第五讲万有引力定律

概述： 万有引力是自然界中四种基本作用之一。万有引力定律的发现，是人类在认识自然规律方面取得的一个重大成果。随着我国航空技术的发展，各种卫星的发射，特别是“神州”号系列飞船的运行，开发太空、探索宇宙已再次成为人们关注的焦点，这也将成为考试的热点。近些年高考对万有引力、人造卫星的考查几乎每年都有。同学们对于本章的复习应予足够的重视。第五讲万有引力定律

复习内容 一、万有引力定律的理解二、万有引力定律在天文学上的应用三、新教材增加的内容

注意： （1）万有引力的普遍性一、万有引力定律的理解 1、万有引力定律的内容和公式式中G为引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2 （2）万有引力的相互性（3）万有引力的宏观性

2、应用条件 直接利用公式计算引力的三种情况：（1）可视为质点的两物体间的引力；（2）两质量均匀分布的球体间的引力；（3）一质量均匀分布的球体和一质点间的引力。式中的r，对于相距很远可以看作质点的物体，就是指两个质点的距离；对于均匀球体，指的是两球心间的距离；对于一均匀球体和一质点，指的是质点和球心间的距离。

题目如图所示，有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去一半径为R/2的球体，求：剩下部分对m的万有引力F。 O m 解：用“填补法”来进行求解．设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′。由题意，M‘=M/8，r’=3R/2。设完整球体对质点m 的引力为F1，剩余部分对质点的引力为F，被挖小球对质点的引力为F2，有 F1=F+F2，

题目如图所示，有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去一半径为R/2的球体，求：剩下部分对m的万有引力F。错解：设剩下部分球体的重心为O’,OO’的距离为x O m O’ 解得

r m 实验装置俯视图 F m’ θ M θ 1 θ θ m’ F m R r S ３、引力常量的测定——卡文迪许实验直到1789年，在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许才巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量．二次放大效应: （1）图中固定两个小球的T形架，使m、m’之间微小的万有引力产生较大的力矩，使石英丝产生一定角度的扭转. （2）平面镜偏转θ角，反射光线偏转2θ角，光点在刻度尺上移动的弧长s=2θR，增大小平面镜到刻度尺的距离R，光点在刻度尺上移动的弧长s就会相应增大，使石英丝的扭转形变加以“放大”。

ω F向 F mg O 重力会随着纬度的增加而增大，赤道上的物体移到两极时，重力增加约千分之五.在粗略的计算中, 质量为m的物体，位于高度h处引力为 4、万有引力和重力的区别 (1)重力产生原因：是由于地球对物体的吸引而产生的地球上物体的向心力F向=mω2r是引力F的一个分力．引力F的另一个分力就是通常所说的重力mg． (2)重力随纬度的变化情况： (3)重力随高度的变化情况 : 当h增大时,引力减小,重力也跟着减小 .

二、万有引力定律在天文学上的应用 研究天体运动的基本思路：把天体的运动近似地看成匀速圆周运动，运动所需的向心力由万有引力来提供，即：应用时要根据实际情况灵活地选择适当的公式进行分析和计算。

可得由 1、测定天体的质量和密度只需测出绕中心天体做圆周运动的物体的环绕周期、线速度、角速度中的某一个参数及它与中心天体的距离r，即可求出M. 若知道中心天体近地卫星的周期，还可估算出该天体的平均密度

2、发现未知天体 万有引力定律不仅能够解释已知的天体现象，而且可以根据力与运动的关系，通过对天体轨道的精密计算与科学观察，从而发现新的天体。如法国人勒维列于1846年发现海王星、美国天文学家汤博于1930年发现太阳系第九颗行星——冥王星，就是万有引力定律在发现未知天体中的典型事例．

3、分析人造卫星的运动 （1）人造卫星研究地球卫星运动是基于这样一种基本模型：将卫星视作质点，以地心为圆心，运动轨迹为圆，所需向心力由地球的万有引力提供．则轨道半径 r 与轨道半径关系加速度速度周期角速度

人造卫星沿圆形轨道绕地球运动时速度为： 有（2）宇宙速度对于靠近地面运行的人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R，同时卫星所受的重力近似等于地球对它的万有引力，即 ——第一宇宙速度如果卫星距地心越远，则运行速度将比靠近地面的卫星运行速度要小，v1是卫星的最大运行速度。但向高轨道发射卫星需克服引力做更多的功，在地面上发射卫星的最小速度是v1。 v1也是人造卫星的最小发射速度。

若卫星进入地面附近轨道的速度大于7.9km/s,而小于11.2km/s,它的运动轨迹是椭圆.若卫星进入地面附近轨道的速度大于7.9km/s,而小于11.2km/s,它的运动轨迹是椭圆. v3=16.7km/s v2=11.2km/s 第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,v2=11.2km/s。 v1=7.9km/s 第三宇宙速度:使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,v3=16.7km/s

