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Reti elettriche

+. Esempi In elettronica si dice circuito elettronico e circuito integrato , ecc. In telecomunicazioni, si dice circuito telefonico , circuito a due o a quattro fili , circuito di giunzione , per indicare singole connessioni operative.

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Reti elettriche

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Presentation Transcript

  1. + Esempi In elettronica si dice circuito elettronico e circuito integrato, ecc. In telecomunicazioni, si dice circuito telefonico, circuito a due o a quattro fili, circuito di giunzione, per indicare singole connessioni operative. Invece, rete telefonica indica l’insieme dei circuiti usati in un certo ambito (p. es., rete telefonica interurbana). In impiantistica, si dice rete elettrica di trasmissione o di distribuzione. La tabella di connessione descrive completamente la rete e viene impiegata, p.es., nei sistemi di analisi automatica. Una rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti Ogni riga della tabella di connessione è detta ramo della rete L’insieme dei fili di connessione è spesso detto schema di cablaggio. Tale schema è spesso utile per l’effettivo montaggio del circuito. Tuttavia lo schema di cablaggio è spesso di difficile lettura. + Una rete elettrica è ottenuta assegnando i componenti, i nodi della rete e la tabella di connessione Esempio: rete di 7 componenti e 5 nodi 1 3 2 4 C 2 3 Ig 3 5 T1 2 5 T2 3 4 R1 1 2 Vg 1 4 L 4 5 R2 3 5 5 Tabella di connessione Componenti 1 2 3 4 5 Nodi Reti elettriche Si ha un ramo per ogni componente bipolare Si hanno 2 rami per ogni componente 2-porte A volte invece che rete elettrica si utilizza la locuzione circuito elettrico. Nel presente contesto le due locuzioni sono quasi sinonimi. Ciò non è vero in generale. Le reti elettriche possono essere estremamente complesse. P.es., nei circuiti integrati si possono avere reti con milioni di componenti e centinaia di migliaia di nodi Esempi: Il ramo L 4 5 corrisponde all’induttore I rami T1 2 5 T2 3 4 corrispondono al trasformatore Si possono ottenere schemi elettrici semplificati disponendo opportunamente i nodi nel piano

  2. Matrice di connessione[C] , di dimensioni R x N con R = numero dei rami N = numero dei nodi Cij = -1 se il ramo i esce dal nodo j = 1 se il ramo i entra nel nodo j = 0 altrimenti Il grafo di una rete elettrica è uno schema di connessione che prescinde dai componenti usati I rami del grafo sono identificati con lettere o con numeri + Ramo orientato Esempio + 1 Ramo k-esimo b a vk , ik nodi 1 2 3 4 5 rami Per semplicità il segno della tensione non viene indicato: 1 -1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 -1 3 a 2 4 g e b c f [C]= c d d h Scegliendo per ogni ramo un verso arbitrario si ottiene il grafo orientato o schema topologico della rete e f Ramo k-esimo vk , ik 5 g Grafo Grafo orientato Rete elettrica h Grafo di una rete elettrica Per ogni ramo occorre considerare una tensione e una corrente. Per tutti rami è usata la convenzione delle potenze entranti: Nel grafo non sono indicati i componenti, ma solo i relativi rami, rappresentati da segmenti Esempio: R = 8 ; N = 5

  3. Dato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato Maglia: un insieme di rami che individua un percorso chiuso Esempio : maglia Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Va + Vb + Vg + Ve = 0 abge 1 1 1 1 1 1 b b b b b b a a a a a a - Vg + Vc + Vd = 0 gcd Esempi 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 Il ramo g è percorso dalle due maglie con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha 4 4 4 4 4 4 Verso di maglia: orario g g g g g g e e e e e e Maglia hed Maglia abge Legge di Kirchhoff alle tensioni f f f f f f Verso di maglia: orario c c c c c c d d d d d d Va + Vb + Vg + Ve = 0 h h h h h h Legge di Kirchhoff alle tensioni Va + Vb + Vc + Vd + Ve = 0 Vh - Ve – Vd = 0 5 5 5 5 5 5 Grafo orientato Maglia abge Maglia abge Maglia abge Maglia hed ; gcd abcde Maglia abge gcd abcde che è l’equazione alla maglia + = Leggi di Kirchhoff Legge di Kirchhoff alle tensioni: La somma algebrica delle tensioni presenti su una maglia della rete è uguale a zero Verso di maglia: l’ordine di percorrenza del percorso chiuso Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti Il segno della tensione è positivo (negativo) se il verso di ramo coincide (non coincide) con il verso di maglia

  4. Dato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato Taglio: un insieme di rami che divide la rete in due parti non connesse Esempi In molti casi un taglio separa un solo nodo da tutti gli altri Nella legge di Kirchhoff, il segno della corrente è positivo (negativo) se il verso di ramo è concorde (non concorde) con il verso del taglio Taglio hdfgb Esempio: taglio Esempi Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Ia – Ig – Ic = 0 Se si tagliano i rami individuati dal taglio, le sottoreti relative ai nodi [3,2,1] e ai nodi [4, 5] risultano separate agc 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b b b b b b a a a a a a a a - Ia + Ie + Ih = 0 aeh Taglio egfd Taglio aeh Esempi 3 3 3 3 3 3 3 3 Il ramo a appartiene ai due tagli con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha Verso del taglio: dal nodo [2] ai nodi [1, 3, 4, 5] Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3] 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 g g g g g g g g e e e e e e e e Taglio egfd Taglio agc Taglio hdfc Si può assegnare un verso convenzionale al taglio, p. es., dai nodi [4, 5] ai nodi [3,2,1] Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3] Verso del taglio: dai nodi [2,3,5] al nodo [1, 4] c Verso del taglio: dai nodi [2,3,1,4] al nodo [5] f f f f f f f f c c c c c c c d d d d d d d d h h h h h h h h - Ig – Ic + Ie + Ih = 0 - Ie + Ig - If + Id = 0 Ia – Ig – Ic = 0 - Ih – Id + If + Ic = 0 5 5 5 5 5 5 5 5 che è l’equazione del taglio gceh Grafo orientato ; aeh Taglio agc Taglio hdfgb Taglio aeh Taglio egfd Taglio agc Taglio hdfc Taglio agc aeh gceh + = Leggi di Kirchhoff Legge di Kirchhoff alle correnti: La somma algebrica delle correnti, che attraversano un taglio della rete, è uguale a zero Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti

