§ 3.2 波动叠加与光的干涉

1. 3. 光的干涉与相干性 § 3.2 波动叠加与光的干涉

2. 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 主要内容 1. 波动的独立性、叠加性及相干性 2. 光的相干条件 3. 双光束干涉及干涉条件 4. 两束平面波的干涉 5. 多光束干涉及干涉条件 6. 获得相干光波的方法

3. 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 (1) 独立性 几列波在空间相遇时，只要各自的扰动不十分强烈（强度较小），且所处介质具有线性响应特性，则各波可以保持其原有的传播特性，即频率、振幅、振动方向等不变，并在离开相遇区后仍按各自原来的行进方向独立地前进，彼此无影响。 (2) 叠加性 当两列（或多列）波在同一空间传播时，相遇的区域内各点将同时参与每列波在该点引起的扰动。合扰动等于各列波单独在该点产生的扰动的线性叠加。

4. 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 说明： ① 所谓扰动，对机械波而言，即介质质点的振动；对光波（电磁波）而言，即电场强度矢量的变化 。 ② 所谓线性叠加，对标量波而言，叠加波的波函数（振动状态）等于参与叠加的各列波波函数（振动状态）的代数和；对矢量波而言，叠加波的波函数（振动状态）等于各列波波函数（振动状态）的矢量和。 ③ 线性叠加性质以独立传播性质为前提条件，是波动方程具有线性性质的必然结果。波动方程是否满足线性条件取决于波的扰动强度和所处介质的响应特性。波的扰动强度较小或该介质对扰动具有线性响应，则线性叠加性质及独立传播性质均成立；波的扰动强度较大或介质对扰动具有非线性响应，则两者将不再成立，随之出现叠加的非线性效应。

5. (3) 相干性 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 两列矢量波U1和U2在空间相遇点P的合振动矢量与强度： (3.2-1) (3.2-2) 两矢量波的振动方向正交时，U1(P, t)•U2*(P, t)=0， (3.2-3) 两列矢量波的振动方向平行时，U1(P, t)•U2*(P, t)= U1(P, t)U2*(P, t)， (3.2-4) 干涉的意义：

6. 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 假设：t时刻两列同频率的标量波（或同频率且振动方向平行的矢量波）在空间相遇点P的振动状态（波函数）： (3.2-5) 瞬时叠加波强度： (3.2-6) (3.2-7) (3.2-8) 结论：瞬时叠加强度不仅与两列波各自的强度大小有关，而且还与两列波在叠加点的相位差有关。相位差不同，叠加强度的大小不同。因此，相遇区的瞬时叠加强度将呈现出一种非均匀分布。当各列波的振幅及相位随时间变化时，叠加波的强度分布随之变化。

7. 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 说明： ① 瞬时强度与平均强度 若波动的振动频率很高，以至于所用探测器的响应时间t 远远大于波动的振动周期T，则探测器实际接收到的并非是叠加波的瞬时强度，而是在探测器响应时间内的平均强度： (3.2-9) 若振幅在探测器响应时间内恒定，只是其相位差随时间变化，则 (3.2-10) ② 相干叠加 若相位差d(P, t) 恒定，不随时间变化，则式（3.2-10）中的积分简化为 (3.2-11)

8. 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 叠加波平均强度： (3.2-12) 结论：当参与叠加的两列波在相遇处的相位差恒定时，该点的平均叠加波强度也确定不变。若相位差等于2p的整数倍，则叠加波强度取极大值；若相位差等于p的奇数倍，则叠加波强度取极小值。 相干叠加的特点：干涉项不为0，叠加波强度在空间呈现稳定的非均匀分布。 说明：对于两列同频率的定态波场，其相位差的空间分布不随时间变化，因此，只要两者在相遇区域存在相互平行的振动分量，则在相遇处的叠加波强度呈现稳定的空间非均匀分布。对于两列非定态波场，只要其相位差在观察时间内恒定，也会出现类似的叠加现象。

