激 光 原 理

1. 激 光 原 理 第二章 开放式光腔与高斯光束 上海大学物理系 电子信息科学与技术教研室

2. 内容 光腔 构成；分类；损耗；ABCD矩阵及应用；稳定条件 数学解法；模式特性（场分布、谐振频率、等相位 面、衍射损耗等） 模式 高斯光束 高斯光束特性及在实际中的应用 自由空间、透镜（球面反射镜）、平面介电界面、球面镜谐振腔

3. §2.1 光腔理论的一般问题 一、概述 • 谐振腔的作用 • 无源谐振腔 • 理论依据 • 开放式光腔 • 开腔的分类 • 光腔的损耗

4. 谐振腔的作用 • 提供轴向光波模的正反馈 • 控制腔内振荡光束的特性 直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率及光束发散角等

5. 无源谐振腔 • 不考虑腔内激活介质的影响 • 无源腔的模式可以作为具有激活物质腔（有源腔）的激光模式的良好近似 • 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条件；激活介质对场的空间分布和振荡频率的影响是次要的，不会使模式发生本质的变化

6. 采用的理论 • 衍射光学理论——衍射明显, 模式的精细描述 不同模式按场分布,损耗,谐振频率来区分 • 几何光学理论——忽略反射镜边缘衍射效应，推导腔的稳定性条件 不同模式按传输方向和谐振频率来区分，粗略、简单明了

7. 忽略侧面边界的影响 闭腔 波导管 开腔 波导管的孔径比较小，不能忽略侧面边界的影响 气体波导腔 光学谐振腔 (Optical Cavity) 光腔的构成与分类 折叠腔 环形腔

8. 光腔的分类 按腔的几何逸出损耗的高低分类:稳定腔,非稳定腔,临界腔 • 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗 • 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往返就逸出腔外，具有较高的几何损耗 • 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间，只有少数特定光线能在腔内往返传播

9. 谐振腔可以按不同的方法分类： • 稳定腔、非稳定腔、临界腔 • 球面腔与非球面腔 • 高损腔与低损腔 • 驻波腔与行波腔 • 两镜腔与多镜腔 • 简单腔与复合腔 • 端面反馈腔与分布反馈腔 本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔

10. 有限范围的电磁场 分立的本征态 腔内存在的场分布 激光模式 二、光腔理论与模式（概述） 1. 光腔理论 (激光模式理论) －研究模式基本特征及其与腔结构关系 • 模式主要特征： • * 场分布，谐振频率，往返损耗，发散角 沿光轴方向（纵向）场分布E(z)－ 纵模 场分布 垂直于光轴方向(横向)场分布E(x,y)－横模

11. 谐振条件（干涉仪理论） 纵模 以F-P(法布里-珀罗干涉仪)腔中的轴线方向传播电磁场的模式 (2-1-1) q为整数 F-P腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件 L’为腔的光学长度， L为腔的几何长度。在整个腔内充满折射率为的均匀物质。 则： 0q为腔的谐振波长，q为腔的谐振频率。 谐振频率是分立的。 • 光往返一周发生相长干涉的相移 q为物质中的谐振波长 式(2-1-1)又称为光腔的驻波条件

12. 驻波场分布 波节 L L 满足q的平面驻波场是F-P平行腔的本征模式 • 特点：腔的横截面内的场分布是均匀的；沿腔的轴线方向（纵向）形成驻波。驻波的波节数由q决定。 • q所表征的腔内纵向场分布为腔的纵模。纵模q单值地决定腔的谐振频率。 • 纵模间隔 q与q无关。 L减小，纵模间距增大

13. 腔的纵模在频率尺度上等距离排列，每一个纵模均以具有一定宽度c谱线表示。腔的纵模在频率尺度上等距离排列，每一个纵模均以具有一定宽度c谱线表示。

14. 三、光腔的损耗（losses in optical Cavity） 光腔的损耗是评价谐振腔的一个重要标志。 几何偏折损耗：光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。其大小取决于腔的类型和几何尺寸。（与腔和腔内的模式有关） 衍射损耗：腔的反射镜片通常有有限大小的小孔，所以光在镜面发生衍射时，有一部分能量损失。 腔镜反射不完全引起的损耗：包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。通常镜至少有一个反射镜是部分透射的，另一个通常称“全反射”镜，其反射率不可能做到100%。 固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。 1和2为选择损耗：不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。3和4为非选择损耗：对各个模式大体一样。