  5. Le leggi di Kirchhoff dipendono dal grafo del circuito, ma non dipendono dai componenti presenti. Due circuiti diversi, aventi lo stesso grafo, soddisfano le stesse leggi di Kichhoff. Le leggi di Kirchhoff valgono nel dominio del tempo. Essendo equazioni lineari, algebriche, a coefficienti costanti, valgono anche in qualunque dominio trasformato, definito da operatori lineari. Leggi di Kirchhoff I domini di interesse nella analisi delle reti sono: dominio del tempo, grandezze elettrichevk(t) , ik(t) dominio dei fasori, grandezze elettricheVk , Ik(per il regime permanente) dominio di Laplace, grandezze elettricheVk(s) , Ik(s) Le leggi di Kirchhoff si esprimono in generale nel modo seguente: Skak Vk = 0 ; Skbk Ik = 0 con k = 1, … R e ak e bk pari a +1, -1, 0 R: numero dei rami (si ha coefficiente zero quando una corrente o una tensione non appare in una certa legge di Kirchhoff) Le leggi di Kirchhoff si esprimono, nei domini del tempo, dei fasori e di Laplace, nello stesso modo e con gli stessi coefficientiak e bk: Skak vk(t) = 0 ; Skbk ik(t) = 0 (dominio del tempo) SkakVk = 0 ; SkbkIk = 0 (dominio dei fasori) Skak Vk(s) = 0 ; Skbk Ik(s) = 0 (dominio di Laplace) Le leggi di Kirchhoff si esprimono con equazioni lineari, algebriche (prive di operatori differenziali), omogenee (prive di termini noti)

  6. Determinazione dell’Albero e del Coalbero Per l’analisi di una rete, occorre individuare : Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff è tale che: Esempio R : numero dei rami N : numero dei nodi RA: numero dei rami dell’albero RC: numero dei rami del coalbero Alcune coppie albero / coalbero Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Rami residui: abcdefgh Rami tolti: nessuno Rami residui: bcgh Rami tolti: aefd Rami residui: bcdefgh Rami tolti: a Rami residui: bcdgh Rami tolti: aef Rami residui: bcdfgh Rami tolti: ae Albero: bcgh Coalbero: aefd Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Si può togliere qualsiasi ramo Si può togliere qualsiasi ramo , eccetto i rami bh Non si può togliere più alcun ramo Albero: bcdh Coalbero: aefg Nel caso generale, risulta: Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = N – 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b b b b b b a a a a a a a a Albero: abef Coalbero: cdgh RC = R – N + 1 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 g g g g g g g g e e e e e e e e Un numero di rami pari a N-1 permette di connettere N nodi, senza dare luogo ad alcuna maglia Albero: abcd Coalbero: efgh f f f f f f f f c c c c c c c c d d d d d d d d h h h h h h h h Ai fini della presente trattazione tutte le coppie albero / coalbero sono equivalenti Albero: abef Coalbero: cdgh Albero: bcdh Coalbero: aefg Albero: abcd Coalbero: efgh 5 5 5 5 5 5 5 5 [ in generale non risulta RA =RC] Albero, coalbero Si tolgano alcuni rami dal grafo, in modo che: non sia più presente nessuna maglia nessuna Legge appartenente all’insieme è combinazione delle altre il grafo rimanga connesso Insieme dei rami residui: albero Insieme dei rami tolti: coalbero Si può togliere qualsiasi ramo eccetto il ramo b (altrimenti il nodo 1 non è più connesso al resto del grafo) ogni ulteriore Legge è combinazione delle Leggi appartenenti all’insieme Per individuare insiemi indipendenti di Leggi di Kirchhoff, il grafo orientato della rete viene suddiviso in due sottografi complementari, detti Albero e Coalbero Nel caso dell’esempio RA = N – 1 = 4 ; RC = R – N + 1 = 4 Albero: bcgh Coalbero: aefd Si tolga il ramo a Si tolga il ramo e Si tolga il ramo f Si tolga il ramo d

  7. Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Esempio Se si aggiunge all’albero un ramo del coalbero, si ottiene una maglia Si aggiunga il ramo e maglia Legge di Kirchhoff Ve Va Vf Vb [VC] = ;[VA] = Si ottiene la maglia eabcd Tale ramo è dettoramo di chiusura [VC ] + [A][VA ] = [0] Vg Vc (e ) Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0 Vh Vd (f ) Vf + Vd = 0 Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 1 1 1 1 (g ) Vg – Vc – Vd = 0 [VC ]vettore colonna delle tensioni del coalbero 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 [ A] = (h ) b b b b b b a a a a a a Vh + Va + Vb + Vc = 0 0 0 -1 -1 Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Legge di Kirchhoff alle tensioni alla maglia (e) 1 1 1 0 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 [VA ]vettore colonna delle tensioni dell’albero coalbero albero 4 4 4 4 4 4 g g g g g g e e e e e e Usando le notazioni matriciali Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0 f f f f f f c c c c c c d d d d d d Ve 1 1 1 1 Va [A]matrice di RC righe e RA colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0 h h h h h h Vf 0 0 0 1 Vb + = [0 ] Vg 0 0 -1 -1 Vc Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh 5 5 5 5 5 5 Vh 1 1 1 0 Vd Leggi alle tensioni Il ramo di chiusura fissa: il verso della maglia, il nome della maglia. Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine (tensione del ramo di chiusura) non presente nelle altre Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo del coalbero

  8. Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Esempio Se si elimina un ramo dall’albero, la rete si divide in due parti separate, che definiscono un taglio Si elimini il ramo a taglio Legge di Kirchhoff Ia Ie Ib If Si ottiene il taglio aeh [IA] = ; [IC] = [IA ] + [B][IC ] = [0 ] Ic Ig (a ) Ia - Ie - Ih = 0 Il ramo dell’albero fissa: il verso del taglio, il nome del taglio. Id Ih (b ) Ib – Ie – Ih = 0 Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 -1 0 0 -1 (c ) Ic – Ie + Ig – Ih = 0 [IA ]vettore colonna delle correnti dell’albero 1 1 1 1 1 1 -1 0 0 -1 [B] = (d ) b b b b b b a a a a a a Id - Ie - If + Ig = 0 -1 0 1 -1 Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti -1 -1 1 0 Legge di Kirchhoff alle correnti per il taglio (a) 3 3 3 3 3 3 albero coalbero 2 2 2 2 2 2 [IC ]vettore colonna delle correnti del coalbero 4 4 4 4 4 4 g g g g g g e e e e e e Usando le notazioni matriciali f f f f f f Ia – Ie – Ih = 0 c c c c c c d d d d d d Ia -1 0 0 -1 Ie [B]matrice di RA righe e RC colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0 h h h h h h Ib -1 0 0 -1 If + = [0 ] Ic -1 0 1 -1 Ig Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh Albero: abcd Coalbero: efgh 5 5 5 5 5 5 Id -1 -1 1 0 Ih Leggi alle correnti Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine (corrente del ramo dell’albero) non presente nelle altre Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo dell’albero

