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第三章 图像变换 3 ． 1 概述 一、图像处理可用线性系统描述 其输入与输出图像的关系：. 二、 图像处理的方法 1 ． 直接处理 ---- 阵列运算（线性代数） 2 ． 间接处理 --- 图像变换 条件： 1 ）变换是可逆的； 2 ）算法不复杂 优点： 1 ）运算速度快（快速算法） 2 ）便于二维数字滤波处理. 3 ．在图像处理中广泛应用二维正交变换： 利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征： 如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘的强度及方向；
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第三章图像变换 3．1 概述 一、图像处理可用线性系统描述 其输入与输出图像的关系：
二、图像处理的方法 1．直接处理----阵列运算（线性代数） 2．间接处理---图像变换 条件：1）变换是可逆的； 2）算法不复杂 优点：1）运算速度快（快速算法） 2）便于二维数字滤波处理
3．在图像处理中广泛应用二维正交变换： 利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征： 如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘的强度及方向； 在变换的基础上，便于完成图像的变换编码。变换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集中到少数一些项上，有利于存储和传输。
3．2 图像的线性运算 3．2．1 二维连续线性系统 设输入 ，输出 ，二维线性系统映射为 ，则 1．线性叠加原理 其中a,b为常数
2．二维狄拉克（Dirac）冲激函数 具有性质： 1） 2） ， 为任意小的正数
3）筛选性 4）分解性 二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的一维冲激函数的乘积 5)
3．二维冲激响应函数h(x,y) －点扩展函数（PSF） 由于h(x,y)是当系统的输入为 函数或点光源时系统的输出，是对点光源的响应，因此称为点扩展函数。质量差的图像传输系统h(x,y)的作用将把图像中的一点弥散开来。
4．空间不变性 当输入的单位脉冲函数延迟了 单位后， 即对应于x,y平面中 处的点源 , 其响应满足 则该系统称为空间不变系统。 物理意义：输出仅在x,y方向移动了 单位， 函数形状不变。
5．卷积 对于二维线性位移不变系统，如果输入 ， 输出 , 则 由卷积积分的对称性，也可写成：
6．相关 1）函数 的自相关函数 定义： 2）二个函数 和 的互相关函数 定义：
3．2．2 二维连续Fourier变换 一、一维Fourier： 1．实变量函数f(x)是连续可积的， 即: ，且 是可积的， Fourier变换对一定存在： 其中 u ----频率
2．一维Fourier变换的复数形式 则 一维Fourier谱（幅值） 相角 能量谱（功率谱）
二、二维连续Fourier变换 条件： 是连续可积的，即 ，且 是可积的，Fourier变换对一定存在：
变换的复数形式 二维谱（幅值） 相角 能量谱（功率谱）
例子------二维矩形体函数 以上推导利用了尤拉公式：
再具体分析下面的付氏变换： 上式表明：图像 可以看成是由无数正弦和余弦函数加权求和得到，加权因子为 。
3．3 二维离散Fourier变换及其性质 前节所分析的二维信号是在X轴和Y轴两个方向上空间连续的信号。然而，图像处理的信号往往不是这样的信号。常见的电视信号只在625条扫描行上才有取值，也就是说，该信号在Y轴方向上是离散的。为了得到二维离散信号，还要再在水平方向上抽样。
一、一维DFT 离散---对连续函数 的采样，采样间隔 ，采样点数 ，则离散函数 式中 一维DFT对：
说明几个概念： 1） 和 都是离散序列。 表示取自相应连续函数的任意N个等间隔抽样值； ，当 的值对应于在 处的连续变换的抽样值。 2）频域采样间隔 与空域采样间隔 的关系： 3）DFT总是存在的，不必考虑连续FT的绝对可积条件。 4）DFT的 和 都是周期性函数（周期为N）。在实际应用中，取一个周期，则 和 是有限长度N的序列。
二、二维DFT 由一维推广： 若M=N讨论时： 其中：
说明： 1） 和 都是离散值，且是周期性函数（二维锥体，周期N） 2）正反变换常数取法不一，多为各取 3）付氏谱，相位，功率谱表达式与连续时一样，只不过所有变量为离散值。
三、二维DFT的性质 1．线性性： ； ； 则 其中 为常数 2．变换的可分离性： 由二维DFT的公式：正反变换核可以分解成只含 和 的两个指数函数的乘积，于是其相应的二维DFT可以分离成两次一维DFT的乘积，因此可将二维DFT分解为二步进行，每一步都是一维DFT。
3．平移性： 若 ，则平移性可由下式给出： 上式的物理意义： 指数项乘 并取其乘积的变换，使频率平面的原点移到点 ； 指数项乘 并取其乘积的反变换，使空间平面的原点移到点 。
若取 则 此时将 的付氏变换的原点移到相应 频率方阵的中心。 注意： 的移动并不影响它的付氏变换的幅度： 结论：DFT的平移性只是相移，幅值不变。