15. 损耗的参数 (loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q) 1. 平均单程损耗因子 初始光强I0，在腔内往返一次后，光强衰减为I1，则 －指数损耗因子 如果I代表每一个引起损耗缘由的损耗因子，则总损耗 为总损耗因子，为腔中各个损耗因子的总和。

16. I0 r2 r1 例：由腔镜反射不完全引起的损耗 反射损耗 透射损耗 腔内往返一周后，强度为 r1 1，r21 透过损耗 (T)

17. 损耗的另一种定义 用单程渡越时光强的平均衰减百分比定义单程损耗因子` 百分比损耗因子 • 指数损耗因子与百分比损耗因子 腔损耗很小时

18. = 2. 与腔损耗有关的参数 －光子寿命 谐振腔光学长度 光子(平均)寿命tR－腔内光强衰减到初始值的1/e所需时间 根据定义，如何计算光子平均寿命 R称为腔的时间常数

19.  光在谐振腔中传播速度 上式表明R的物理意义——经过R时间后，腔内光腔衰减为初始值的1/e。而且， 越大， R越小，则说明腔的损耗越大，腔内光腔衰减的越快。 由于腔内存在损耗，光场不再为简谐振动，而是振幅随时间指数衰减的阻尼振荡，其强度按频率的分布有一宽度 证明：R等于光子在腔内的平均寿命 设t时刻腔内的光子数密度为N 由于损耗，腔内光子数密度随时间依指数衰减。

20. t-t+dt 时间内减少的光子数密度 N0个光子的平均寿命 －光子平均寿命取决于谐振腔的损耗 • 谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长 • 腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长

21. 储存在腔内的总能量（x） 单位时间内损耗的能量（P） 腔内电磁场的振荡频率 3、无源谐振腔的Q值 定义 V表示腔内振荡光束的体积 • 谐振腔的损耗越小，Q值越高。表示光腔的储能好，损耗小，腔内光子的寿命长。

22. 腔镜倾斜时的几何损耗 设光在腔内往返m次后逸出腔外，则 腔镜倾斜时的损耗 D为平面腔的横向尺寸（直径）。 求出m值，根据光在腔内往返一次所需的时间可求出腔内光子的寿命及相应的。 (2-1-27) 平行平面镜腔的调整精度要求极高

23. L  2a   衍射损耗 （估计） 第一极小值出现位置： 假设：忽略第一暗环以外的光，并且中央亮斑内光强均匀分布。 W1~到孔外能量，W0为孔内能量，则射到孔径以外的光能与总光能比等于该孔阑被中央亮斑所照亮的孔外面积与总面积的比。

24. （2-1-29） 衍射损耗不太大时，单程指数衍射损耗（ d）与能量相对百分数损耗（ d，）近似相等，d=d， N为腔Fresnel 系数，是衍射现象中的一个特征参数，表征衍射损耗的大小。 N ， d ，即损耗越小。

25. 2a L 透过损耗 (dT) 衍射损耗 (dD) 几何偏折 (dn) －光线从腔侧面偏折出去 工作物质质量 (dI) － 气泡、杂质等引起吸收、散射 其它插入损耗(do)－腔内插入其它元件等 总的单程损耗

26. 总结  增益(损耗)系数的定义及其与反转粒子数的关系  光在增益&损耗并存介质中传输时的光强变化公式  由光强引起的增益饱和的物理原因, 极值光强的概念  谐振腔的损耗对激光器阈值振荡条件的影响  谐振腔中的各类损耗、指数损耗及百分数损耗因子  腔内光子寿命的定义及与损耗的关系

27. B A L q>0 正,负号规定: q< 0 q< 0 q r §2.2 共轴球面腔的稳定条件 一、射线（几何）光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵） • 1. 表示光线的参数 • r － 光线离光轴的距离 •  － 光线与光轴的夹角 • 傍轴光线tg sin 2. 自由空间区的光线矩阵 A处：r0, q0 B处：r’,q’