  9. Leggi di Kirchhoff Leggi di Kirchhoff alle tensioni Leggi di Kirchhoff alle correnti Poiché i soli rami dell’albero non definiscono alcuna maglia, le tensioni dei rami dell’albero possono essere fissate arbitrariamente Poiché i soli rami del coalbero non definiscono alcun taglio, le correnti dei rami del coalbero possono essere fissate arbitrariamente Tensioni dei rami dell’albero + Correnti dei rami del coalbero : insieme di variabili indipendenti , che possono essere fissate in modo arbitrario assegnate assegnate le correnti del coalbero, assegnate le tensioni dell’albero, [VA ] e [IC ] [VC ] = - [A ] [ VA ] + + Vc + + Vb [VC ] = - [A ] [ VA ] [IA ] = - [B ] [ IC ] [IA ] = - [B ] [ IC ] Ig Ig si possono calcolare le correnti dell’albero + + si possono calcolare le tensioni del coalbero + + si possono calcolare Ih Ih [VC ] e [IA ] Esempio Esempio Esempio RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 + + + Vb Va Va 1 1 1 b b a a Rete di Correnti: - generatori di corrente sui rami del coalbero; - rami dell’albero in corto . Ie Ie 3 3 3 + + 2 2 2 4 4 4 g g e e La Rete di Kirchhoff è la sovrapposizione di una Rete di Tensioni e una Rete di Correnti + Vc f f If If c c d d + + h h Vd Vd Le correnti dei rami dell’albero si calcolano con l’espressione Le tensioni dei rami del coalbero si calcolano con l’espressione 5 5 5 Albero: abcd Albero: abcd Albero: abcd [VC ] = - [A ] [ VA ] [IA ] = - [B ] [ IC ] Rete di Correnti Rete di Kirchhoff Rete di Tensioni Coalbero: efgh Coalbero: efgh Coalbero: efgh Variabili indipendenti Correnti del coalbero: variabili indipendenti Tensioni dell’albero: variabili indipendenti Le correnti dei rami dell’albero non sono variabili indipendenti e non possono essere fissate arbitrariamente Le tensioni dei rami del coalbero non sono variabili indipendenti e non possono essere fissate arbitrariamente Rete di Kirchhoff : - generatori di tensione sui rami dell’albero; - generatori di corrente sui rami del coalbero. Rete di Tensioni: - generatori di tensione sui rami dell’albero; - rami del coalbero aperti. Una Rete di Kirchhoff è analizzabile utilizzando esclusivamente le Leggi di Kirchhoff Tutte le tensioni della rete sono nulle Nella rete non circola alcuna corrente

  10. Per una Rete di Kirchhoff, si consideri la rete ottenuta disattivando tutti i generatori, eccettoil generatore di tensione i-esimo e il generatore di corrente j-esimo permette di analizzare molte proprietà topologhe delle reti, cioè proprietà che dipendono dalla connessione dei componenti, prescindendo dalla natura dei componenti stessi a) da una generica rete, note le tensioni dei rami dell’albero e le correnti dei rami del coalbero La Rete di Kirchhoff può essere ottenuta: La Rete di Kirchhoff + + a)Aji = Bi j = 0 in ogni caso Si ricordi che Ig Ig Ig + + + Vi sono tre casi si veda l’esempio [A ]T = - [B ] + + [VC ] = - [A ] [ VA ] Ih Ih è definita per ogni grafo, in corrispondenza a ogni coppia albero/coalbero Aji = - Bij [IA ] = - [B ] [ IC ] Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Le colonne di [A ] corrispondono alle righe di [B ] cambiate di segno (e viceversa) RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 RA = 4 ; RC = 4 a) Coppia [ Va; Ig] c) Coppia [ Vc; Ig] b) Coppia [ Va; Ie] -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + Vb Vb Va Va Va Va 1 1 1 1 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 [B] = [B] = [B] = [B] = [ A] = [ A] = [ A] = [ A] = Il taglio aeh , definito dal generatore di tensione, non attraversa la maglia gcd , definita dal generatore di corrente a Il taglio aehattraversa la maglia eacd ; versi di Ve e Va discordi Il taglio ceghattraversa la maglia gcd ; versi di Vc e Vg concordi -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 Ie Ig -1 -1 1 0 -1 -1 1 0 -1 -1 1 0 -1 -1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ie Ie 3 3 3 3 3 + + + 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 g e e + + + + Vc Vc Vc Vg = Vc Vg = - Agc Vc f f f If If Agc = - 1 Ve = - Va Ve = - Aea Va Vg = 0 Vg = - Aga Va c c d d d Aea = 1 Aga = 0 + + h h h Vd Vd Ia = Ie Ia = - Bae Ie Ia = 0 Ia = - Bag Ig Ic = - Ig Ic = - Bcg Ig 5 5 5 5 5 Bae = - 1 Bag = 0 Bcg = 1 Albero: abcd Albero: abcd Albero: abcd Albero: abcd Albero: abcd Rete di Kirchhoff Rete di Kirchhoff Coalbero: efgh Coalbero: efgh Coalbero: efgh Coalbero: efgh Coalbero: efgh Teorema di Tellegen b) da due reti aventi lo stesso grafo, utilizzando la Rete di Tensioni dalla prima rete e la Rete di Correnti dalla seconda rete b)Aji = - Bi j = 1 c)Aji = - Bi j = -1 [.] T indica trasposizione

  11. Potenza assorbita da una rete di Kichhoff a) Rete di Kirchhoff ottenuta da una rete generica SR vk(t) ik(t) = 0 ; Conservazione della potenza : S pi = S vi ii Rami dell’albero RA RA b) Rete di Kirchhoff ottenuta da due reti aventi lo stesso grafo vk:tensioni della prima rete S pj = S vj ij = [VC ]T [IC ] Rami del coalbero SR vk ik = 0 Teorema di Tellegen : RC RC ik:correnti della seconda rete S vi ii + S vj ij = 0 SR vk ik = 0 RA RC [A ]T= - [B ] SR pk = 0 S pi + S pj = 0 RA RC In una rete di Kirchhoff: R = RA + RCnumero rami Somma prodotti tensione-corrente = 0 [somma su tutti i rami, stessa convenzione di segno] coalbero albero Si ricordi che Somma potenze assorbite = 0 [somma su tutti i rami] [IA ] = - [B ] [IC ] Suddiviso l’insieme dei rami in due sottoinsiemi, 1 e 2, complementari [somma sul sottoinsieme 1] Somma potenze assorbite = = somma potenze erogate [somma sul sottoinsieme 2] Teorema di Tellegen SR pk(t) = 0 = [VA ]T [IA ] = - [VA ]T[B ] [IC ] = - [VA ]T[A ]T[IC ] Applicazioni:conservazione potenza complessa reciprocità delle reti calcolo della sensibilità rispetto ai valori dei componenti [VC ] = - [A ] [VA ] [VC ]T= - [VA ]T [A ]T

