المحاضرة الثانية عشر

1. المحاضرة الثانية عشر الباب التاسع: المرونةElasticity

2. 1- مقدمة • " المرونة هى خاصية من خواص المادة، التى بها يستطيع الجسم أن يسترجع التغيير الحادث في شكله أو حجمه ويعود إلى حالته الأصلية إذا ما زال المؤثر الذى أحدث فيها هذا التغيير" • وترجع خاصية المرونه فى الأجسام إلى القوى البينيه الكبيره بين الذرات المكونه لها.

3. 2. الإجهاد Stress • عندما يكون الجسم واقعا تحت تأثير قوة تغير فى شكله يقال أن للجسم أنه مجهد أو أن إجهادا حدث للجسم، ويعرف الإجهاد بأنه القوة المؤثره على وحدة المساحات والتى تسببت فى إحداث تشويه أو إنبعاج للجسم. أى أن • ووحدات الإجهاد هى الداين/سم2 .

4. ل ل l F Dl Dl l F Tensile stress Compressive stress إجهاد طولى Tensile Stress • وذلك حين تؤثر القوه على أبعاد جزيئات الجسم. مثل وضع سلك مشدود تحت تأثير قوتين متساويتين ومتضادتين وتعملان على إستطالة السلك أو ضغطه شكل (3). ويعرف الإجهاد الطولى بأنه القوة (بالداين) التى تؤثر على وحدة المساحات من المقطع فى الجسم المرن العمودى على إ تجاه الانفعال الطولى الحادث. • فإذا فرضنا أن القوة المؤثرة هى(F) داين، وأن مساحة المقطع المستعرض من الجسم المرن فى اتجاه العمودى على اتجاه القوة هى (A) سم2، فإن الإجهاد الطولى فى هذه الحالة يساوى ( F / A ) داين / سم2.

5. V DV إجهاد حجمى Bulk Stress • حيث تعمل القوى على تغير حجم الجسم. ويعرف بأنه القوة الكلية، التى تؤثر على وحدة المساحات من السطح الكلى للجسم، عندما يكون معرضا لقوة ضغط كلية منتظمة شكل (4). فإذا فرضنا أن القوة الكلية التى تحدث " إنضغاطا " فى الجسم المرن تساوى F داين وأن المساحة الكلية للجسم التى تؤثر فيها بانتظام هى A سم2، فإن الإجهاد الحجمى فى هذه الحالة يساوى: • F/A dyne /cm2 • ويمكن أن نحقق هذه الحالة عمليا، إذا غمرنا كرة من المطاط مثلا فى سائل على عمق كبير، حيث تؤثر على سطح الكرة فى جميع الاتجاهات قوة تسمى بالضغط الهيدروستاتيكى للسائل. ويسمى أحيانا الإجهاد الحجمى بالإجهاد الانضغاطى.

6. Dx F L F إجهاد القص Shearing Stress • وذلك فى حالة التأثير على الجسم بقوه مماسيه تعمل على سطحه وبالتالى تعمل على تغير شكله شكل (5). ويعرف بأنه القوة السطحية (بالداين) التى تؤثر على وحدة المساحات من الطرف الخالص لجسم مرن مثبت من السطح المقابل بحيث ينشأ فيه ازدواج يحدث إزاحة نسبية فى طبقاته الموازية للسطح، الذى تؤثر فيه القوة السطحية الموازية له. • فإذا فرضنا فى المثال الخاص بالمكعب المذكور، أن طول ضلعه L سم وأن القوة السطحية التى تؤثر على سطحه الخالص العلوى تساوى F فإن: • إجهاد القص = داين/سم2

7. الإنفعال Strain • عندما تؤثر قوه على جسم فإنه يتولد فى ذرات الجسم رد فعل لهذه القوة، كما ان قوة رد الفعل تولد إنفعالات داخل الجسم ويقاس الإنفعال الحادث للجسم بالتغير الطارئ على وحده البعد الذى يطرأ عليه التغير سواء كان هذا البعد طولا أو حجما أو زاويه. • وواضح من هذا أن الإنفعال هو التغير النسبى الحادث. وحيث أنه نسبه فلا وحدات له "لأن النسبه لا تميز". • و ينقسم الإنفعال إلى ثلاثة أنواع

8. إنفعال طولى Tensile Strain • ويساوى النسبه بين التغير فى الطول DL إلى الطول الأصلى L شكل (3).