F1 A FA F2 B 又地球表面的重力加速度 (3)地球同步卫星地球同步卫星是指相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期（T=24h）相同的卫星，这种卫星一般用于通信，又叫同步卫星。同步卫星的运行轨道必须与地球的赤道平面重合。由于卫星的周期与高度有关，所以要使其运动周期T=24h，同步卫星距地面的高度h只能是一个定值。 h≈5.6R地

同步卫星的特点： a、位置一定（必须位于地球赤道上空） b、周期一定（T=24h） c、高度一定（h≈3.６×107m） d、速率一定（v≈3.1km/s）

(4)近地卫星和赤道上的物体 近地卫星指在地球表面绕地球运动的航天器，近似计算中总把轨道半径计为地球半径。它的向心加速度等于地球表面的重力加速度g表＝9.8m/s2 ，线速度即为第一宇宙速度v1=7.9km/s，它的周期是所有地球卫星可能周期中最小的，约为85min。赤道上随地球自转的物体与近地卫星的最大区别：向心力的提供来源不同。

题目两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比 TA:TB=1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为 A．RA:RB=4:1, vA:vB=1:2 B．RA:RB=4:1, vA:vB=2:1 C．RA:RB=1:4, vA:vB=1:2 D．RA:RB=1:4, vA:vB=2:1 分析： ① ② 解答：选项D正确

所以因为题目　如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度小于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度分析：卫星绕地球的运行速度选项Ｄ正确 P 2 1 3 错解： Q 角速度同理卫星运行时的加速度取决于地球对它的引力

题目求出．已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度 B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度 C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度 D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度地球同步卫星到地心的距离r可由解得又地球表面的重力加速度对照式解：同步卫星与地球间的万有引力提供向心力，即故AD正确

分析： 题目中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，它的自转周期　　　　。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定,不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2）。以中子星赤道处一小块物质为研究对象,当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时,其他地方的物质受到的万有引力一定大于所需的向心力，中子星就不会瓦解. 解:设赤道处小物块的质量为m，中子星的质量为M,半径为R,自转角速度为ω,密度为ρ,有解之得：代入数据得ρmin=1.27×1014kg/m3

题目宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L；若抛出时的初速度增大到2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M．解得 x y 由物体在星体表面所受万有引力 h 解得 L L x x’ 分析：星体质量遵从的规律体现在万有引力定律中，它对星体表面上的物体的万有引力决定着它们的运动。给定星体上一个抛体的两次运动，可求得引力加速度。解：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，有设该星球上重力加速度为g’，由平抛运动规律得

失误分析: 本题为1998年全国高考题，抽样得分率只有0.49,得满分的仅占0.285. 两方面错误: 1.思维定势,看见G,就想到万有引力,条件反射地写出 y h L 3L x x x’ 错误地认为平抛运动只能发生在地球上，总认为抛体运动与重力加速度有关,不涉及万有引力,而万有引力总是与圆周运动有关. 2.把题中的L误解成水平射程.

题目 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g和光速c．试求：该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间．（要求用题给的已知量的符号表示） ② Q L R 地球表面重力加速度 ③ α P r O 卫星由余弦定理得所求时间 ④ ① 由①②③④ 解得分析：求时间必须知道卫星与接收站之间的距离，可利用题中经度和纬度的知识画出图形，根据同步卫星的特点导出它与地心间的距离，再利用数学中的余弦定理进行求解。解：根据题中经度和纬度知识画出图形以m、M分别表示卫星、地球的质量，r为卫星到地心的距离

失误分析： 本题是2000年全国卷第20题，抽样难度为0.38,区分度为0.57. 有许多同学没有注意到试题中所给的条件“卫星的定点位置与东经98°的经线在同一平面内；嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°”，或者虽注意到这个条件，但不理解这个条件的含义。不能画出同步卫星、嘉峪关和地心三者间的位置图形。小结：物理学的应用可能会涉及其他学科的知识，这些基础知识的结合就是跨学科能力的培养。没有必要去做大量的所谓综合题，应该着眼于掌握每门学科中最基本、最重要的一些知识，基础知识掌握好了，综合能力自然就会提高。

1、行星的运动 a、开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 b、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。行星太阳 R 三、新教材增加的内容 k 是与行星无关的常量意义:使人们在解决行星的运动学问题上有了依据,澄清了对天体运动神秘、模糊的认识，推动了对天体动力学问题的研究。

题目如图所示，飞船沿半径为R的圆周围绕着地球运动，其运行周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道的某一点A处将速率降低到适当的数值，从而使飞船沿着以地心O为焦点的椭圆轨道运行，直至落于椭圆轨道与地球表面相切处的B点．求飞船由A 点到B点的时间（图中R0是地球的半径）。解：设飞船的椭圆轨道的半长轴为a R R0 所以 B O A 故从A运动到B的时间为分析：这是飞船返回地面的一个理想化模型．题中飞船沿圆轨道运动和沿椭圆轨道运动时，我们假设发动机没有开动，飞船仅在地球引力作用下运动．这样的运动与行星绕太阳运行属于同一种性质，有着相同的运动规律，可以运用开普勒第三定律来求解。另设飞船沿椭圆轨道运行的周期为T′，由开普勒第三定律

再见

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