  12. Esempio Analisi di una rete elettrica Dati del problema Incognite Sistema di equilibrio Quantità note Incognite , 16 funzioni del tempo: Va , Vb , Vc , Vd , Ve , Vf , Vg , Vh Ia , Ib , Ic , Id , Ie , If , Ig , Ih tensioni e correnti con pedici congruenti con quelli dei componenti e secondo i versi indicati in figura Schema della rete: R rami; N nodi Costanti Ra , Rd , Lc , Ce Rapporto1:ntrasformatore Tg/Th Funzioni del tempo: tensione impressa gen. tensioneFb(t); corrente impressa gen. correnteFf (t) . R = 8 equazioni componenti Vc= Lc induttore Leggi alle tensioni R tensioni dIc Leggi di Kirchhoff R - N + 1 equazioni d t 2R equazioni Ie= Ce condensatore Leggi alle correnti R correnti Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig N – 1 equazioni trasformatore 1 Ra + + 2R incognite Fb Tipo e valore dei componenti dVe d t 3 + + 2 4 Ce Leggi di Kirchhoff : R = 8 equazioni + Tg Equazioni di Kirchhoff + Ia -1 0 0 -1 Ie Ve 1 1 1 1 Va Ff Lc Th Rd Vf 0 0 0 1 Vb Ib -1 0 0 -1 If + = [0 ] + = [0 ] Equazioni dei componenti + + Vg 0 0 -1 -1 Vc Ic -1 0 1 -1 Ig 5 Id -1 -1 1 0 Ih Vh 1 1 1 0 Vd Albero abcd;coalbero efgh Sistema di equilibrio Va = Ra Ia ; Vd = Rd Id resistori Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) generatori R equazioni Algebriche lineari, omogenee, coeff. +1, -1 Algebriche (circuiti senza memoria) e differenziali (circuiti con memoria) Lineari (circuiti lineari) e non lineari (circuiti non lineari) Termini noti (generatori o condizioni iniziali)

  13. Complessità differenziale della rete : Or Complessità algebrica della rete: Ca Va = Ra Ia ; Vd = Rd Id res. (ordine della rete) Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) gen. Vc= Lc induttore Or = ordine dell’equazione differenziale risolvente: dIc Si ha Ca 2 R dopo opportuni passaggi algebrici, il sistema di equilibrio si può ridurre a un’unica equazione differenziale, il cui ordine è non superiore alla somma degli ordini delle equazioni del sistema ( R : numero dei rami ) d t Ie= Ce condensatore Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig trasf. dVe Si ha Or NC + NL + 2 NM Ve 1 1 1 1 Va d t con NC = numero condensatori Vf 0 0 0 1 Vb NL = numero induttori + = [0 ] Vg 0 0 -1 -1 Vc NM = numero induttori accoppiati Vh 1 1 1 0 Vd Nell’esempio: NC = 1; NL = 1; NM = 0 Ia -1 0 0 -1 Ie e pertanto Or 2 Ib -1 0 0 -1 If + = [0 ] Ic -1 0 1 -1 Ig Id -1 -1 1 0 Ih Complessità Ca = ordine algebrico del sistema di equilibrio: numero di equazioni = numero delle incognite Se Ca = 2 R il sistema risolvente è detto ……sistema generale di equilibrio ….…( come nell’esempio, ove R = 8 e Ca = 16 ) Se Ca < 2 R il sistema risolvente è detto ……sistema abbreviato di analisi …… p. es. analisi su base maglie ………… analisi su base nodi …… ……(descritte nel seguito) (da conciderazioni più approfondite si può vedere che in questo caso si ha esattamente Or= 2)

  14. b a matrice dei coefficienti Equazioni alle maglie in forma matriciale Caso elementare: rete di resistori e generatori di tensione termini noti elementi fuori dalla diagonale principale diagonale principale 2. Scelta delle correnti di coalbero come incognite 1. Scelta coppia albero / coalbero 3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando le incognite Ie ; If ; Ig ; Ih Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd - (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie -Vb R : n. dei rami ; N : n. dei nodi Maglia: eabcd Ie ; If ; Ig ; Ih g e -Vb nessuna -Vf -Vb Ie Ig Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Rd Rd - Rd 0 If -Vf Ra+Rc+Rd+Re Rc+Rd+Rg Ra+Rc+Rh Rd Rd Ie + RdIf - Rd Ig = -Vf Maglia: fd = = = = = = = = = = = = = = = = = = Rd tensione impressa sulla maglia e verso discorde tensione impressa sulla maglia f verso discorde tensione impressa sulla maglia g tensione impressa sulla maglia h verso discorde Rc+Rd nessuna Ra +Rc Rc Rd La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica somma resistenze in comune fra le maglie e / g f If resistenza totale di maglia = somma delle resistenze di maglia somma delle tensioni sui rami resistivi della maglia (verso: convenzione potenza entrante) c d - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 - (Rc+Rd ) - Rd Rc+Rd+Rg - Rc Ig 0 resistenza totale maglia h resistenza totale maglia e resistenza totale maglia g resistenza totale maglia f resistenza comune maglie e / h verso concorde resistenza comune maglie e / g verso discorde resistenza comune maglie f / g verso discorde resistenza comune maglie f / h resistenza comune maglie f / h verso discorde resistenza comune maglie e / f verso concorde Maglia: gdc - (Rc +Rd ) Ie - RdIf + (Rc +Rd +Rg ) Ig - Rc Ih = 0 correnti Ie e Igdiscordi sui rami comuni c e d  segno negativo correnti Ie e Ihconcordi sui rami comuni a e c  segno positivo correnti Ie e Ifconcordi sul ramo comune d  segno positivo somma delle tensioni impresse dai generatori presenti sulla maglia (convenzione potenza uscente) Ih Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb Ra+Rc 0 - Rc Ra+Rc+Rh Ih -Vb h Complessità del sistema: R – N + 1 << 2R resistenza in comune fra le maglie e / f Maglia: habc somma resistenze in comune fra le maglie e / h (Ra +Rc ) Ie - RcIg + (Ra +Rc +Rh ) Ih = -Vb caso attuale + + + Metodo abbreviato di analisi segno positivo segno negativo segno negativo matrice dei coefficienti vettore delle incognite vettore dei termini noti b b b b b b b b b a a a a a a a a a Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Ra Ra Ra Ra Ra Ra Ra Vb Vb Vb Vb Vb Vb Vb + + + + + + + + Ie Ie Ie Ie Ie Ie Ie Ie Ig Ig Ig Ig Ig Ig Ig Ig + Rg Rg Rg Rg Rg Rg Rg Re Re Re Re Re Re Re If If If If If If If If + c c c c c c c c d d d d d d d d d + + + + + + + Vf Vf Vf Vf Vf Vf Vf Rh Rh Rh Rh Rh Rh Rh Rc Rc Rc Rc Rc Rc Rc Rd Rd Rd Rd Rd Rd Rd Ih Ih Ih Ih Ih Ih Ih Ih + Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Albero: abcd ; Coalbero: efgh Equazioni alle maglie:Res., Gen. tensione 1. Scelta coppia albero / coalbero (Ra +Rc +Rd +Re ) Ie + RdIf - (Rc +Rd ) Ig + (Ra +Rc ) Ih = -Vb 2. Scelta delle correnti del coalbero come incognite numero incognite : R – N + 1 3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2 numero equazioni : R – N + 1

