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dizionari. alberi bilanciati. dizionari. ADT che supportano le seguenti operazioni membership anche detta search insert delete o remove le liste e i BST sono dizionari. dizionari/2.

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Presentation Transcript

  1. dizionari alberi bilanciati

  2. dizionari • ADT che supportano le seguenti operazioni • membership • anche detta search • insert • delete • o remove • le liste e i BST sono dizionari ASD2002 - Alberi bilanciati

  3. dizionari/2 • tutte le implementazioni finora considerate hanno almeno un’operazione di costo lineare w.c.t. (worst case time, tempo nel caso peggiore) • in molti casi un costo lineare è giudicato inaccettabile • strutture più efficienti? • alberi bilanciati • tavole hash ASD2002 - Alberi bilanciati

  4. introduzione al bilanciamento • nozione intuitiva di bilanciamento • tutti i rami di un albero hanno approssimativamente la stessa lunghezza • ciascun nodo interno ha “molti” figli • caso ideale per un albero k-ario • ciascun nodo ha 0 o k figli • la lunghezza di due rami qualsiasi differisce di al più una unità ASD2002 - Alberi bilanciati

  5. un albero binario perfettamente bilanciato di n nodi ha altezza 28 32 -1 foglia + 1 nodo interno +2 foglie bilanciamento perfetto 34 21 63 16 30 43 72 6 18 37 52 • se ogni nodo ha 0 o 2 figli nf = ni +1 • nf = # foglie • ni = # nodi interni • n = nf + ni • le foglie sono circa il 50% dei nodi ASD2002 - Alberi bilanciati

  6. bilanciamento perfetto/2 • facilmente generalizzabile ad alberi di arità k • costo di ricerca/inserimento/eliminazione O(log n) • ripetuti inserimenti/eliminazioni possono distruggere il bilanciamento • degrado delle prestazioni ASD2002 - Alberi bilanciati

  7. bilanciamento in altezza • un albero è bilanciato in altezza se le altezze dei sottoalberi sinistro e destro di ogni nodo differiscono di al più un’unità • gli alberi bilanciati in altezza sono detti alberi AVL • da Adel’son-Vel’skii & Landis, primi proponenti ASD2002 - Alberi bilanciati

  8. fattore di bilanciamento (FDB): altezza sottoalbero dx – altezza sottoalbero sx +1 -1 0 fattore di bilanciamento 34 21 63 16 30 43 72 28 6 18 28 32 37 52 78 3 29 57 in un albero bilanciato in altezza |FDB|  1, per ogni nodo ASD2002 - Alberi bilanciati

  9. alberi AVL? ASD2002 - Alberi bilanciati

  10. 1 2 4 7 12 alberi di Fibonacci • alberi AVL col minimo numero di nodi (fissata l’altezza) ASD2002 - Alberi bilanciati

  11. AVLi +2 AVLi AVLi +1 alberi di Fibonacci/2 • alberi di Fibonacci • alberi bilanciati di altezza i col minimo numero di nodi • Relazioni • AVLi +2 = AVLi + AVLi +1 + 1 • Fi +2 = Fi + Fi +1 • AVLi = Fi +2 – 1 ASD2002 - Alberi bilanciati

  12. alberi di Fibonacci/3 • un albero di Fibonacci ha tutti i fattori di bilanciamento dei nodi interni pari a ± 1 • è l’albero bilanciato più vicino alla condizione di non bilanciamento • un albero di Fibonacci con n nodi ha altezza < 1.44 lg(n +2) – 0.328 • dimostrato da Adel’son-Vel’skii & Landis •  un AVL di n nodi ha altezza (lg n) ASD2002 - Alberi bilanciati

  13. inserimento in AVL • inserire nuovo nodo come in un BST “classico” • il nuovo nodo diviene una foglia • ricalcolare i fattori di bilanciamento che sono mutati in seguito all’inserimento • solo nel ramo interessato all’inserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso l’alto • se nel ramo appare un fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre ribilanciare • tramite “rotazioni” ASD2002 - Alberi bilanciati

  14. rotazioni negli AVL casi possibili • DD: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio destro (del nodo che si sbilancia) • SD: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio destro (del nodo che si sbilancia) • DS: inserimento nel sottoalbero destro di un figlio sinistro (del nodo che si sbilancia) • SS: inserimento nel sottoalbero sinistro di un figlio sinistro (del nodo che si sbilancia) ASD2002 - Alberi bilanciati