4．周期性和共轭对称性： 1）周期性 物理意义：DFT的正反变换具有N周期性，应用中只需取一个周期。在空间域中， 也有相似的性质。 2）共轭对称性 其谱 物理意义： 是以中心对称的图形,计算 只要求右半个周期，计算量减少。
5．旋转不变性 引入极坐标 及 则 无论在连续的或离散的付氏变换对中用直接代入方法可以证明 ， 说明：如果 被旋转 ，则 也被旋转了同一角度；类似地，如果 被旋转 ，则 也被旋转了同一角度。
6）分配性和比例性 分配性 与 对加法可以分配，而对乘法则不行。 比例性 设 ， 为标量， 则 ； 说明：空间比例尺展宽，对应于频域比例尺压缩。
7）均值 二维离散函数平均值定义 将 代入式： 得 因此： 上式表示：均值等于 变换的原点值。
8）微分性质 二变量函数 的拉普拉斯（Laplacian）算子定义为 按照二维付氏变换的定义可得拉氏算子的 变换 拉普拉斯算子通常用于检测图像轮廓的边缘。
9）卷积和相关 卷积定理和相关定理主要研究： （1）二个函数 和 的付氏变换关系； （2）空域与频域关系 二维连续函数 和 卷积定义 二维卷积定理： ， ，则 作用：利用卷积定理可避免直接求卷积，可先求 相乘 得卷积值。
二维离散函数和卷积 注意问题：因离散付氏变换和反变换都是周期性函数，卷积（相关）要避免交叠误差，必须对离散函数定义域扩展（增0方法）。 设离散函数 定义域 AXB阵列 离散函数 定义域 CXD阵列 定义域扩展 用增0方法扩充二个新 二维离散函数（MXN阵列）
二维离散卷积定理 为离散值
二维相关定理 二维连续函数 和 相关定义 二维离散函数相关定理 ， 则 “*”表示复共轭
四、应用付氏变换注意问题 1）付氏变换缺点： 付氏变换是由复指数函数构成正交集，比实数计算（DCT、DWT、DHT）费时；收敛性慢。 2）付氏变换谱能量集中（主要低频部分），衰减快，但显示不清楚。若定义一个函数： 更有利于对付氏变换的视觉理解。 3）快速算法（FFT）--基2—算法（N为2整数幂） 基本算法（“蝶形”运算）： 按时间抽取算法*；按频率抽取算法
五、FFT 1）概述 一维： 对于每个 ：N次复数乘法，N-1次复数加法； 对于N个 ： 次复数乘法，N（N-1）次复数加法。因而，普通FT计算量与 正比，当N很大时，计算量非常大。 1965年库利提出了FFT算法，复数乘法和加法正比于 ，当N很大时，计算量显著减少。
2）FFT基本原理（N为2的整数幂算法）---按时间抽取2）FFT基本原理（N为2的整数幂算法）---按时间抽取 一维： （1） 把式（1）表示成 （2） 其中 （3） 并且假定N满足 （4） 其中是正整数，在这个基础上，N可以写成 （5） 其中M也是正整数。
把式（5）代入式（2）得到 （6） 因为由式（3） ， 式（6）可以表示成 （7） 如果我们定义： （8） （9） 其中： 。
由此，式（7）变成 （10） 又因为 和 ， 由式(8),(9),(10)可得结论： （11） 式(8)--式(11)表示：N点变换可以通过原始表达式分成式(10)和式(11)的两个部分加以计算。 前一半的计算要求计算式(8)、式(9)给出的两个 点变换，然后计算式(10)，求得对 的 。另一半可以直接从式(11)得到，用不着额外求变换的值。
3）逆FFT （付氏正变换形式）
3．4 离散图像变换的一般表达式 1）代数表达式： 和 分别为正反变换核。 特点：（1）不同的 和 决定不同变换； （2）如 及 称为可分离的。如付氏变换：
(3)如 与 , 与 函数形式上相同---加法对称 2）矩阵表达式 设数字图像 是实数方阵(NXN),变换核 和 是可分离和加法对称。图像变换的矩阵表达式为 其中P和Q是变换矩阵(NXN)。 设P和Q是满秩矩阵(即满足条件A是方阵且 ),则一定是可逆矩阵，式 分别用 左乘和 右乘，得 说明：数字图像能从它的反变换中完整恢复。
3.5 离散Walsh变换及离散Hadamard变换 3.5.1 一维Walsh变换 设 ， 的离散Walsh变换记作 正变换核： ； 反变换核： ； 其中： 是z的二进制表示的第k位,如 ，则 ， ， 。
说明：1）Walsh变换正、反变换核是一样的，是+1或-1的组合说明：1）Walsh变换正、反变换核是一样的，是+1或-1的组合 2）Walsh变换本质上是将序列 各项值的符号按一定规律改变，进行加减运算。 3）变换核矩阵表示是对称的，正交矩阵 如M=4时 各元素关于主对角线对称,行与列正交( )。
3．5．2 二维DWT 说明：1）正、反变换核一样； 2）对称可分离（二维----两次一维）； 3）FWT类似FFT，令 ； 4）矩阵表示 ； 5）二维DWT具有某种能量集中，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，可以压缩图像信息。
3．5．3 离散Hadamard变换（DHT） 1．DHT的特点： 1）DHT与DWT都是+1、-1正交函数系，区别在于正、反变换核的行和列的次序不同； 2）DHT具有递推关系，高阶矩阵可用二个低阶矩阵的直积得到。 2．一维DHT 递推关系：(H变换核) , , ,…,
3．二维DHT 可分为二步一维的DHT，矩阵表示为 G为H变换核）
3．6 离散余弦变换（DCT） 一、一维DCT DCT的核矩阵 k(行)、n(列)=0,1,2,….,N-1 其中 是一个正交矩阵， 但不是对称矩阵。而反变换矩阵根据正交性即为 n（行）、k（列）=0,1,2,….,N-1 注意：除了行、列序号互换外，形式上与正变换完全一样。