  15. c) Scrittura delle equazioni di vincolo b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT a) Identificazione della rete RT Reti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 e Vx2 sono termini noti, mentre tutte le correnti sono incognite. a a a Ib Ib b Sostituire i generatori di corrente con generatori di tensione fittizi Equazioni di vincolo b1) Scelta coppia albero / coalbero b3) Equazioni alle maglie Equazioni alle maglie g g g e e e b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero b Ib + Ic = -Ig2 (Ra+Re ) Ib - Re Ih = -Vg1 - Vx2 Simbolo I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia nel caso della corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso precedentemente indicato c Analisi su base maglie (Rc+Rd ) Ic - Rd Ig1 - Rd Ih = - Vx2 f Ig1 Ig1 Ic Ic c Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di corrente sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti) Per la rete data invece le tensioni Vx1 e Vx2 sono incognite. d d d + Equazioni n. 5 h g1 a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) Rd Ic + Rd Ig1 + Rd Ih = Vx1 Incognite n. 5: Ih Ih Vx h Nome e verso arbitrari - ReIb + RdIc + Rd Ig1 + (Rd+Re +Rh ) Ih = 0 Ib;Ic;Ih ;Vx1 ;Vx2 Albero: adeg ; Coalbero: bcfh Albero: adeg ; Coalbero: bcfh Albero: adeg ; Coalbero: bcfh Rete RT Es. n° 1 Il generatore di corrente Ig2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo. Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti è sufficiente riconoscere che nel sistema di equazioni alle maglie il termine Ig1 é una quantità nota, mentre Vx1 è un’incognita. La rete RT, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata. Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + le equazioni di vincolo Ra Ra Vg1 Vg1 + + Vx2 + Ib + Vx2 Vx1 Re Re Ic Ig2 + + Ig2 Ig1 Rh Rh Rc Rc Rd Rd Vx1 Equazioni alle maglie : gen. di corrente assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di corrente c) Scrittura delle equazioni di vincolo Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Vx1 e Vx2 , le equazioni alle maglie e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della sola rete iniziale. I generatori di corrente sul coalbero semplificano il sistema, sull’albero complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo Questa osservazione, che semplifica la soluzione del sistema, deriva dal fatto che il generatore di corrente Ig1 é posto sul coalbero. Nella scelta della coppia albero / coalbero, è conveniente scegliere, se possibile, un albero che non passi per i generatori di corrente Risulta Ib + Ic = -Ig2

  16. Analisi su base maglie c) Scrittura delle equazioni di vincolo b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT a) Identificazione della rete RT Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono termini noti. Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero. a a a b Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno Ib Ib Sostituire il generatore di corrente e i rami del trasformatore con generatori di tensione fittizi Equazioni di vincolo b3) Equazioni alle maglie b1) Scelta coppia albero / coalbero Equazioni alle maglie Ig Ig g g e e a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero b Vg= nVh (Ra+Rc ) Ib- Rc Ig = Vg1 - Vh Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare nomi abbinati con il nome del generatore di corrente (con verso coordinato con la corrente impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. il positivo dalla parte del segno ). Ie Ie b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT Ig1 Ig1 e I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per la corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso indicato. Per la corrente Ig conviene utilizzare la convenzione della potenza entrante, come nella definizione del trasformatore ideale (Re+Rd ) Ie - Rd Ig1 + Rd Ig = - Vh I1 I2 1:n f c c c Ig= - (1 / n)( Ib+ Ie ) d d d h h h c) Scrittura delle equazioni di vincolo + g1 + + - Rd Ie + Rd Ig1 - Rd Ig = Vx1 Simbolo V2 = n V1 V2 V1 g Vx Incognite n. 6 Equazioni n. 6 - RcIb + RdIe - Rd Ig1 + (Rc+Rd ) Ig = - Vg I2 = - ( 1 / n ) I1 Ib;Ig;Ie ;Vx1 ;Vg ;Vh Albero: acdh ; Coalbero: befg Albero: acdh ; Coalbero: befg Albero: acdh ; Coalbero: befg Nome e verso arbitrari Rete RT Es. n° 2 La variabile Ig appartiene al coalbero e quindi è già utilizzata nelle equazioni alle maglie. Non così per la corrente Ih , che deve essere espressa in funzione delle correnti del coalbero Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + equazioni di vincolo Ra Ra Vg1 Vg1 + + Ig + + Ib Ih= Ib+ Ie Vg Vg Th: Tg= 1 : n Re Re Tg + Ie + + Ih Ig1 Th Rc Rc Rd Vg= nVh Rd Vx1 Vh Vh Ig= - (1 / n)Ih Equazioni alle maglie : trasformatori ideali Per la rete data le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono invece incognite. Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di corrente e per il trasformatore. Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare correnti (o tensioni) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni alle maglie. L’introduzione di ulteriori variabili richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni.

