BASE MATEMÁTICA

1. BASE MATEMÁTICA Neste tópico são apresentados: • a forma geral da equação de transporte a ser resolvida; • as variáveis empregadas; • a forma discretizada das equações • a forma geral das condições de contorno e termos fonte.

2. EQUAÇÃO DE BALANÇO: FORMA GENERALIZADA • Considerando uma fase presente, a equação deconservação de uma propriedade é escrita por: • r é densidade • f é a variável em questão • G é o coeficiente de difusão de f • S representa os termos fontes de f

3. FORMAS PARTICULARES: QUANTIDADE DE MOVIMENTO • f = U, V, W • G = r.(nL + nT) onde nL e nT representam as contribuições das viscosidades cinemática de origem Laminar e Turbulenta • S = - Grad(P) + Termos gravitacionais + atrito com paredes + Força centrífuga + Força Coriolis + Termos de empuxo + ...

4. FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO CONSERVAÇÃO DA ENERGIA (ENTALPIA) • f = h • G = r.[(nL /PrL)+ (nT /PrT)] onde PrL e PrT são os números de Prandtl de origem Laminar (nL/aL) e Turbulenta (nT/aT) • S = (trabalho compressão) DP/dt + (dissipação viscosa) 2mS:S + fontes/sorvedouros de calor + condições de contorno (entradas, paredes e saídas) do domínio

5. FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO UMA ESPÉCIE QUÍMICA • f = c que representa a concentração (molar, em massa ou volume) de uma espécie química • G = r.[(nL /PrL)+ (nT /PrT)] onde PrL e PrT são os números de Prandtl devido a transferência de massa de origem Laminar (nL/DL) e Turbulenta (nT/DT), também conhecidos por número de Schmidt onde D é o coeficiente de difusão de massa. • S = 0 + fontes/sorvedouros da espécie química por meio de reações químicas (combustão) + empuxo + forças devidas a gradientes térmicos (efeito de Soret) + ...

6. EQUAÇÕES AUXILIARES Para modelar um fenômeno é frequente a utilização de equações auxiliares para definir: • Propriedades Termodinâmicas: densidade, entalpia, entropia, etc • Propriedades de Transporte: viscosidade, difusividade, condutividade, etc • Termos Fonte: leis de cinética química, dissipação viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc • Termos ´artificiais´: falso transiente para relaxação e condições de contorno Todos os termos acima dependem de uma ou mais das variáveis e/ou das equações auxiliares que estão sendo resolvidas. A medida que um número maior destas equações auxiliares se faz necessário, ele causa um aumento no ´grau´ de não-linearidade do sistema.

7. EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO E O MÉTODO VOLUMES FINITOS • As equações de conservação não são resolvidas diretamente na forma diferencial. • Elas são discretizadas na forma de um sistema de um sistema algébrico de equações lineares que representam o balanço dos fluxos e de armazenamento de uma propriedade (massa, momento, energia, etc). • As equações algébricas são obtidas a partir da integração das eqs. em cada volume de controle. • São necessárias interpolações para se obter valores de grandezas escalares nas faces dos VCs e valores de grandezas vetoriais nos centros dos VCs. • Não são utilizadas expansão em série de Taylor (diferenças finitas) nem princípios variacionais (elementos finitos)

8. FORMA DISCRETIZADA POR VOLUMES FINITOS – 2D • Após integração, as EVF podem ser escritas na forma de um sistema de equações algébricas: ou na forma de resíduo zero • os coeficientes de acoplamento ´a´ com os volumes vizinhos transmitem os efeitos convectivos, difusivos e transientes às EVF. Eles têm a forma:

9. COEFICIENTES DE ACOPLAMENTO • Os coeficientes de acoplamento são aproximados pois não se conhece ‘a priori’ os campos reais de velocidade e outros escaleres para constituí-los. • As correções tendem a zero a medida que a convergência é aproximada. • Os acoplamentos com os nós vizinhos aumentam com: aumento da velocidade, da área da face, da densidade do fluido e do coeficiente de difusão • Os acoplamentos com os nós vizinhos diminuem com o aumento da distância internodal; • Os coeficientes são SEMPRE POSITIVOS

10. SOURCES OF FURTHER INFORMATION • PHOENICS GENERAL LECTURES – LECTURES FOR VERSION 2.2 – MATHEMATICAL BASIS • ENCYCLOPEDIA UNDER THE ENTRIES: • BOUNDARY CONDITIONS, FINITE-VOLUME EQUATIONS solved by PHOENICS, DIFFERENTIAL EQUATIONS solved by PHOENICS • Kays and Crawford - Convective Heat and Mass Transfer

