32. 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 • 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的H(z)。 • 解 首先将Ha(s)写成部分分式： 极点为 那么H(z)的极点为

  33. 按照(6.3.4)式，并经过整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则 转换时，也可直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点 s1,2=σ1±jΩ1,则

  34. 再按照(6.3.14)式，H(z)为

  35. 图6.3.3 例6.3.1的幅度特性

  36. 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 • 正切变换实现频率压缩： 式中T仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有

  37. 再通过 转换到z平面上，得到：

  38. 下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。 图6.4.1 双线性变换法的映射关系

  39. (6.4.5) • 令s=jΩ,z=e jω，并代入(6.4.3)式中，有 图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系

  40. 图6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

  41. 设

  42. 表6.4.1 系数关系表

  43. 例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 • 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函 数H1(z)为

  44. 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图6.4.5(a),(b)所示。

  45. 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 • (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。 • (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为

  46. 数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性

  47. (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 • (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 • 例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。

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