28. 用 描述任一光线的坐标 自由空间 光线矩阵 TL描述光线在自由空间中行进距离L时引起的坐标转换。 3. 空气与介质(折射率为n2)的界面 入射 出射

29. R f 4.球面镜反射矩阵（薄透镜传输矩阵） R为球面镜的曲率半径 焦距为f=2/R的薄透镜与球面反射镜等效

30. 5.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵 球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）

31. 往返n次的光线矩阵 其中 • 光线在谐振腔中的传输可等效为在透镜波导中的传输。 • 往返矩阵与初始坐标、出发位置及往返顺序无关。 • 谐振腔往返矩阵的建立方法： 等效透镜波导；确定一个周期；写出各部分光线矩阵的乘积。

32. L L R1 R2 R1 l1 l2 l3 l1 l2 l3 球面镜腔可以等效为周期透镜波导 复杂腔的等效周期透镜波导及往返矩阵

33. 二、共轴球面镜腔的稳定条件 Q：在什么条件下，傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸出腔外？——稳定腔 几何光学光线矩阵分析腔中几何偏折损耗，判断稳定与否 An, Bn, Cn, Dn矩阵元有界，说明光线经过n次不逸出腔外，关键因子f应为实数，且不等于kp 共轴球面镜腔的稳定判据

34.  共轴球面镜腔两反射镜为球面镜, 有共同光轴 凹面镜 R > 0; 凸面镜 R < 0; 平面镜 R＝∞  稳定条件: 几何偏折损耗 稳定腔任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小 (低损耗腔) 非稳定腔傍轴光线有限次反射后便逸出腔外  几何偏折损耗大(高损耗腔)

35. (1) 实数，An, Bn, Cn, Dn 有界稳定腔 (2) 复数，nAn, Bn, Cn, Dn非稳定腔 k为奇数 (-1) k为偶数 (+1) (3) 讨论： 且随n的增大发生周期性的变化 随n的增大按指数增大 K为奇数 K为偶数

36. 临界腔的典型例子 • 平行平面镜腔 ( R =  ) 非稳腔 稳定腔 2. 对称共焦腔R1=R2=L 非对称共焦腔？ R1+R2=2L 往返两次自行闭合 稳定腔 临界腔 3. 共心腔 R1+R2=L 适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性

37. 稳定判据另一表达式 • 只适用于简单的共轴球面镜腔(直腔) 要求掌握：给定R1,R2， 根据稳定条件，确定使谐振腔 处于稳定的腔长允许值范围

38. 平行平面腔 沿轴线方向行进的光线能往返无限次而不逸出腔外，且往返一次即实现简并。但所有非轴线方向行进的光线在经有限次往返后，必然逸出腔外。 对称共焦腔 任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即可自行闭合。 共心腔 通过公共中心的光线能在腔内往返无限多次，而所有不通过公共中心的光线在腔内往返有限次后必然横向逸出腔外。

39. 大多数临界腔，其性质介于稳定腔和非稳腔之间。平行平面腔和共心腔这一类腔称为介稳腔；对称共焦腔（本属于临界腔g1=g2=0），其中任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即可自行闭合。在这种意义上，共焦腔属于稳定腔。大多数临界腔，其性质介于稳定腔和非稳腔之间。平行平面腔和共心腔这一类腔称为介稳腔；对称共焦腔（本属于临界腔g1=g2=0），其中任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即可自行闭合。在这种意义上，共焦腔属于稳定腔。 整个稳定球面腔的模式理论可建立在共焦腔振荡模理论的基础上。

40. §2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法 Q：在没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征值，即不随时间变化的稳定场分布，若存在，如何求场分布？ 一、衍射理论的基本出发点与自再现概念 激光介质对光的放大和损耗；镜面对光的衍射作用（损耗） 考虑理想情况，损耗主要由衍射作用贡献，介质没有放大作用，则光在两镜之间传输会因衍射作用而越来越弱。可以期预，经过有限次往返后，光场的分布不再受衍射的影响。在腔内往返一次后能“再现”出发时的场分布。此稳态场经一次往返后，唯一可能变化的是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。 定义开腔镜面上经过一次往返能再现稳态场分布---自再现模或横模。自再现模一次往返的能量损耗称为模的往返损耗；一次往返所经历的相移称为往返相移，为k2——模的谐振条件。