  17. Analisi su base maglie a) Identificazione della rete RT b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono termini noti. a a a Ig1 Ig1 b Sostituire il generatore di corrente fisso e i rami controllati dei generatori controllati con generatori di tensione fittizi Equazioni di vincolo b1) Scelta coppia albero / coalbero b3) Equazioni alle maglie Equazioni alle maglie g g Al generatore di corrente fisso conviene abbinare un generatore di tensione fittizio con verso coordinato con la corrente impressa. Per il generatore controllato di tensione, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata. e e e e a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero f (Ra+Rc+Rh )Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rh ) Ig = Vx1 • Id - If + Ig = • = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) Ig Ig b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT Id Id d -RhIg1 + (Rd+Rh ) Id + Rh If - Rh Ig = - Ve f c c c I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per le correnti Ig1 e Ig già indicate nel circuito iniziale, conviene conservare i nomi e i versi. If If d h h h c) Scrittura delle equazioni di vincolo + g1 -RhIg1 + RhId + RhIf - Rh Ig = - Ve + Vf Vf = h Ig Simbolo Vx Incognite n. 6 Equazioni n. 6 g (Rc+Rh ) Ig1 - RhId - Rh If + (Rc+Rg +Rh ) Ih = Ve Id;If;Ig ;Vx1 ;Ve ;Vf Albero: aceh ; Coalbero: bdfg Albero: aceh ; Coalbero: bdfg Albero: aceh ; Coalbero: bdfg Nome e verso arbitrari Rete RT Es. n° 3 Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero. Ie = k Vh Per il generatore controllato Ie : Ra Ra Ig1 Vx1 + Ie = - Id - If + Ig - Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) Ie Ig1 If Ig Ie= kVh Rh Vh = Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) + Id Vf = h Ig Per il generatore controllato Vf : If Vh Ig Equazione di vincolo Rg Ve Rg + Ie + + Id - Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) Ig Rh Vf Vf= hIg Rc Rd Vf Rd Rh Rc Vh + Equazioni alle maglie : gen. controllati Per la rete data invece le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono incognite. Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo. Le grandezze Ie e Vh non sono utilizzate nelle equazioni alle maglie. Pertanto esse devono essere espresse in funzione delle variabili già utilizzate. Poiché le variabili Vf e Ig sono già utilizzate nelle equazioni alle maglie la seconda equazione di vincolo non deve essere modificata

  18. Analisi su base maglie b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo a) Identificazione della rete RT Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui Vf è considerato un termine noto. a a Ib b Sostituire il nullatore con un corto circuito e il noratore con un generatore di tensione fittizio Equazione di vincolo b3) Equazioni alle maglie b1) Scelta coppia albero / coalbero Equazioni alle maglie Ie Ig g g e e a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero e b (Ra+Rc+Rh )Ib + Rh Ie + RcIg = Vg1 L’unica equazione di vincolo deriva dal nullatore per il quale risulta Il nome e il verso della tensione sul noratore sono arbitrari. È opportuno considerare separati i nodi 1 e 2 , a cui è connesso il ramo e , poiché sarà necessario considerare la corrente su tale ramo. b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT d RdId= - Vf f f c c I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. d Id h h c) Scrittura delle equazioni di vincolo + Rh Ib + RhIe = - Vf Simbolo Ie = 0 Vx g RcIb + (Rc+Rg ) Ig = Vf Albero: acfh ; Coalbero: bdeg Albero: acfh ; Coalbero: bdeg Nome e verso arbitrari Rete RT Es. n° 4 L’equazione di vincolo permette di eliminare l’incognita Ie dalle equazioni alle maglie. Ra Ra Vg1 Vg1 + + 2 1 e Equazioni n. 4 Rg Rg + Incognite n. 4: Vf Ib;Id;Ig ;Vf 8 Rd Rh Rd Rh Rc Rc Equazioni alle maglie : nullori Per la rete data invece la tensione Vf , è incognita. Occorre scrivere una opportuna equazione di vincolo.

  19. matrice dei coefficienti matrice dei coefficienti matrice dei coefficienti matrice dei coefficienti Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Equazioni ai nodi in forma matriciale Caso elementare: rete di resistori e generatori di corrente elementi fuori dalla diagonale principale elementi fuori dalla diagonale principale elementi fuori dalla diagonale principale elementi fuori dalla diagonale principale elementi fuori dalla diagonale principale elementi fuori dalla diagonale principale elementi fuori dalla diagonale principale termini noti termini noti termini noti termini noti termini noti diagonale principale diagonale principale diagonale principale diagonale principale 2. Scelta delle tensioni dei nodi come incognite 1. Scelta di un nodo di riferimento 3. Scrittura delle equazioni ai nodi utilizzando le incognite E1 ; E2 ; E3 ; E4 Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If Gd+Ge+Gg -Ge 0 -Gg E1 If R : n. dei rami ; N : n. dei nodi Nodo: 1 (Gd +Ge +Gg ) E1 - GeE2 - Gg E4 = If La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica - Ib Ib nessuna If nessuna nessuna nessuna Ge Gg Ga - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 - Ge Ga+Ge+Gh - Ga 0 E2 0 E1 ; E2 ; E3 ; E4 Gd+Ge+Gg Ga+Ge+Gh Gc+Gg Ga Nodo: 2 - Ge E1 + (Ga +Ge +Gh )E2 - Ga E3 = 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = corrente impressa nel nodo 4 verso uscente corrente impressa nel nodo 3 verso entrante corrente impressa nel nodo 2 corrente impressa nel nodo 1 verso entrante Il segno dei termini relativi a resistori disposti fra coppie di nodi è sempre negativo somma delle conduttanze dei resistori connessi al nodo 1 conduttanza presente fra i nodi 2 e 3 conduttanza presente fra i nodi 1 e 3 conduttanza presente fra i nodi 1 e 2 conduttanza presente fra i nodi 3 e 4 conduttanza presente fra i nodi 2 e 4 conduttanza presente fra i nodi 1 e 4 somma delle correnti uscenti dal nodo 1 attraverso i rami resistivi 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib 0 - Ga Ga 0 E3 Ib conduttanza totale nodo 1 conduttanza totale nodo 2 conduttanza totale nodo 3 conduttanza totale nodo 4 E4 Nodo: 3 - GaE2 + GaE3 = Ib E1 [somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 2 [somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 4 somma delle correnti entanti nel nodo 1 e impresse dai generatori di corrente E3 Complessità del sistema: N - 1 << 2R - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib - Gg 0 0 Gc+Gg E4 - Ib Nodo: 4 - Gg E1+ (Gc +Gg ) E4= - Ib caso attuale E2 Metodo abbreviato di analisi segno positivo segno positivo segno negativo segno sempre negativo segno sempre negativo segno sempre negativo vettore delle incognite matrice dei coefficienti vettore dei termini noti Ra Ra Ra Ra Ra Ra Ra Ra Ra E3 E3 E3 E3 E3 E3 E3 E3 Attenzione! 3 Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio È stato scelto come riferimento il nodo 5 Ib Ib Ib Ib Ib Ib Ib Ib Ib Le equazioni ai nodi esprimono equilibri di correnti, in funzioni di grandezze che sono tensioni. E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 E1 1 Tale nodo viene indicato con il simbolo di massa E4 E4 E4 E4 E4 E4 E4 E4 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E2 2 4 Rg Rg Rg Rg Rg Rg Rg Rg Rg Re Re Re Re Re Re Re Re Re Pertanto occorre utilizzare sempre le conduttanze dei resistori e cioè : Rh Rh Rh Rh Rh Rh Rh Rh Rh Rc Rc Rc Rc Rc Rc Rc Rc Rc If If If If If If If If If Rd Rd Rd Rd Rd Rd Rd Rd Rd E1 , E2 , E3 , E4 indicano le tensioni dei nodi 1, 2, 3, 4 , rispetto al nodo di riferimento Ga = 1 / Ra ; Gc = 1 / Rc ; Gd = 1 / Rd Ge = 1 / Re ; Gh = 1 / Rh 5 Equazioni ai nodi:Res., Gen. di corrente 1. Scelta di un nodo di riferimento 2. Scelta, come incognite, delle tensioni dei nodi (rispetto al nodo di riferimento) numero incognite : N - 1 numero equazioni : N - 1 3. Scrittura delle equazioni ai nodi, eccetto il nodo riferimento, utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2