12. ALGORITMO SIMPLE Neste item serão apresentados: • O método dos volumes finitos • O algorítmo SIMPLE; • Sequência de procedimentos do PHOENICS

13. MÉTODO VOLUMES FINITOS • O espaço é representado por diversos V.C. adjacentes que compõem todo domínio. • As equações de conservação são integradas para cada V.C. para se chegar a uma equação algébrica que contem os valores de f na grade. • A equação discretizada expressa o princípio de conservação para o volume finito da mesma maneira que a equação diferencial expressa-o para um volume de controle infinitezimal.

14. CONSEQUÊNCIAS DO MÉTODO DE VOLUMES FINITOS • A equação algébrica resultante implica que a conservação (massa, quantidade de movimento, energia, etc) é satisfeita (dentro do resíduo da solução) para cada V.C. do domínio. • Consequentemente o método também conserva o balanço das propriedades em todo o domínio; • Isto se aplica para grades com qualquer número de pontos (volumes), não somente para grades refinadas. • Por este motivo diz-se que o método dá ao modelo uma forte base da física do problema. Uma solução convergida implica em uma solução que satisfaz os princípios de conservação que regem as equações.

15. FORMA DIFERENCIAL • As equações de transporte podem ser expressas na forma do divergente do tensor J que representa os fluxos que cruzam as faces do VC mais termos fonte • Se f for um escalar, J tem natureza vetorial. • Se f for um vetor, J tem natureza tensorial.

16. FORMA INTEGRAL N n W w P e E s S • A equação de transporte pode ser integrada no V.C. com o auxílio do Teorema de Gauss: • A integral pode ser expressa por meio dos fluxos de J nas faces e da variação de f dentro do V.C. • Próximo passo é especificar os fluxos J em função de f. Ele deverá expressar difusão e convecção da propriedade.

17. DIFUSÃO DE UM ESCALAR (H1, TEM1, C1, ...) N Jn n n n Je n P W e w E n Jn Jw s n S • Equação difusão calor -> f é de natureza escalar (temperatura). J é de natureza vetorial que representam fluxos de energia térmica que cruzam as faces : Y X

18. DIFUSÃO DE UM ESCALAR (H1, TEM1, C1, etc)- forma discretizada dos fluxos - • Equação Difusão Calor -> J é de natureza vetorial, os fluxos que cruzam as faces do V.C. expressam calor:

19. DIFUSÃO DE UM ESCALAR (H1, TEM1, C1, ...) - Forma discretizada da equação -

20. DIFUSÃO DE UM ESCALAR (H1, TEM1, C1, ...) - forma geral dos termos discretizados - Note que todos os termos da equação algébrica discretizada podem ser colocados numa forma geral do tipo: • T – é um tipo geométrico: área ou volume • C – é um coeficiente que pode estar associado a um coeficiente de difusão e fatores geométricos da malha • V – é o valor que a variável vizinha ao ponto P assume • fP – é o valor da variável no ponto P • Deve-se destacar que TODOS os tipos de termo fonte e condições de contorno no PHOENICS são implementados por meio desta estrutura geral.

21. DIFUSÃO DE UM ESCALAR (H1, TEM1, C1, ...) - equação discretizada em termos dos coeficientes - • A equação discretizada é expressa com auxílio de coeficientes ´a´ que conectam cada ponto vizinho ao valor nodal P. • Na forma de resíduo zero:

22. DIFUSÃO DE UM ESCALAR (H1, TEM1, C1, ...) - equação discretizada em termos dos coeficientes - cont • Isolando-se fP no lado direito da equação se obtêm: ou, de forma compacta

23. DIFUSÃO E CONVECÇÃO DE UM ESCALAR- fluxos - • Equação difusão/convecção calor -> f é de natureza escalar (temperatura). J é de natureza vetorial que representam fluxos de energia térmica que cruzam as faces : • A presença dos termos convectivos introduz uma dificuldade extra. Todavia, os fluxos que cruzam as faces também são escritos em função dos pontos nodais vizinhos: onde m é o fluxo de massa que cruza a face, ex: me=reueAe

24. DIFUSÃO E CONVECÇÃO DE UM ESCALAR- coeficientes - • Os coeficientes dos pontos vizinhos (aE, aW, aN e aS) dependem do fluxo de massa m, do coef. difusão G e do Peclet das faces: onde m, D e P são:

25. DIFUSÃO E CONVECÇÃO DE UM ESCALAR- discretização espacial e a função A(|P|) - • A função A(|P|) realiza uma ponderação entre a difusão e a convecção. • Existem diversas proposições de se realizar esta ponderação que originaram diferentes esquemas de discretização associado a função A(|P|) • o esquema híbrido é defaulted no PHOENICS • o parâmetro a é equivalente ao comando DIFICUT grupo 8 • ele governa a contribuição relativa entre difusão e convecção. • DIFICUT tem o valor defaulted = ½ o que garante que o efeito da difusão é nulo se o Peclet da célula for > 2 • a = 0 coincide com o esquema upwind, os fluxos difusivos contribuem independentemente do valor de Peclet

26. DIFUSÃO E CONVECÇÃO DE UM ESCALAR- forma geral dos termos - • A contribuição de um nó vizinho ao ponto P é dada pelo produto de seu coeficiente e da diferença entre o nó e o vizinho, por exemplo • que também pode ser colocado na forma geral distinguindo-se os coeficientes de difusão e convecção, Cf , CP :

27. DIFUSÃO E CONVECÇÃO DE UM ESCALAR- equação discretizada - • A equação discretizada, expressa pelos coeficientes ´a´ e pelas diferenças entre o ponto P e seus vizinhos, tem a mesma forma daquela obtida considerando apenas difusão: ou

28. ACOPLAMENTO PRESSÃO E VELOCIDADES ´Ingredientes´ extras surgem na abordagem de volumes finitos para discretizar equação conservação de movimento: • f é um vetor e J passa a ter uma natureza tensorial. Isto faz surgir três equações de conservação, uma para cada direção. • A determinação dos fluxos de J nas faces correspondentes requer um cuidado especial. Por necessidade de estabilidade, as velocidades são armazenadas nas faces dos volumes de pressão. • O deslocamento das malhas requer um número extra de interpolações lineares para se determinar as propriedades nas faces e os coeficientes. • Uma dificuldade extra na necessidade de se determinar a pressão. Os gradientes de pressão presentes nas equações de momento agem como termos fontes. Não há porém, uma equação óbvia para determinar a pressão.

29. SIMPLE – Semi Implicit Pressure Linked Equation Campo Inicial Velocidades & Pressão Determine Coef. aE, aW, aS, aN, aT Passo Corretor P = P* + P´ U = U* + U´ Resolva U* (preditor) Determine Massa D* Resolva P´ • A equação da pressão não é resolvida diretamente, mas suas correções. • O algorítmo SIMPLE é um algorítmo do tipo Preditor/Corretor • De modo simplificado é mostrado no diagrama de blocos:

30. EQUAÇÃO DE CORREÇÃO DA PRESSÃO Eq. PREDITOR: Eq. CORRETOR: • Velocidade e pressão são determinados em duas etapas: 1a valores de U são preditos porém imprecisos pois não satisfazem a massa; 2a os valores de P e U são corrigidos para satisfazer a massa. • Isto garante que em cada iteração os campos resultantes satisfazem a massa. • Definições: fREAL = f*PREDITOR + f´CORRETOR -> U = U* + U´; V = V* + V´; P = P*+P´ Note que a soma Preditor + Corretor restaura o campo ´real´

31. EQUAÇÃO CORREÇÃO DA PRESSÃO (cont.) • A eq. Da massa, escrita em função das velocidades U* e U´ (preditor & corretor) é: • As correções de velocidade e pressão estão relacionadas por: • aeU´e = (P´P-P´E)Ae -> rU´e Ae = de (P´P-P´E)Aeonde de = Ae/ae • Substituindo correção de velocidade na eq. massa A eq. Pressão é linear com coef. variáveis. Sua molécula computacional é similar à equação de Poisson (Elíptica): AP´=D* -> P´2 = D* . Isto significa que ela necessita ser especificada em todo o contorno.

