Системы счисления

1. Системы счисления Позиционные и непозиционные системы счисления.

2. Цель занятия • Изучить понятия позиционной и непозиционной систем счисления. • Научиться записи чисел в позиционных системах счисления. • Научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

3. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. • Символы для представления числовой информации называются цифрами.

4. Системы счисления Непозиционные системы Позиционные системы От положения знака в изображении числа не зависит величина, которую он обозначает. Например: VIII, XXI Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Например: 138, 335

5. В позиционных системах счисления значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других цифр, изображающих число, а в непозиционных системах счисления каждый знак (цифра), употребляемый для записи чисел, всегда означает одно и то же число. Примеры непозиционных систем счисления: унарная, древнеегипетская, римская, славянская система нумерации. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная. характеристика

6. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ • Унарная (единичная) • Древнеегипетская десятичная • Римская • Алфавитные системы счисления: Греческая, славянская, финикийская и др.

7. Древнеегипетская десятичная • чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево, вперемежку. 1 1

8. Римская система счисления _______________

9. Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусетен, десятков, пятков, единиц. Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Т.е. запомните: числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей», например: VI= 5+1=6 (V>I); числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей»:IX=10-1=9 (I<X).

10. Алфавитная система счисления • числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. • В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1,2,…..,9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, для обозначения чисел 10,20,…..,90 применялись следующие 9 букв; для обозначения чисел 100, 200, ….., 900 – последние 9 букв

11. В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. • В Славянской системе нумерации роль цифр также играли буквы алфавита, над которыми ставился знак - титло • число 324 в славянской системе записывалось в виде

12. Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: • существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел; • невозможно представлять дробные и отрицательные числа; • сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения – это основной недостаток.

13. Позиционные системы счисления: • Десятичная • Двоичная • Восьмеричная • Шестнадцатеричная • шестидесятеричная

14. Пример десятичной системы счисления • Представим число 156 в виде суммы разрядных слагаемых: • 156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10 • Обозначим номер позиции каждой цифры данного числа, начиная с 0-й, справа налево: • 2 1 0 • 156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10 • Заметим, что в данном разложении номер позиции каждой цифры совпадает с показателем степени, в которую возведено число 10.

15. Число 10 является основанием десятичной системы счисления (для изображения чисел в ней используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

17. Достоинства позиционной системы счисления • простота выполнения арифметических операций • ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

18. Двоичная система счисления • В компьютерах используется двоичная система счисления, т.к. она имеет ряд преимуществ перед другими системами: • для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.); • представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво; • возможно применение аппарата булевой алгебры (логика) для выполнения логических преобразований информации; • двоичная арифметика намного проще десятичной.

19. 0 1 • Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. • Двоичная система счисления, является минимальной системой, в которой реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи числа. В двоичной системе счисления значение каждой цифры по месту при переходе от любого данного разряда к следующему старшему увеличивается вдвое.

20. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления • В компьютерах используется также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Числа в этих системах читаются легко, как и десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно третья и четвёртая степени числа два).