41. 二、孔阑传输线 模拟开腔中自再现模的形成过程 横模产生的物理原因 条件 • 一系列通轴孔径 • 孔径开在平行无限大的吸收屏上 • 相邻孔径距离等于腔长L • 孔径大小等于镜的大小 • 所有孔径的大小和形状都相同 开腔模式形成的定性解释 光从一个孔径传播到另一个孔径等效于光在开腔中从一个反射镜面到另一个镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围以外的光将被屏吸收（对应于损耗）

42. 过程：一均匀平面波垂直入射到第一个孔阑时，波的强度均匀分布在孔面上。通过孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围之外的光将被屏吸收（对应损耗）。由于衍射发生在镜的边缘附近，当波到第二个孔时，边缘部分的强度比中心小，且已不是等相位面。通过等二个孔时波束又将发生衍射，每经一个孔，波的振幅和相位分布发生一次变化，但是波束受到衍射的影响越来越小。当通过足够多的孔阑后，镜面上场的振幅和相位分布不再发生变化。——自再现模过程：一均匀平面波垂直入射到第一个孔阑时，波的强度均匀分布在孔面上。通过孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围之外的光将被屏吸收（对应损耗）。由于衍射发生在镜的边缘附近，当波到第二个孔时，边缘部分的强度比中心小，且已不是等相位面。通过等二个孔时波束又将发生衍射，每经一个孔，波的振幅和相位分布发生一次变化，但是波束受到衍射的影响越来越小。当通过足够多的孔阑后，镜面上场的振幅和相位分布不再发生变化。——自再现模

43. 不是任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来。不是任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来。 • 自在现模的形成与初始入射波的形状无关，任何初始入射波也能形成自在现模。 • 自在现模的形成过程可理解光的相干性。如果在第一孔面上的光是非相干的，由于衍射，第二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上个所有各点发出的子波的叠加（惠更斯-菲涅耳原理），即在第二个孔面上各点波的相位有关联，经过足够多的衍射后，光束横截面上各点的相位关联越密，空间相干性越强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用

44. 倾斜因子 各子波源发出的球面波 S曲面上光场分布函数 三、惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分 Fresnel-Kirchoft衍射积分：若知光波场在其所到任意空间曲面上的振幅和相位分布，可求出该光场在其他任意处的振幅和相位分布。 ｋ为波矢的模；ρ为源点u(x’ ,y’ )与观察点u(x,y)之间连线的长度；θ 为Ｓ面上点(x’ ,y’ )处法线ｎ 与上述连线的夹角；ｄｓ′为Ｓ 面上点(x’ ,y’ )处的面积元，积分沿整个Ｓ 面进行。

45. r P(x,y) q P’ M2 M1 往返次数足够多时,除表示振幅衰减和相移的常数因子外, Uj+1能再现Uj U1(x1, y1) U2(x2, y2) U3(x3,y3) • 自再现条件 Uj(xj, yj) Uj+1(xj+1, yj+1) 场分布不变－再现 四、 自再现模概念

46. L …….. …….. • 衍射积分公式 光腔中的衍射场自洽积分方程 • 自再现概念 光腔中的衍射场自洽积分方程 • 自再现模 • 积分方程 开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数

47. 适用任何对称光腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）适用任何对称光腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔） • 求出V(x,y) 开腔振荡模的场分布 求解积分方程 • 自再现模积分方程 (自洽积分方程） 其中 －积分方程的核

48. 五、自再现模积分方程的解法 其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得 2. 数值解 (数值迭代法) 振幅 ... 相位 …... • 1. 解析解： －对称共焦腔才能得到解析解 • 精确解近似 • 方形镜共焦腔 长椭球函数 厄米～高斯函数 • 圆形镜共焦腔 超椭球函数 拉盖尔～高斯函数

49. 例：平行平面腔模的迭代解法 • 平行平面腔的优点：光束方向性好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模 • 缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损耗也比较大 • 平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解

50. 利用迭代公式，直接进行数值计算。 首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将其代入上式，计算u2，u3, u4等。反复运算足够多次后，判断能否满足下式 如果直接数值计算得到了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自在现模或横模。