32. SIMPLE - PASSO A PASSO • Campo Inicial de Pressão e Velocidades; • Determine os coeficientes ´a´; • Resolva o campo ´imperfeito´ das velocidades, U*, baseado nas estimativas iniciais de P* • (4) Resolva a equação de correção da pressão, P´ (5) Atualize (corrija) os valores de pressão e de velocidades para satisfazer o balanço de massa em cada volume (6) Retorne passo (2) utilizando valores de P e U corrigidos em (5)

33. PHOENICS UPDATING ORDER ALGORITHMPARABOLIC RUN – SLAB WISE PRESSURE CORRECTION

34. PHOENICS UPDATING ORDER ALGORITHMELIPITC RUN – WHOLE FIELD PRESSURE CORRECTION

35. SOURCES OF FURTHER INFORMATION • POLIS – Phoenics General Lectures – Lectures for version 2.2 • Ferziger and Perik, “Numerical Methods for Engineering Application”, 2nd ed., John Wiley (1998) • Patankar, S.V., “Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”, Hemisphere, 1980

37. CONTROLE DA SOLUÇÃO Neste tópico serão apresentados: • os tipos de métodos numéricos implementados no PHOENICS para resolver sistemas algébricos de equações lineares; • as variáveis empregadas;

38. EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO • Uma equação algébrica e linear é criada para cada variável e para cada volume da malha : • Este sistema de equações algébricas é resolvido de forma iterativa por meio dos ´solvers´ disponível no PHOENICS

39. MÉTODO DE SOLUÇÃO: Point By Point (PBP) • Também conhecido por método Jacobi. Ele calcula o valor novo (n) por meio da média dos valores dos vizinhos obtidos no tempo anterior (o): • Os valores calculados são atualizados após ser concluída a varredura do ´slab´ (plano XY visitado). • PBP é útil para sistemas fortemente acoplados ou não-linearidades severas devido a baixa taxa de variação que ele causa na variável de uma varredura para outra. Isto introduz uma estabilidade adicional. • Ele é frequentemente utilizado para velocidades especialmente quando os efeitos viscosos não são importantes. • Em outras circunstâncias, PBP conduz a um tempo de processamento longo devido a baixa taxa de convergência. A informação viaja um intervalo da grade por iteração.

40. MÉTODO DE SOLUÇÃO: Slabwise Y Z • É o método default do PHOENICS para escalares e velocidades. • Ele utiliza uma extensão do método TDMA (stone ou gradiente conjugado) • Ele resolve simultaneamente todos valores num plano (XY) que pertence a uma dada posição IZ. • Ele assume que os valores pertencentes aos volumes adjacentes são aqueles de sua última iteração.

41. MÉTODO DE SOLUÇÃO: Slabwise (cont.) • No método ‘slab wise’ a informação é transmitida de uma só vez em todo o slab e portanto sua taxa de convergência é mais rápida que o Jacobi onde a informação viaja um intervalo de grade por iteração • No PHOENICS a varredura é sempre realizada na direção Z. Portanto, para ser efetivo o método a direção principal do escoamento deve ser a direção Z. • Se os coeficientes numa direção são muito maiores daqueles em outras direções, uma varredura na direção transversal a direção dos coeficientes dominantes resulta em uma taxa de convergência muito rápida. • Devido às não-linearidades e pelos valores das variáveis for a do ‘slab’ serem aquelas da iteração anterior, é muito raro ter necessidade de se obter soluções precisas para um ‘slab’. É mais econômico varrer o domínio diversas vezes.

42. MÉTODO DE SOLUÇÃO: Slabwise x Parabólico • A opção ´slabwise´ é sempre empregada para escoamentos parabólicos. • O processo de marcha se dá sempre na direção Z. • Neste caso, a solução depende somente dos valores do slab da face ´LOW´ ; • Nestas circunstâncias é necessário obter uma solução completamente convergida em cada ´slab´ uma vez que ele será visitado somente uma única vez na simulação parabólica. • Veja POLIS -> Encyclopedia -> Parabolic Flows. • Veja POLIS -> Entries of Special Interest -> Parabolic Flows.

43. MÉTODO DE SOLUÇÃO: Whole Field • O método de solução ´whole field´, opera também como uma extensão do algoritmo TDMA. • Neste caso a informação é propagada em todo domínio e não em cada distância entre nós da grade ou entre ´slabs´. • Ele requer uma maior capacidade de armazenamento porém. • Whole field é sempre recomendado quando as não-linearidades são pequenas, ex: condução de calor e escoamento potencial. • O campo de velocidade nunca é resolvido por whole field • O solver whole field é sempre recomendado para eq. de correção da pressão porque ele é capaz de transmitir as condições de contorno e bloqueios rapidamente em todo domínio

