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带电粒子在有界磁场中运动问题

带电粒子在有界磁场中运动问题. 解带电粒子在有界磁场中的运动这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。 关键是找圆心、找半径和用对称 。 一、带电粒子在半无界磁场中的运动 例 1 、（ 1983 年高考试题）一个负离子， 质量为 m ，电量大小为 q ，以速率 V 垂直于 屏 S 经过小孔 O 射入存在着匀强磁场的真空 室中 ( 如图 1). 磁感应强度 B 的方向与离子的 运动方向垂直 , 并垂直于图 1 中纸面向里 . (1) 求离子进入磁场后到达屏 S 上时的位置与 O 点的距离 .

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  1. 带电粒子在有界磁场中运动问题 解带电粒子在有界磁场中的运动这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。关键是找圆心、找半径和用对称。 一、带电粒子在半无界磁场中的运动 例1、（1983年高考试题）一个负离子， 质量为m，电量大小为q，以速率V垂直于 屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空 室中(如图1).磁感应强度B的方向与离子的 运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是

  2. α V O/ O B θ P S 图2 带电粒子在半无界磁场中的运动 解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得： 解得 如图2所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r 所以 . (2)当离子到位置P时,圆心角(见图2)： 因为 ，所以

  3. M P L O A O, N 图3 二、带电粒子在圆形磁场中的运动 • 例2、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图3所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。

  4. M L O A O, θ N R θ/2 θ/2 图4 B P O// • 解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中， O＇P=(L+r)tanθ，而 所以求得R后就可以求出O‘P了，电子经过磁场的时间可用 t= ， 来求得。 得R= 由 ,

  5. 图7 三、带电粒子在环状磁场中的运动 • 例5、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图7所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算 • （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 • （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

  6. O r1 O2 图8 图9 由图中知 ，解得 • 解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图8所示。 由 得 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为 （2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9所示。 由图中知 由 得 所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度

  7. a S b d o c 图10 四、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动 • 如图10所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

  8. a S d b o c 图11 • 解析：如图11所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有 圆周， 由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过 所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;

  9. d L B B E O 图12 五、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 • 如图12所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求： • 中间磁场区域的宽度d;BBELdO图12 • 带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.

  10. O3 O O2 O1 图13 600 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： • 解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： 由以上两式，可得 可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图13所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为 2）在电场中 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间 则粒子第一次回到O点的所用时间为

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