  20. c) Scrittura delle equazioni di vincolo a) Identificazione della rete RC b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC Reti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente Il generatore di tensione Vg2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo. Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 e Ix2 sono termini noti, mentre tutte le tensioni sono incognite. Sostituire i generatori di tensione con generatori di corrente fittizi Equazioni di vincolo b3) Equazioni ai nodi b1) Scelta nodo di riferimento Equazioni ai nodi b2) Identificazione delle tensioni di nodo 1 E3 - E4 =Vg2 (Gd+Ge ) Vg1 - Ge E2 = Ig1 + Ix1 Vg2 + I nomi delle tensioni di nodo sono arbitrari. Tuttavia nel caso della tensione Vg1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome indicato, invece di introdurre un nuovo nome 3 2 Analisi su base nodi - GeVg1 + (Ga+Ge +Gh ) E2 - Ga E3 = 0 Simbolo Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di tensione sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti) Per le rete data invece le correnti Ix1 e Ix2 sono incognite. E3 E4 Equazioni n. 5 a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) - Ga E2 + Ga E3 = Ix2 Questa osservazione deriva dal fatto che il generatore di tensione Vg1è connesso al nodo di riferimento. Ix Incognite n. 5: 4 GcE4 = - Ig1 - Ix2 E2;E3;E4 ;Ix1 ;Ix2 Nome e verso arbitrari Ra Ra 3 Rete RC Per il generatore di tensione Vg1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti basta riconoscere che nel sistema di equazioni ai nodi il termine Vg1 è una quantità nota, mentre Ix1 è un’incognita. Vg2 Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle equazioni ai nodi + le equazioni di vincolo La rete RC, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata. E3 Ix2 Es. n° 1 + Ix2 Vg1 E2 E4 1 4 2 Re Re + Ig1 Ig1 È opportuno scegliere il nodo di riferimento in che sia connesso alla maggior parte dei generatori di tensione Rh Rd Rh Rc Rc Rd Vg1 Ix1 Ix1 5 Equazioni ai nodi : gen. di tensione assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di tensione Risulta E3 - E4 =Vg2 c) Scrittura delle equazioni di vincolo Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Ix1 e Ix2 , le equazioni ai nodi e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della sola rete iniziale. I generatori di tensione connessi al nodo di riferimento semplificano il sistema, quelli non connessi a tale nodo complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo

  21. Analisi su base nodi a) Identificazione della rete RC b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 , Ig e Ih sono termini noti. Per il generatore di tensione Vg1 Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno Sostituire il generatore di tensione e i rami del trasformatore con generatori di corrente fittizi Equazioni di vincolo b3) Equazioni ai nodi b1) Scelta del nodo di riferimento Equazioni ai nodi a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b2) Identificazione delle tensioni di nodo E1 - E4 = n E2 1 (Gd+Ge ) E1- Ge E2 = Ig1 - Ig Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare nomi abbinati con i nomi del generatore di tensione (con verso coordinato con la tensione impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. corrente entrante dalla parte del segno ). Vg1 b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC + 3 2 Ig = - (1 / n) Ih - GeE1 + (Ga+Ge ) E2 - GaE3 = - Ih I1 I2 1:n E3 E4 Ix c) Scrittura delle equazioni di vincolo + l’equazione di vincolo è la seguente: + - Ga E2 + Ga E3 = Ix1 Simbolo V2 = n V1 E3 -E4 = Vg1 V2 V1 4 E3 -E4 = Vg1 GcE4 = - Ix1 + Ig I2 = - ( 1 / n ) I1 E1;E2;E3 ;E4 ;Ig ;Ih ;Ix1 Incognite n. 6 : Equazioni n. 6 ; Nome e verso arbitrari Ra Ra E3 Es. n° 2 Rete RC Vg1 Ix1 3 Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle equazioni ai nodi + equazioni di vincolo + Ix1 Ig E1 E1 1 4 2 E2 E2 E4 E4 Ig Ig Re Tg Re Th: Tg= 1 : n Ih Rd Ig1 Ig1 Th Rc Rc Rd E1 - E4 = n E2 Ih Ih Ig = - (1/ n) Ih 5 Equazioni ai nodi : trasformatori ideali Per la rete data invece le correnti Ix1 , Ig e Ih sono incognite. Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di tensione e per il trasformatore. Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare tensioni (o correnti) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni ai nodi. L’introduzione di ulteriori variabili richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni.

  22. Analisi su base maglie a) Identificazione della rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Per il generatore controllato Ie : Ie = k Vh Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, in cui le correnti Ie e If sono termini noti. Ie = - k E2 Sostituire i rami controllati dei generatori controllati con generatori di corrente fittizi Equazioni di vincolo b1) Scelta del nodo di riferimento b3) Equazioni ai nodi Equazioni ai nodi Equazioni ai nodi Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b2) Identificazione delle tensioni di nodo 3 (Gd+Gg )E1 - Gg E4 = Ie + If Ie = - k E2 Le grandezze Vf e Ig non sono utilizzate nelle equazioni ai nodi. b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC 1 2 (Ga+Gh ) E2 - Ga E3 = - Ie E1 = h Gg (E4 - E1 ) Per il generatore controllato di corrente, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata. Ix c) Scrittura delle equazioni di vincolo Si ha Vf = E1 e Ig = Gg (E4 - E1 ) - Ga E2 + Ga E3 = - Ig1 Simbolo Incognite n. 6 Equazioni n. 6 4 - GgE1 + (Gc+Gg ) E4 = Ig1 E1;E2;E3 ;E4 ;Ie ;If Nome e verso arbitrari Ra Ra Ig1 Ig1 Rete RC E3 Es. n° 3 3 Ie= kVh Ig Ig Ie E1 E2 E4 1 4 2 + Rg Rg Ie Vf= hIg Rh Rc Rd Rh Rd Vh Rc Vf If Vh + + Equazioni ai nodi : gen. controllati Le grandezza Vh non è utilizzata nelle equazioni ai nodi. Però risulta Vh = - E2 Per la rete data invece le correnti Ie e If sono incognite. Pertanto l’equazione di vincolo è la seguente Ie = - k E2 Pertanto l’equazione di vincolo è : E1 = h Gg (E4 - E1 ) Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo.