9. الإنفعال الحجمى Bulk Strain • ويعرف بأنه النسبه بين التغير فى الحجم إلى الحجم الأصلى شكل (4) أى أن

10. DL F L q F إنفعال القص Shearing Strain • ويحدث فى حالة تغير شكل الجسم دون أبعاده كما يحدث مثلا عند لى سلك بقوه قص. ويحدث هذا الإنفعال نتيجة إنزلاق طبقات الماده فوق بعضها البعض. ويقاس إنفعال القص بالزاويه qالتى يدورها أى خط مستقيم على سطح الجسم نتيجة لتأثير القوه كما فى شكل (5). وبالتالى لو فرضنا أن مكعبا من المطاط المرن، طول ضلعه L سم قد ثبت سطحه السفلى تثبيتا محكما فى سطح المنضدة، ثم أثرنا على سطحه الأعلى بقوة سطحية أفقية F داين، فإنه سوف ينشأ عند سطحه الأسفل رد فعل مقداره F داين أيضا كما فى شكل (6).

11. 4. قانون هوك Hook’s Law • "يتناسب الإنفعال الحادث فى المادة المرنة، تناسبا طرديا مع الإجهاد الذى يؤثر فيها، بشرط ألا تتعدى المادة حدود مرونتها". • وبهذا يمكن التعبير عن قانون هوك رياضيا، كما يلى: • الإجهاد= ثابت ×الإنفعال • وتتوقف قيمة هذا الثابت على طبيعة المادة، ويسمى معامل مرونة المادة وهو من المميزات الفيزيائية للمادة. ' روبرت هوك'، عالم كيمياء، وفيزياء، إنجليزي وتعرف على الخلايا النباتية لأول مرة، وعمل عدة رسومات لتركيب الحشرات، واخترع أيضا لولب الأتزان في الساعات وشارك في علم البصريات وعلم الجراحة وفن العمارة والموسيقى وعلوم الفلك والهندسة ولقد ولد في جزيرة وايت في عام 1635 وهو ابن لوزير إنجليزي وتتلمذ على يد رسام وأصبح مساعد لروبرت بويل، وانجح مانشر له كتاب تحت المجهر وتوفي عام 1703.

12. 5. معاملات المرونة • وحيث أن لدينا ثلاثة أنواع من الإجهاد تقابلها ثلاثة أنواع من الانفعال، وأن معامل المرونة هو عبارة عن النسبة بين الإجهاد والانفعال المقابل له، فينبغى إذن أن يكون هناك أيضا ثلاث معاملات للمرونة وهى:

13. معامل يونج Young’s Modulus • ويعرف معامل مرونة يونج بأنه النسبة بين الإجهاد الطولى الذى يؤثر فى المادة المرنة، وبين الانفعال الطولى الحادث فيه. • ويعبر عن ذلك رياضيا كالآتى: • معامل يونج =الإجهاد الطولىالإنفعال الطولىوبالرموز يمكن كتابة هذه العلاقة كالآتى: • وذلك بفرض أن: • معامل ينج للمرونة =Y داين /سم 2 • مساحة المقطع المستعرض للسلك = Aسم 2 • مقدار الاستطالة =  L سم • الطول الأصلى للسلك = L سم

14. معامل المرونة الحجمى Bulk Modulus • ويعرف معامل المرونة الحجمية بأنه النسبة بين الإجهاد الحجمى الذى يؤثر فى المادة المرنة، وبين الانفعال الحجمى الناتج. ويمكن أن نضع هذا التعريف فى الصورة الرياضية التالية: • معامل المرونة الحجمى =الإجهاد الحجمىالإنفعال الحجمى • ويعبر عنه رياضيا كما يلى: • وذلك بفرض أن: • معامل المرونة الحجمية للمادة K و وحدتها dyne/cm2  • القوة الكلية التى تؤثر على السطح المعرض من المادة F dyne • المساحة الكلية للجسم المعرض للإجهاد A cm2 • التغير فى الحجم الناتج c m3∆V • الحجم الأصلي للجسم المرن V cm3 • و يعرف معامل الإنضغاط بانه مقلوب معامل المرونه الحجمى.

