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探 究 性 学 习

初三数学. 探 究 性 学 习. 存在性问题. 一、课题导入 : 如图 , 已知直线 y= － 4/3 x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点， D （ 0 ， 2 ）是 y 轴上一点，问在直线 AB 上是否存在一点 C ，使得 以 B 、 D 、 C 为顶点的三角形与以 A 、 B 、 O 为顶点的三角形相似？. y.

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Presentation Transcript

  1. 初三数学 探 究 性 学 习 存在性问题

  2. 一、课题导入: 如图,已知直线y=－4/3 x+4与x 轴、y 轴分别交于A、B两点， D（0，2）是y轴上一点，问在直线AB上是否存在一点C，使得 以B、D、C为顶点的三角形与以A、B、O为顶点的三角形相似？ y 分析理解:根据题意可先求出A 、B 两点的坐标；假设在直线AB上存在符合条件的C点，则有两种相似的可能，可根据题意分类讨论。（1）当△BDC∽ △BOA时，可推出DC∥OA，原后可推出C点坐标（2）当△BDC ∽ △BAO时，可根据题目条件求出C点坐标。 注意：如果求出的C点坐标在题目允许的 范围内，则说明假设成立，判断为存在,反之则判断为不存在。 B C2 H C1 D O x A

  3. 　．热点考向导引 存在性探究问题的一般思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件或挖掘出隐含条件，辅以方程思想等，进行正确的计算、推理，再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合．若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．

  4. 热点例题精讲 例题1: 已知关于x的方程k2x2+(2k－1)x+1=0 有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k值;如果不存在,请说明理由 解: (1) 根据题意得 △=(2k－1)2－4k2>0 解得k<1/4 ∵k2 ≠0，∴k ≠0 ∴当k<1/4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根 (2)不存在实数k值,使方程的两根互为相反数 假设存在实数k值,使方程的两根互为相反数,则x1+x2=－ 2k－１ =0 k2 解得k=1/2,由(1)知k<1/4且k ≠0 ∴不存在实数k值,使方程的两根互为相反数

  5. 热点例题精讲: 例题2: 如图已知直线y=－2x+12分别与y轴、x 轴交与A、B两点,点M在y轴上,以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D,连结MD (1).求证: △ AMD ∽△ AOB (2).如果⊙M的半径为 ,请求出点M的坐标,并写出以 为顶点,且过点M的抛物线的解析式 (3). 在(2)的条件下,试问在此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、M三点为顶点的三角形与 △AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。 y 分析与解答(1) 略 (2)直线y= -2x+12与x轴交点为B(6,0)与y轴 交点为(0,12) ∴OA=12,OB=6,AB= ∵ △AMD ∽△AOB ∴AM/AB=DM/OB ∴AM=10 ∴M(0,2) ∴根据题意可推导出所求的抛物线解析式 为y=－2x2－10x +2 A D M B x O

  6. y (3)由抛物线形状可判断,点P若存在,只能在 y轴左侧的抛物线上,且只有6种可能(如图2所 示) ∵ OA:OB=2:1 ∴P1A=P3M=2AM=20, P2A=P4M=1/2 AM=5 ∴P1(-20，12)、P2（-5，12）、P3（-20，2） P4（-5，2） 下面来求P6点的坐标 显然MP6=MD= 作P6H AM,H为垂足 由P6H2=MH·MA, 得MH=（ )2 /10=2 由P6H2=MH·AH，得P6H= = 4 ∴P6（－4，4），同理可得P5（－4，10） 经检验,只有P4、P5的坐标满足y=－2x2－10x +2 ∴在抛物线y=－2x2－10x＋2上存在 点P（－5,2)或P(－4,10),使得以P、A M三点为顶点的三角形与△ AOB 相似 12 A D M 2 B x O 6 (图1) ⊥ y P1 P2 A P5 D H P6 ∟ M P3 P4 x O (图2)

  7. .热点例题精讲 例题3: 设二次函数y=ax2+bx+c(a>0,b>0) 的图象经过(0,y1),(1,y2) 和(-1,y3)三点, 且满足y12=y22=y32=1. (1)求这个二次函数的解析式 (2)设这个二次函数的图象与x轴的两个 交点为A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,C为顶点,连 结AC、BC，动点P从Ａ点出发沿折线 ACB运动，求 △ABP的面积的最大值 (3)当点P在折线ACB上运动时，是否存 在点P使△APB的外接圆的圆心在x 轴上 ？请说明理由。 y D x O B A C

  8. 精典习题挑战: 1.已知二次函数y=x2-2(m－1)x－1－m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0<x2与y轴交于点C,且满足1/AO－１/OB=2/OC (1)求这个二次函数的解析式 (2)是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由。 2.已知关于x的方程x2－(p+q+1)x+p=0 (q≧0)的两个实数为x1、x2 且x1≦x2 (1)试用含x1 、x2的代数式表示 p、q (2)求证：x1 ≦ 1 ≦ x2 (3)若以x1,x2为坐标的点M(X1,X2)在△ABC的三条边上运动，且 △ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（0.5,1）、C（1，1） 问是否存在点M，使p+q=5/4，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

  9. 小结: 存在性问题一般是在假定存在的条件下来对问题展开分析探讨,根据得出的结论分析存在的可能性,如果讨论的结果在允许的范围内,则表示存在;反之则表示不存在. 希望同学们认真学习并掌握. 祝你成功

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