第三章数值积分

近似计算 思路利用插值多项式则积分易算。 在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn b，做 f 的n次插值多项式，即得到误差 Ak 由决定，与无关。第三章数值积分插值型积分公式 §1 Newton-Cotes 公式节点 f (x)

定义　　　若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk]=0 对任意k n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1]  0 对某个n+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为n。例：对于[a, b]上1次插值，有考察其代数精度。 f(x) f(b) f(a) a b 梯形公式

解：逐次检查公式是否精确成立 = 代入 P0 = 1：代入 P1 = x ： = 代数精度 = 1 代入 P2 = x2 ： 

注：形如的求积公式至少有 n次代数精度 该公式为插值型（即：）  当节点等距分布时： Cotes系数令注：Cotes 系数仅取决于 n和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间[a, b]均无关。 

n = 1: n = 2: n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3, n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5, Trapezoidal Rule 代数精度 = 1 /* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */ Simpson’s Rule n为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1次代数精度。代数精度 = 3

在每个上用梯形公式： /*中值定理*/ §2 复合求积高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值  分段低次合成的 Newton-Cotes复合求积公式。  复合梯形公式： Oh come on, you don’t seriously consider h=(ba)/2 acceptable, do you? Don’t you forget the oscillatory nature of high- degree polynomials! Haven’t we had enough formulae? What’s up now? Why can’t you simply refine the partition if you have to be so picky? Uh-oh =Tn

4 4 4 4 4  复化 Simpson 公式： =Sn

注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，这时，有

定义　　　若一个积分公式的误差满足且C  0，则称该公式是 p阶收敛的。运算量基本相同例：计算其中 ~ ~ ~ 其中  收敛速度与误差估计：解： = 3.138988494 = 3.141592502

例如：要求，如何判断 n = ？ 上例中若要求，则注意到区间再次对分时 Q: 给定精度 ，如何取 n ? ? 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代是否停止。上例中2k 409  k = 9时，T512 = 3.14159202 S4 = 3.141592502

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 2 2 1 0 3 1 1 0 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) T T T T T T T T T T 0 0 0 1 1 0 2 2 1 3 考察例：计算由来计算 I效果是否好些？ T1 = T2 = S1 =  T4 = S2 = C1 = T8 = S4 = C2 = R1 = §3 龙贝格积分已知对于 = 106须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202 Romberg 序列 = 3.141592502 = S4 一般有： <  ? Romberg 算法： <  ? <  ? … … … … … …

利用低阶公式产生高精度的结果。 现将h 对分，得： ( ) ( ) ( ) 2 3 - = a + a + a + T ( ) I ... h h h h - 2 T ( ) T ( h ) 1 3 h 0 1 2 3 2 2 2 2 - = - a - a - 2 3 0 0 2 I h h ... 2 3 - 2 1 2 4 即： 理查德森外推法 i 与 h无关设对于某一 h 0，有公式 T0(h)近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h)  I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + … Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？

构造具有2n+1次代数精度的求积公式 将节点 x0 … xn以及系数 A0 … An都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。例：求的 2 点 Gauss 公式。解：设，应有 3次代数精度。 1   + x f ( x ) dx A f ( x ) A f ( x ) 0 0 1 1 0 §4 高斯型积分代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组，不易求解。

满足  Gauss 公式的余项： /* 设P为f的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？插值多项式的余项 A：Hermite 多项式！

第三章 数值积分