15. معامل الصلابة Shear Modulus or Modulus of Rigidity • يعرف معامل الصلابة بأنه النسبه بين إجهاد القص الذى يؤثر على المادة المرنة، وبين انفعال القص الناتج. • ويمكن التعبير عن هذا التعريف كما يأتى: • معامل الصلابة =إجهاد القصإنفعال القص • وفى نفس الوقت نستطيع ان نعبر عنه بالرموز، كما يلى: • وذلك بفرض أن: • معامل الصلابة للمادة = N dyne / cm2 • القوة السطحية المؤثرة على السطح الخالص F dyne • مساحة المقطع المستعرض الموازى للقوة 2cmA • زاوية الانحراف الحادثة أو انفعال القص بالزوايا نصف القطرية  • ملحوظة: هذه العلاقة لا تكون صحيحة، إلا إذا كانت المادة المرنة متجانسة

16. نسبة بواسون Poisson’s Ratio • " وتعرف نسبة بواسون لمادة سلك معين، بأنها نسبة الانفعال العرضى الحادث فيه، إلى الانفعال الطولى، إذا أثر على السلك إجهاد طولى. ويمكن أن نضع هذا التعريف فى الصورة الرمزية الآتية: • حيث: • نسبة بواسون لمادة السلك = P • التقلص الحادث فى قطر السلك = r • الطول الأصلى لقطر السلك = r • الاستطالة الحادثة فى طول السلك = L • الطول الأصلى للسلك = L سيميون بواسون (نطق فرنسي: [simeɔ̃ dəni pwasɔ̃] ولد في الواحد والعشرين من يونيو عام 1781 وتوفي في الخامس و العشرين من أبريل عام 1840. هو عالم رياضيات وفيزيائي فرنسي.

17. 7. طاقة الإنفعال Strain Energy • عند إجهاد أى جسم مرن تختزن به كميه من الطاقه ممكن إستخدامها إذا رفع الإجهاد عنه. وتحسب الطاقه المختزنه فى جسم مرن أثناء إنفعاله من العلاقه • الطاقه المختزنه لوحدة الحجوم = 0.5 × الإجهاد × الإنفعال

18. مثال (1): • سلك من النحاس فى وضع رأسى طوله 120 سم و قطره 0.82 مم مثبت من طرفه العلوى و معلق فى نهاية طرفه الأخر ثقل قدره 5.3 كيلوجرام. • أوجد قيمة: • الإجهاد المؤثر على السلك • الإستطاله الحادثه فى طول السلك • الإنفعال الناتج فى جسم السلك • بمعلومية أن معامل يونج لمادة السلك = 1.2 × 10 12داين/سم2 وعجلة الجاذبيه الأرضيه 980 سم/ث2.

19. مثال(2): • قضيب من السلك طوله 5 سم و مساحة مقطعه 0.12 سم2 . أثر على طرفيه بقوة ضاغطه حتى تقلص طوله بنسبة 3% من الطول الأصلى. • أوجد قيمة: • الإجهاد الضاعط • القوة المؤثره على كل من طرفى القضيب. • علما بأن معامل يونج لمادة القضيب = 2×1012 داين/سم2.

20. مثال (3): • وضعت قطعه من النحاس عرضها 3 سم و طولها 4 سم وارتفاعها 4 سم داخل اسطوانه من الصلب مملوءة بالزيت. فإذا ازداد ضغط الزيت من 1 ضغط جوى الى 101 ضغط جوى . أوجد: • الإجهاد • الإنفعال • التغيرفى حجم قطعة النحاس. بمعلوميه أن معامل المرونه الحجمى للنحاس يساوى 1.4×10 12 داين/سم2.

21. مثال (4): • أثرت قوه مماسيه قدرها 400 داين على السطح العلوى لمستطيل من الصلب ارتفاعه 5 سم و مساحة سطحه العلوى 15 سم2 . فإذا علم أن قاعدة المستطيل غير قابله للحركه أوجد: • إجهاد القص • انفعال القص • الازاحه الناتجه فى اتجاه القوه

22. مثال (5): • سلك من الرصاص فى وضع راسى طوله 100 سم و نصف قطره 2.5 مم. مثبت من طرفه العلوى و علق ثقل فى طرفه السفلى فأدى الى استطاله بمقدار 0.5 مم و اصبح نصف قطره 2.4995 مم. أوجد نسبة بواسون.

23. مثال (6): • اوجد كثافة الماء فى قاع محيط على عمق 5 كيلومتر من السطح. علما بأن معامل الانضغاط يساوى 5×10-11 سم2/داين.