44. IMPLEMENTAÇÃO NO PHOENICS – GROUP 7 Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd ONEPHS = T * Non-default variable names NAME(145) =VPOR ; NAME(146) =WGAP NAME(148) =WDIS ; NAME(149) =LEN1 NAME(150) =ENUT * Solved variables list SOLVE(P1 ,U1 ,V1 ) * Stored variables list STORE(ENUT,LEN1,WDIS,WGAP,VPOR) * Additional solver options * Y in SOLUTN argument list denotes: * 1-stored 2-solved 3-whole-field 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging SOLUTN(P1 ,Y,Y,Y,N,N,N) SOLUTN(U1 ,Y,Y,N,Y,N,Y) SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,Y,N,Y)

45. COMANDO ´NAME´ • NAME.... Command to give a name to a stored variable, thus: NAME(22)=VORT which might be used if variable 22 were being used for the storage of the vorticity. Names cannot be more than four characters long. • Defaulted variables names: P1<1>, P2<2>, U1<3>, U2<4>, V1<5>, V2<6>, W1<7>, W2<8>, R1<9>, R2<10>, RS<11>, KE<12>, EP<13>, H1<14>, H2<15>, C1<16>, C2<17>, C3<18>, C4<19>, C5<20> ...... C10<25>......C35<50>. • INDVAR....is the number of current dependent- or auxiliary- variable number. • Veja também extensa lista de nomes reservados pelo PHOENICS na ENCYCLOPEDIA -> NAMES -> RESERVED NAMES

46. COMANDO ´SOLVE´ • SOLVE....states which variables are solved, thus: • SOLVE(variable name 1,variable name 2,........) The above command causes the following lower-level commands to be executed: • SOLUTN(variable name 1,Y,Y,N,N,N,N) OUTPUT(variable name 1,Y,N,N,N,Y,Y) SOLUTN(variable name 2,Y,Y,N,N,N,N) OUTPUT(variable name 2,Y,N,N,N,Y,Y) ..............etc. • If the variable name is not one of the recognized ones (See VARIABLES to list these), the code will search from NPHI downwards until it finds an unused variable, ie one not stored; this will then be solved and named as requested.

47. COMANDO ´STORE´ • STORE....command for stating which variables are stored, but not solved, thus:STORE(variable name 1,variable name 2,........) The actual settings made are as indicated below. They can be modified by subsequent settings of SOLUTN and OUTPUT. • SOLUTN(variable name 1,Y,N,N,N,N,N)OUTPUT(variable name 1,Y,N,N,N,N,N)SOLUTN(variable name 2,Y,N,N,N,N,N)OUTPUT(variable name 2,Y,N,N,N,N,N)..............etc.

48. COMANDO ´SOLUTN´ • SOLUTN....command for stating which variables are to be stored, solved, etc. The format of the command is: • SOLUTN(variable index,Y or N, Y or N,... six times) (if uncertain,enter P for pass) • The six questions answered by the Y's and N's are: • Store the variable? • Solve for the variable? • Solve by whole-field method? • Solve by point-by-point method? • Use explicit formulation if transient? • Use harmonic averaging of exchange coefficients? • The defaults are (...,N,N,N,N,N,N). The explicit? question is relevant only to time-dependent flows. The harmonic-averaging question relates to how the diffusion coefficients (or viscosities) are averaged in order to provide the values used in the finite- domain equations. When N is answered, arithmetic averaging is used.

49. EQUIVALÊNCIA COM USO INDVAR • Defaulted variables: • NAME( 1) =P1 ;NAME( 3) =U1; NAME( 5) =V1 • Non Defaulted variables: • NAME(144) =PRPS; NAME(145) =VPOR ;NAME(146) =WGAP • SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,N) -> SOLUTN(1 ,Y,Y,N,N,N,N) • SOLUTN(U1 ,Y,Y,N,Y,N,Y) -> SOLUTN(3 ,Y,Y,N,Y,N,Y) • SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,Y,N,Y) -> SOLUTN(5 ,Y,Y,N,Y,N,Y) • SOLUTN(PRPS,Y,N,N,N,N,N) -> SOLUTN(144,Y,N,N,N,N,N) • SOLUTN(VPOR,Y,N,N,N,N,Y) -> SOLUTN(145,Y,N,N,N,N,Y) • SOLUTN(WGAP,Y,N,N,N,N,Y) -> SOLUTN(146,Y,N,N,N,N,Y)

50. SOLVERS OPCIONAIS • Outros solvers são opcionais no PHOENICS. • Eles podem ser ativados por comandos no grupo 19 • Veja seus tipos e modo de implementação em LIBRARY -> NUMERICS -> SOLVER OPTIONs