  23. Analisi su base nodi b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo a) Identificazione della rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Per il generatore di tensione Vg1 si ha Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC , in cui Ix1 e IN sono considerate termini noti. Sostituire il nullatore con un circuito aperto, il noratore e il generatore di tensione con generatori di corrente fittizi Equazioni di vincolo b3) Equazioni ai nodi b1) Scelta del nodo di riferimento Equazioni alle maglie Equazioni ai nodi a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b2) Identificazione delle tensioni di nodo E4 - E3 =Vg1 3 1 (Gd+Gg )E1 - Gg E4 = IN E4 - E3 =Vg1 b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC Al generatore di corrente fittizio relativo al generatore di tensione conviene dare nome e verso coordinati con quelli relativi alla tensione impressa. Il nome e il verso della corrente sul noratore sono arbitrari. 2 (Ga+Gh )E2 – GaE3 = 0 E2 = E1 c) Scrittura delle equazioni di vincolo Per il nullatore si ha Ix - Ga E2 + Ga E3 = - Ix1 Simbolo Incognite n. 6 Equazioni n. 6 4 E2 = E1 - GgE1 + (Gc+Gg ) E4 = Ix1 E2 E1 E1;E2;E3 ;E4 ;Ix1 ;IN Nome e verso arbitrari Ra Ra Rete RC Es. n° 4 Ix1 Vg1 E3 3 + E1 1 Vg1 2 4 E4 + E2 E3 E4 Rg Rg Rh Rd Rh Rd Rc Rc IN 8 Equazioni ai nodi : nullori Per la rete data invece le correnti Ix1 e IN sono incognite. Occorre scrivere due opportune equazioni di vincolo.

  24. Circuiti con memoria nel dominio dei fasori Metodo di analisi nel dominio dei fasori Circuiti senza memoria nel dominio del tempo Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati equazioni algebriche nel campo complesso equazioni algebriche nel campo reale L’analisi di circuiti con memoria nel dominio dei fasori è simile all’analisi di circuiti senza memoria ma implica calcoli nel campo dei numeri complessi L’analisi di circuiti con memoria è differente dall’analisi di circuiti senza memoria ed è molto complessa Analisi nel dominio dei fasori Circuito in regime permanente: tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) del circuito sono di tipo sinusoidale 1. Determinare il circuito fittizio nel dominio dei fasori: sostituire tutte le grandezze impresse con i rispettivi fasori; determinare le impedenze (o le ammettenze) di tutti i componenti reattivi 2. Analizzare il circuito nel dominio dei fasori 3. Determinare i fasori delle grandezze d’interesse (eventualmente determinare le rispettive funzioni nel tempo)

  25. Fasori delle grandezze impresse Esempio Equazioni alle maglie nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RT : al posto del generatore di corrente si supponga la presenza di un generatore di tensione fittizio di tensione Vx1 vg1(t) = Vg1 cos ( w t + j ) Vg1 = Vg1 e jj Ig1 = Ig1 e jy ig1(t) = Ig1 cos ( w t + y) Viene scelta una coppia albero / coalbero, in modo che il generatore di corrente si trovi sul coalbero. Le correnti di maglia sono Ica , Ig1 , Ivg - RIca - RIg1 + ( 1 / jwCb+ R)Ivg = Vg1 Impedenze Induttore j w L 1 1 Condensatori 1 / j w Ca ; 1 /j w Cb jwCa jwCb Dominio dei fasori Dominio del tempo albero coalbero Vg1 vg1(t) + + Ca Ivg Ica + Ig1 jwL L Ig1 ig1(t) R R Cb Vx1 Equazioni alle maglie : fasori ( jwL+ 1 / jwCa + R) Ica + RIg1 - RIvg = 0 RIca + RIg1 - RIvg = Vx1 Non occorrono equazioni di vincolo, poiché Ig1 si trova sul coalbero. Le incognite sono : Ica , Vx1 , Ivg

  26. Fasori delle grandezze impresse Equazioni ai nodi nel dominio dei fasori Esempio Viene omesso il disegno della rete RC : al posto del generatore di tensione si supponga la presenza di un generatore di corrente fittizio di tensione Ix1 vg1(t) = Vg1 cos ( w t + j ) Vg1 = Vg1 e jj Ig1 = Ig1 e jy ig1(t) = Ig1 cos ( w t + y) Viene scelto un nodo di riferimento, in modo che il generatore di tensione si trovi collegato a esso. Le tensioni di nodo sono E1 , E2 , Vg1 Ammettenze - jwCb E2 + ( 1 / jwCb )Vg1 = Ix1 Induttore 1 / j w L 1 Condensatori j w Ca ; j w Cb jwL Dominio dei fasori Dominio del tempo nodo di riferimento Ix1 Vg1 vg1(t) Vg1 E1 + + Ca jwCa L Ig1 ig1(t) G R Cb jwCb E2 Equazioni ai nodi : fasori ( jwCa + 1 / jwL) E1 - (1 / jwL) E2 = 0 • (1 / jwL) E1 + (1 / jwL+ G+ jwCb ) E2 - • - jwCb Vg1 = - Ig1 Attenzione: nello scrivere le equazioni ai nodi, è necessario considerare le conduttanze dei resistori e le ammettenze dei componenti reattivi. Non occorrono equazioni di vincolo. Le incognite sono : E1 , E2 , Ix1

  27. In regime permanente Nel dominio del tempo Conservazione della potenza complessa : Conservazione della potenza istantanea : Essendo Pc =Pa + j Q, si ha : Somma potenze assorbite = 0 [somma su tutti i rami] SR Pa =½ SRRe [VkIk* ]= 0 Conservazione della potenza attiva : Somma potenze assorbite [da tutti i componenti esclusi i generatori] = = somma potenze erogate [dai generatori] Somma potenze attive assorbite = 0 [somma su tutti i rami] SR Q =½ SRIm [VkIk* ]= 0 Conservazione della potenza reattiva : Somma potenze reattive assorbite = 0 [somma su tutti i rami] Reti RLC + generatori Dimostrazione Si ricordi che: R L C gen. Pa > 0 0 0 >=<0 Q 0 > 0 < 0 >=<0 Conservazione della potenza SRPc =½ SRVkIk* = 0 SR vk(t) ik(t) = 0 Scelta una coppia albero / coalbero, si definisca una rete di Kirchhoff prendendo sull’albero i fasori delle tensioni e sul coalbero i coniugati dei fasori delle correnti. Applicando il teorema di Tellegen, si ottiene S RVkIk* = 0 e quindi SRPc = 0 Somma potenze attive assorbite dai resistori ( > 0 ) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > 0 ) Somma potenze reattive assorbite dagli induttori ( > 0) + Somma potenze reattive assorbite dai condensatori (< 0) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > = < 0)

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