动力学

第三篇 动力学

运动学 静力学研究力系的简化与平衡问题.以及物体的受力分析方法. （不涉及不平衡的情况）研究物体运动的几何性质而不涉及引起物体运动的原因动力学将力与运动联系起来，研究物体受力及机械运动之间的关系.

质点： • 具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体质点系： • 由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。

第十章质点动力学的基本方程

§10-1 动力学的基本定律 惯性定律第一定律：不受力作用的质点，将保持静止或匀速直线运动。第二定律：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第三定律：作用力与反作用力定律两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。

第二定律: ①加速度a是矢量; ②加速度与力的关系是瞬时的，加速度随力的变化而变化; ③当力不作用时，加速度为0，速度为常矢量，此时物体做惯性运动，与第一定律相符; ④对于质量相同的质点，作用力愈大，获得的加速度愈大; 同样大的力作用于不同的质量的物体上，质量大的加速度小，质量小的加速度大。即，质量越大，物体的运动状态越不易改变，也即物体的惯性越大。所以，质量是物体惯性的度量。

国际单位制中：力 N，kN 质量 kg 长度、质量、时间为基本单位，力的单位是导出单位。在地面附近，物体都要受到重力P的作用，由有惯性系: 牛顿定律不可能适用一切参考系，而只能适用于“绝对运动”的参考系，古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿定律的参考系，也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后，又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。因此，得出一个抽象的结论：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。用起来又太抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。

§10-2 质点运动微分方程 1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影 2、质点运动微分方程在自然轴上的投影

3、动力学两类基本问题： 已知运动求力,正问题,求导; 已知力求运动,逆问题,积分: 直接积分换元积分变形

曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r，AB=l，当λ=r/l比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为 y A y ω x β O A ω B B x φ β O • 例题1 第10章质点动力学动力学的解体思路与静力学的类似，只是把列静力平衡方程换为列运动微分方程。如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。 N FAB 滑块沿x轴的运动微分方程 mg 属于已知运动求力之情形.

v0 mg α y o x • 例题2 第10章质点动力学炮弹以初速v0发射，不计阻力，求炮弹在重力作用下的运动. 解: 研究(任意位置时而不能是特殊位置时的)炮弹，作受力图， = 0 = -mg 属第二类问题，力是常量.直接积分: = v0cosα = - gt + v0sinα 轨迹方程炮弹的运动方程进而可以讨论最高射程，最远距离等.

21m • 例题7 第10章质点动力学图示消防人员为了扑灭高21米仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15米，距地面高1米处，水柱的初速度为25m/s,若预使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台。且不计空气阻力，试问水龙头的仰角α应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离是多少？到屋顶平台上

例题6 第10章质点动力学图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成，杆长为OA=L，球的质量为m。试求：1 .单摆的运动微分方程：2. 在小摆动的假设下分析摆的运动；3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。单摆的运动微分方程

例题6 第10章质点动力学图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成，杆长为OA=L，球的质量为m。试求：1 .单摆的运动微分方程：2. 在小摆动的假设下分析摆的运动；3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。在小摆动的假设下分析摆的运动

例题6 第10章质点动力学图示单摆由一无重细长杆和固结在细长杆一端的重球组成，杆长为OA=L，球的质量为m。试求：1 .单摆的运动微分方程：2. 在小摆动的假设下分析摆的运动；3. 在运动已知的情况下求杆对球的约束力。在运动已知的情况下求杆对球的约束力

θ0 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。 • 例题3 第10章质点动力学质点的运动微分方程在主法线上的投影式 Ft 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度 FN mg θ=θ0FN=0

质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中，如图所示。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv 。c为阻力系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。 • 例题4 第10章质点动力学

v0 O x F M v mg xmax y • 例题4 第10章质点动力学解： F=–cvx i –cvy j t=0 vx=v0 vy=0

v0 O x F M v mg xmax y • 例题4 第10章质点动力学 t=0 x=y=0 介质阻力等于零

例题5 第10章质点动力学滑块质量为m，因绳子牵引使之沿水平轨道滑动。绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮上，鼓轮的等角速w转动。不计导轨摩擦，求绳子的拉力T和距离x之间的关系。

例题5 第10章质点动力学

10-1 一质量为m的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r，如图所示。设物体与转台表面的摩擦因数为f，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。 N man 物块不滑出的条件 mg

10-2 图示A，B两物体的质量分别为m1与m2，二者间用一绳子连接，此绳跨过一滑轮，滑轮半径为r。如在开始时，两物体的高度差为h，而且m1＞m2，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同的高度时所需的时间。 F1 a F2 m1g m2g

10-10 一物体质量m=10kg，在变力F=100（1－t）N作用下运动。设物体初速度为v0=0.2m/s，开始时，力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程？ m ax v0 Fx x

10-11 图示质点的质量为m，受指向原点O的力F=kr作用，力与质点到点O的距离成正比。如初瞬时质点的坐标为x=x0，y=0，而速度的分量为vx=0，vy=v0。求质点的轨迹。

10-11 一质点带有负电荷e，其质量为m，以初速度v0进入强度为H的均匀磁场中，该速度方向与磁场强度方向垂直。设已知作用与质点的力为 F=－e（v×H） , 求质点的运动轨迹。 F s v H

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