9. 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 ③ 非相干叠加 若两列波的初相位在观察时间内各自独立地变化，以致于其相位差随机变化，即在观察时间内多次几率均等地取0到2p之间的一切可能值，则有 (3.2-13) (3.2-14) 若两列波频率分别为w1和w2，则P点的瞬时叠加波强度和平均波强度： (3.2-15) (3.2-16) 当w2-w1≠0时，积分式等于0，表明此时两列波不相干。

10. 3. 光的干涉与相干性 3.2.1 波动的独立性、叠加性及相干性 3.2 波动叠加与光的干涉 非相干叠加的特点：叠加波强度等于各波的强度之和，在空间呈现稳定的均匀分布。 相干条件——波动在叠加时能够产生稳定干涉的必要条件： 同频率，存在相互平行的振动分量，在观察时间内相位差保持稳定。 说明：三个条件非同等地位。第一条是任何波动发生干涉的必要条件；第二条仅针对矢量波，标量波不存在；第三条涉及到干涉场的稳定性问题。稳定与否的标准取决于探测器的响应时间。对于宏观波源发出的波，相位差和干涉场的稳定性不成问题，第三条无需特别考虑；对于微观客体发射的光波，第三条扮演着最重要的角色。

11. 3.2.2 光的相干条件 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 (1) 光源的发光机制——经典电磁理论模型 • 构成发光体的大量原子或分子——电偶极子 • 发光过程——偶极子的电磁辐射过程 • 理想情况下，电偶极辐射波列在时间和空间上无限延伸——单色光波 • 实际情况中，一般光源发出的光波——有限长的电磁波列 • 每个波列的振幅和相位在其持续时间内保持不变或缓慢变化，前后各 段波列之间没有固定的相位关系——准单色光波 • 使参与叠加的准单色光波之间具有恒定的相位差的有效途径：让参与叠加的所有光波分量均来自同一波列 • 考虑到波列的有限长度，要满足此条件，所有参与叠加的光波分量必须来自同一光源，且光程差不能大于波列在空间的持续长度

12. (2) 干涉图样的衬比度 3. 光的干涉与相干性 3.2.2 光的相干条件 3.2 波动叠加与光的干涉 衬比度定义： (3.2-17) 双光束干涉图样的衬比度： (3.2-18) 光的相干条件：来自同一光源、同频率、振动方向平行、在观察时间内相位差恒定且振幅相差（仅对双光束而言）不大。

13. 3.2.3 双光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 干涉条件：叠加点干涉条纹图样强度取极大值或极小值的条件。 意义：相干条件只是叠加光波产生干涉的必要条件。在满足相干叠加条件情况下，干涉光场强度的分布规律由干涉条件决定。 (1) 光程差与相位差 两列给定频率的定态相干光波在P点相遇，复振幅： (3.2-19) 叠加光强度： (3.2-20) (3.2-21) 光程差与相位差的联系：

14. 3. 光的干涉与相干性 3.2.3 双光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 结论：光程差Δ(P)与相位差δ(P)决定了该点的叠加光强度。干涉图样实际上反映了相位差或光程差的等值线——干涉光场中等相位差或等光程差点的轨迹。考虑到相位函数的周期性，干涉图样应是一组亮暗相间的条纹图样——对多光束干涉同样适用。

15. (2) 干涉条件 3. 光的干涉与相干性 3.2.3 双光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 亮纹条件（干涉相长）： j=0, 1, 2, 3, ··· (3.2-22) 或 亮纹强度： (3.2-23) 暗纹条件（干涉相消）： j=0, 1, 2, 3 , ··· (3.2-24) 或 暗纹强度： (3.2-25) 衬比度：

16. 等强度双光束干涉图样的特点： 3. 光的干涉与相干性 3.2.3 双光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 (3.2-26) 结论：等强度双光束干涉图样强度分布随相位差呈现余弦平方变化。 d/p d/p 等强度双光束干涉 不等强度双光束干涉 图3.2-1 双光束干涉图样强度分布

17. 3.2.4 两束平面波的干涉 x k1 夹角平分线 a1 q1 q0 z q2 O p-a2 k2 条纹排列方向 图3.2-2 两束平面光波的干涉 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 两列等振幅相干平面光波波前复振幅分布： (3.2-27)

