直线与平面平行的判定及性质

直线与平面平行的判定及性质 惠安三中黄冬梅

直线和平面相交或平行的情况统称为 直线在平面外．符号表示：a 直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：直线与平面平行直线在平面内直线与平面相交

直线和平面平行 a 注明： a ∥ b 1、定理三个条件缺一不可。 2、简记：线线平行，则线面平行。 a ∥ b 3、定理告诉我们：要证线面平行，需在平面内找一条直线，使线线平行。判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号表示:

练习平面平面平面平面平面平面 1．如图，长方体中，（1）与AB平行的平面是；（2）与平行的平面是；（3）与AD平行的平面是；

定理的应用 A 例1. 如图，空间四边形ABCD中， E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD. F E D B C 分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？

定理的应用 A 例1. 如图，空间四边形ABCD中， E、F分别是 AB，AD的中点. 求证：EF∥平面BCD. F E D B 证明：连结BD. ∵AE=EB,AF=FD ∴EF∥BD（三角形中位线性质）

变式1: 1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若，则EF 与平面BCD的位置关系是_____________. EF//平面BCD A F E D B C

变式2: A F 2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.(04年天津高考) E D O B C 分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

变式2: A F 2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF. E D O B 证明:连结OF, C ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF,

D C 1 1 A 1 B 1 E C D A B 定理的应用如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC. 分析：要证BD1//平面AEC即要在平面AEC内找一条直线与BD1平行.根据已知条件应该怎样考虑辅助线? O

D C 1 1 A 1 B 1 E C D A B 定理的应用例: 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC. 证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB, 又∵DE=ED1, ∴BD1//EO. O

B′ C′ A′ D′ M C B D A 定理的应用例在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M在CD′上，试判断直线B′M与平面A′BD的位置关系，并说明理由. · N

（2）判定定理：（线线平行线面平行）； 平面问题空间问题归纳小结，理清知识体系 1.判定直线与平面平行的方法：（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； 2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3．数学思想方法：转化的思想

直线与平面平行 β a α b 线∥面线∥线性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．图形符号: 作用：判定直线与直线平行的重要依据。关键：寻找平面与平面的交线。上述定理反映了直线和平面平行的一个性质，其内容可简述为“线面平行，则线线平行”.

已知：，， 求证：．证明：．直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

．Ｆ D1 C1 Ｐ A1 B1 C Ｅ D A B 定理的应用例．一个长方体如图所示．要经过平面A1C1内一点Ｐ和棱ＢＣ将木块锯开，应该怎样画线？

练习:在图中所示的一块木料中，棱 平行于面．（1）要经过面内的一点和棱将木料据开，应怎样画线？（2）所画的线和面是什么位置关系？定理的应用

l∥m n∥l , n ∥m n l m 定理的应用例.求证:如果三个平面两两相交于三条直线, 并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.

思考： 如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢？

定理的应用 例2:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.

说明： 线//线线//面转化是立体几何的一种重要的思想方法

练习:判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例.练习:判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例. (1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( ) （2）如果直线a、b和平面α满足a ∥ α, b ∥ α,那么a ∥ b ;( ) (3)如果直线a、b和平面α满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( )

例3： 定理的应用

证明:

证法2 （略写）利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质 ∽ ∽

D C A B F E 课堂练习已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点 Q 求证：PQ∥平面BCE。 P 思路：在平面BCE内找PQ平行线。

P N D A M B C 课堂练习如图.四棱锥底面ABCD为平行四边形M,N分别是AB,PC的中点求证MN//面PAD H 思路：在平面PAD内找MN平行线。

平面与平面平行的判定及性质

位置关系 公共点符号表示图形表示两个平面的位置关系两平面平行两平面相交有一条公共直线没有公共点 α∩β=a α∥β

A 两个平面平行的判定判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：

两个平面平行的判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．已知：a,b α,a∩b=P,a,b∥β. 求证： α∥β. 证明：假设α∩β＝c.∵a∥β, a α, ∴a∥c.同理b∥c.于是在平面内过点P有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立. ∴ α∥β.

判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．练习 × × × × ×

思考:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥β,b∥β”，可用什么条件替代？由此可得什么推论？思考:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥β,b∥β”，可用什么条件替代？由此可得什么推论？ a b α β 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.

【例1】如图，在长方体 中，求证：平面平面 . D' C' B' A' 又 C 平面 D 是平行四边形 A B 平面平面同理：平面平面平面证明：线面平行面面平行线线平行

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。 D1 F C1 N M E B1 A1 D C A B

D Q C P A B R G D C F A B E 练习：在正方体AC中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。

两个平面平行的性质 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．图形语言：符号语言：

已知： 求证：与没有公共点与也没有公共点性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．证明：

思考:若 ，那么在平面β内经过点P且与l平行的直线存在吗？有几条？ α l α γ P β β 思考:若平面α、β都与平面γ平行，则平面α与平面β的位置关系如何？

定理的应用 例:如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的相对侧面分别平行，过它的一个顶点A的一个平面截它的四个侧面得四边形AMFN.证明：四边形AMFN是平行四边形. D1 C1 A1 B1 F N C D M A B

定理的应用 例 :求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知:α∥β,AB和DC为夹在α、β间的平行线段。求证： AB＝DC

定理的应用 证明：连接AD、BC ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC 又因直线AD、BC分别是平面AC与平面a、β的交线， ∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝DC

直线与平面 平 行的判定及性质