  15. rotazione semplice (caso DD) • gli antenati di P non sono interessati all’inserimento perché in seguito alla rotazione recuperano il loro fattore di bilanciamento precedente ASD2002 - Alberi bilanciati

  16. P P P P +1 +2 +2 +2 Q Q Q R 0 -1 -1 +2 h h h h +1 0 Q h h h h h-1 h+1 h-1 h h R h 0 P -1 0 Q h-1 h h h rotazione doppia (caso SD) • gli antenati di P non sono interessati all’inserimento ASD2002 - Alberi bilanciati

  17. rappresentazione nodo class AvlNode { Comparable element; AvlNode left; AvlNode right; int height; AvlNode(Comparable el) { this(el, null, null); } AvlNode(Comparable el, AvlNode lt,AvlNode rt) { element = el; left = lt; right = rt; height = 0; } } ASD2002 - Alberi bilanciati

  18. algoritmo inserimento /1 AvlNode insert(Comparable x, AvlNode t) { if(t == null) t = new AvlNode(x, null, null); else if(x.compareTo(t.element) < 0) { t.left = insert(x, t.left); if(height(t.left) - height(t.right) == 2) if(x.compareTo(t.left.element) < 0) t = rotateWithLeftChild(t); // SS else t = doubleWithLeftChild(t); // DS } else … ASD2002 - Alberi bilanciati

  19. algoritmo inserimento /2 … else if(x.compareTo(t.element) > 0) { t.right = insert(x, t.right); if(height(t.right) - height(t.left) == 2) if(x.compareTo(t.right.element) > 0) t = rotateWithRightChild(t); // DD else t = doubleWithRightChild(t); // SD } else ; // Duplicate; do nothing t.height=max(height(t.left),height(t.right))+1; return t; } restituisce la nuova radice ASD2002 - Alberi bilanciati

  20. rotazione semplice (SS) AvlNode rotateWithLeftChild(AvlNode k2) { AvlNode k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max(height(k2.left), height(k2.right)) + 1; k1.height = max(height(k1.left), k2.height ) + 1; return k1; } ASD2002 - Alberi bilanciati

  21. rotazione doppia (SD) AvlNode doubleWithRightChild(AvlNode k1){ k1.right=rotateWithLeftChild(k1.right); return rotateWithRightChild(k1); } ASD2002 - Alberi bilanciati

  22. inserimento negli AVL/costo • passo 1: proporzionale all’altezza dell’albero (lg n) • passo 2: proporzionale all’altezza dell’albero (lg n) • passo 3: O(lg n) in totale: (lg n) ASD2002 - Alberi bilanciati

  23. cancellazione negli AVL • cancellare nodo come in un BST “classico” • ricalcolare i fattori di bilanciamento che sono mutati in seguito alla cancellazione • solo nel ramo interessato all’inserimento (gli altri fattori non possono mutare), dal basso verso l’alto • per ogni nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 occorre operare una rotazione semplice o doppia • O(lg n) rotazioni nel caso peggiore ASD2002 - Alberi bilanciati

  24. rotazione semplice • eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P • il figlio destro ha FDB +1; a), b) e c) • il figlio destro ha FDB 0; d), e) ed f) ASD2002 - Alberi bilanciati

  25. rotazione doppia • eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P • FDB(Q) = –1 e FDB(R)= –1; g), h) ed i) • rotazione R-Q (P resta a +2, R e Q vanno a +1) e rotazione P-R ASD2002 - Alberi bilanciati

  26. rotazione doppia/2 • eliminazione foglia da sottoalbero sinistro di P • FDB(Q) = -1, FDB(R)=+1, j), k) ed l) • rotazione R-Q (P resta a +2, R va a +2 e Q va a 0) e rotazione P-R ASD2002 - Alberi bilanciati

  27. cancellazione negli AVL/costo • nel caso peggiore occorre effettuare rotazioni (semplici o doppie) lungo tutto il ramo • passo 1: proporzionale all’altezza dell’albero (lg n) • passo 2: proporzionale all’altezza dell’albero (lg n) • passo 3: (lg n) · (1) in totale: (lg n) ASD2002 - Alberi bilanciati

  28. cancellazione negli AVL/esempio animazione tratta dal sito Web http://www.seanet.com/users/arsen/avltree.html ASD2002 - Alberi bilanciati

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