18. 3. 光的干涉与相干性 3.2.4 两束平面波的干涉 3.2 波动叠加与光的干涉 叠加光强度： (3.2-28) 结论：两列相干平面光波形成的干涉光场是一组平行于两光束夹角平分线且沿水平方向展开的等间隔余弦平方型光面，其在z=0的平面上的投影为一组沿x方向展开且平行于y轴的等间隔余弦平方型干涉条纹。 条纹间距： (3.2-29) 对称入射（q1=q2=q）时： (3.2-30) 夹角很小（q0→0 ）时： (3.2-31)

19. 3.2.5 多光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 (1) 等强度多光束干涉 N列振幅相等、初相位按等差级数递增的相干光波在空间P点的复振幅： (3.2-32) 合振动的复振幅和强度： (3.2-33) (3.2-34)

20. 3. 光的干涉与相干性 3.2.5 多光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 主极大值条件： (3.2-35) j=0, 1, 2, 3,… 主极大值强度： (3.2-36) 极小值条件： j'=1, 2, 3, ···，但j'≠N, 2N, 3N, ··· (3.2-37) 极小值强度： (3.2-38) 次极大值条件： j'=1, 2, 3, ···，但j'≠N, 2N, 3N, ··· (3.2-39) 次极大值强度： (3.2-40)

21. I/A2 pd 图3.2-3 等强度多光束干涉图样的强度分布 3. 光的干涉与相干性 3.2.5 多光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 结论：等强度多光束干涉图样由一组强度不同的亮暗条纹组成。相邻两个主极大值（亮条纹）之间存在N-1个极小值（暗条纹），和N-2个次极大值（亮条纹）。主极大值条纹集中了绝大部分光能量，随着叠加光波数目的增多，次极大值亮纹的强度减小，N→∞时，次极大值亮纹消失，干涉图样变为一组在较宽的暗纹背景下的锐细的等强度亮条纹。这种等强度多光束干涉现象可由平面波照射下的光栅衍射产生。

22. (2) 不等强度的多光束干涉 3. 光的干涉与相干性 3.2.5 多光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 N列振幅按等比级数递减、初相位按等差级数递增的相干光波复振幅： (3.2-41) 叠加光波在P点的复振幅和强度： (3.2-42) (3.2-43)

23. 3. 光的干涉与相干性 3.2.5 多光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 N→∞时： (3.2-44) 极大值条件： (3.2-45) d =±2jp，j=0, 1, 2, 3 , ··· 极大值强度： (3.2-46) 极小值条件： (3.2-47) d =±(2j+1)p，j=0, 1, 2, 3, ··· 极小值强度： (3.2-48) 干涉图样的衬比度： (3.2-49)

24. I/A2 g r d/p 图3.2-5 g与r的关系 图3.2-4 不等强度多光束干涉图样的强度分布 3. 光的干涉与相干性 3.2.5 多光束干涉及干涉条件 3.2 波动叠加与光的干涉 结论：不等强度的多光束干涉图样的衬比度取决于光束间的振幅比r。当r→1时，干涉图样变成一组在较宽的暗纹背景下的等强度锐细亮线。这种不等强度多光束干涉现象可由法布里-珀罗干涉仪产生。

25. 3.2.6 获得相干光波的方法 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 (1) 波前分割法 基于惠更斯原理，利用某种手段从同一波前上取出两个或多个相干子波。 典型实验：杨氏双孔（缝）干涉 (2) 振幅分割法 利用光波在两种介质分界面上的折射和反射原理，将一束光波按振幅比例分解成两个或多个相干子波。 典型实验：薄膜干涉

26. 本节重点 3.2 波动叠加与光的干涉 3. 光的干涉与相干性 1. 波动的独立性和叠加性成立的条件 2. 光的相干条件的具体内容 3. 双光束干涉的条纹特点及干涉条件 4. 两束平面波干涉的条纹特点 5. 多光束干涉的条纹特点及干涉条件 6. 获得相干光波的两种有效途径